人教版高一数学必修二：第二章点、直线、平面之间的位置关系单元

1、第二章 单元训练第二章 点、直线、平面之间的位置关系A 组一、选择题1.下列命题正确的是( A .三点确定一个平面 B .经过一条直线和一个点确定一个平面C .四边形确定一个平面 D .两条相交直线确定一个平面2.如图, ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论错误 .的是 ( . A . BD 平面 CB 1D 1 B . AC 1 BDC . AC 1平面 CB 1D 1D .异面直线 AD 与 CB 1角为 603.平面 与平面 平行的条件可以是( A . 内有无穷多条直线都与 平行B .直线 /, /a a 且直线 a 不在 内,也不在 内C .直线 a ,直线 b 且

2、/a , /bD . 内的任何直线都与 平行4.给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线 l 1, l 2与同一平面所成的角相等,则 l 1, l 2互相平行若直线 l 1, l 2是异面直线,则与 l 1, l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假 .命题的个数是 ( . A . 1 B . 2 C . 3D . 4 5.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中(第 2题 BM 与 ED 平行 CN 与 BE 异面 CN 与 BM 成60 DM 与 BN 垂直以上四个命题中,正确命题的序号是(A . B . C . D .6. 两直线 l 1

3、与 l 2异面,过 l 1作平面与 l 2平行,这样的平面 ( .A .不存在 B .有唯一的一个 C .有无数个 D .只有两个 7. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 当以 A , B , C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 ( .A . 90B . 60C . 45D . 308.下列说法中不正确的. 是 ( .A .空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B .同一平面的两条垂线一定共面C .过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D .过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9.给

4、出以下四个命题:如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条 直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是 ( .A . 4 B. 3 C . 2 D . 110. 异面直线 a , b 所成的角 60, 直线 a c , 则直线 b 与 c 所成的角的范围为 ( . A . 30, 90 B. 60, 90 C . 30, 60 D . 30, 120二、填空题11.已知三棱锥 P -A

5、BC 的三条侧棱 PA , PB , PC 两两相互垂直, 且三个侧面的面积分别 为 S 1, S 2, S 3,则这个三棱锥的体积为 .12. P 是 ABC 所在平面 外一点,过 P 作 PO 平面 ,垂足是 O ,连 PA , PB , PC .(1若 PA =PB =PC ,则 O 为 ABC 的 心;(2PA PB , PA PC , PC PB ,则 O 是 ABC 的 心;(3若点 P 到三边 AB , BC , CA 的距离相等,则 O 是 ABC 的 心;(4若 PA =PB =PC , C =90,则 O 是 AB 边的 点;(5若 PA =PB =PC , AB =AC

6、,则点 O 在 ABC 的 线上.13.如图,在正三角形 ABC 中, D , E , F 分别为各边的中点, G , H , I , J 分别为 AF , AD , BE , DE 的中点,将 ABC沿 DE , EF , DF 折成三棱锥以后, GH 与 IJ 所成角的度数为 .14.直线 l 与平面 所成角为 30, l =A ,直线 m ,则 m 与 l 所成角的取 值范围是 .15. 棱长为 1的正四面体内有一点 P , 由点 P 向各面引垂线, 垂线段长度分别为 d 1, d 2, d 3, d 4,则 d 1+d 2+d 3+d 4的值为 .16、 .若直线 a , b 都平行于

7、平面 ,那么 a 与 b 的位置关系是三、解答题17.在四面体 ABCD 中, ABC 与 DBC 都是边长为 4的正三角形.(1求证:BC AD ;(2若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面角 A -BC -D 的正弦值; (3设二面角 A -BC -D 的大小为 , 猜想 为何值时,四面体 A -BCD 的体积最大. (不要求证明 J (第 13题 (第 17题 18. 如图,在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB =2, BB 1=BC =1, E 为 D 1C 1的中点,连结 ED , EC , EB 和 DB .(1求证:平面 EDB 平面 EBC ;(2求

8、二面角 E -DB -C 的正切值 . 19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S -ABCD 中, AD BC , ABC =90,(第 18题 SA 面 ABCD , SA =AB =BC =1, AD =2 1. (1求四棱锥 S ABCD 的体积;(2求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值.(提示:延长 BA , CD 相交于点 E ,则直线 SE 是所求二面角的棱 .(第 19题 20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个棱 柱的体积. (提示:在 AA 1 上取一点 P ,过 P 作棱柱的截面,使 AA 1 垂直于这个截面 . (第

