《系统建模与方真 》教材配套PPT课件及教案
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系统建模与方真
《系统建模与方真
》教材配套PPT课件及教案
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第六章 随机变量的生成 在第四章，我们讨论产生和检验均匀随机数的方法。因为均匀分布随机数是生成其它分布类型的随机变量的基本要素。及进行随机仿真，必须要随机抽样，即产生服从一定分布的随机变量。若给出随机变量的分布函数F(x),，则可用各种方法生成服从该分布的随机变量。本章讨论生成随机变量的方法。第一节 逆变法对任一严格单调增的分布函数F(x)，其逆函数X=F-1(U)的分布函数为 （6.1.1）即XF(x)。反之，若随机变量X有严格单调的分布函数F(x)，其逆函数为F-1令U=F(X)，显然U也是随机变量，因0F(X)1，故有0U1，于是对任一0u1有 （6.1.2）xx u0F(x)1.0xF图6-1-1连续分布函数逆变法原理即UU(0,1)。因此，可由U(0,1)随机数，根据已知一个随机变量的分布函数F(x)，令U=F(X)，得逆函数X=F-1(U)，于是有xi=F-1(ui)(i=1,2,)，由上可知xi是分布为F(x)的随机数。这就是说，可通过求随机变量的分布函数F(x)的逆函数，得到分布为F(x)的随机数。由于通过逆函数得到随机数，故称为逆变法。逆变法的步骤是：生成随机数；用逆函数产生随机变量。一、 均匀分布在区间a,b上均匀分布U(a,b)，其概率密度函数f(x)及分布函数F(x)分别是： （6.1.3） （6.1.4）令 其中。于是其逆函数为 （6.1.5）x为U(a,b)随机数。【例6.1.1】用随机数发生器xi75xi-1 mod(231 -1)及Excel的随机数发生器产生随机数，据此试生成区间3,5服从均匀分布的随机变量，并比较两种结果。解：随机数发生器xi75xi-1 mod(231 -1)，ui=xi/(231-1)和Excel的随机数发生器产生随机数ui；由公式生成3,5的随机变量xi=3+(5-3)*ui，结果及随机变量与随机数的关系图如下（见图6-1-2）： 图6-1-2 由逆变法生成的随机变量二、 指数分布指数分布的概率密度函数及分布函数为 （6.1.6）分布函数为 （6.1.7）令uF-1(x)（其中u 为0,1均匀分布的随机数），即 （6.1.8）解此方程，有 （6.1.9）x服从均值为的指数分布的随机变量。【例6.1.2】生成均值为3的指数分布随机变量。解：利用Excel的随机数发生器产生 0,1区间的随机数u，由逆变法公式 得指数分布随机变量，计算结果如下（图6-1-3）： 图6-1-3 逆变法产生的指数分布随机变量三、 柯西分布柯西分布C(,)的密度函数为 （6.1.10）分布函数为 （6.1.11）其逆函数为 （6.1.12）于是有 xi= + tg(ui - /2) (i=1,2,n) （6.1.13）【例6.1.3】试产生=2,=3的柯西分布随机变量。解：用随机数发生器xi75xi-1 mod(231 -1)，ui=xi /(231-1)产生随机数，并由逆变公式 xi= + tg( ui - /2)计算随机变量，结果见图6-1-4： 图6-1-4 逆变法生成的柯西分布随机变量xF(x)x1 x2 x3 0 x4 xnp1p2p3p4pn1图6-1-5 离散分