9、 20题 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 参考答案 一、选择题 1D 解析：命题有反例，如图中平面平面直线 n， l ，m ， 且 ln，mn，则 ml，显然平面不垂直平面 ， (第 1 题 故是假命题；命题显然也是假命题， 2D 解析：异面直线 AD 与 CB1 角为 45 3D 4D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案 D 5D 6B 解析：设平面 过 l1，且 l2 ，则 l1 上一定点 P 与 l2 确定一平面 ， 与 的交线 l3l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有 唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯

10、一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的. 7C 解析：当三棱锥 DABC 体积最大时，平面 DACABC，取 AC 的中点 O，则DBO 是等腰直角三角形，即DBO45 8D 解析：A一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而 共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书脊垂直放在桌上就明确 了 9B 解析：因为正确，故选 B 10A 解析：异面直线 a ， b 所成的角为 60，直线 c a ，过空间任一点 P，作直线 aa， bb， cc. 若 a ，b ，c 共面则 b 与 c 成 30 角，否则 b 与 c 所成的角的范围为(30，90，所以直

11、线 b 与 c 所成角的范围为30，90 二、填空题 11 则 1 3 2S1S 2 S3 解析：设三条侧棱长为 a，b，c 1 1 1 abS1， bcS2， caS3 三式相乘： 2 2 2 1 2 2 2 a b c S1S2S3， 8 abc2 2 S1S2 S3 三侧棱两两垂直， 1 1 1 V abc 2 3 3 2S1S 2 S3 12外，垂，内，中，BC边的垂直平分 解析：(1由三角形全等可证得 O 为ABC 的外心； (2由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的垂心； (3由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的内心； (4由三角形全等可证得，O 为 AB

12、 边的中点； (5由(1知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在BAC 的平分线上 1360解析：将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 60 1430，90解析：直线 l 与平面 所成的 30的角为 m 与 l 所成角的最 小值，当 m 在 内适当旋转就可以得到 lm，即 m 与 l 所成角的的最大值为 90 15 6 1 3 1 3 6 解析：作等积变换： (d1d2d3d4 h，而 h 3 3 4 3 4 3 16相交或异面直线 三、解答题 17证明：(1取 BC 中点 O，连结 AO，DO ABC，BCD 都是边长为 4 的正三角形， A

13、OBC，DOBC，且 AODOO， BC平面 AOD又 AD 平面 AOD， BCAD (第 17 题 解： (2由(1知AOD 为二面角 ABCD 的平面角， 设AOD ， 则过点 D 作 DEAD， 垂足为 E BC平面 ADO，且 BC 平面 ABC， 平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 ABCAO， DE平面 ABC 线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE3 又 DO 3 BD2 3 ， 2 3 DE ， 2 DO 3 2 在 RtDEO 中，sin 故二面角 ABCD 的正弦值为 (3当 90时，四面体 ABCD 的体积最大 18证明：(1在长方体 ABC

14、DA1B1C1D1 中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1 的中点 DD1E 为等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC45 DEC = 90 ，即 DEEC 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，BC平面 D1 DCC1 ，又 DE 平面 D1 DCC1 ， BCDE 又 EC I BC = C ， DE平面 EBC 平面 DEB 过 DE， 平面 DEB平面 EBC (2解：如图，过 E 在平面 D1 DCC1 中作 EODC 于 O 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， 面 ABCD面 D1 DCC1 ， EO面 ABCD 过 O 在平面 DBC 中作 OFDB 于 F，

15、连结 EF，EFBDEFO 为二面角 EDBC 的平面角利 用平面几何知识可得 OF 1 ， 5 (第 18 题 又 OE1，所以，tan EFO 5 1 19*解：(1直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面 (BCAD AB 2 1 1 2 1 3 ， 2 4 1 1 3 1 四棱锥 SABCD 的体积是 V SAM 底面 1 4 4 3 3 (2如图，延长 BA，CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱 ADBC，BC2AD， EAABSA，SESB SA面 ABCD，得面 SEB面 EBC，EB 是交线 又 BCEB，BC面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影， CSSE，BSC 是所求二面角的平面角 SB SA2AB2 2 ，BC1，BCSB， tanBSC BC 2 ，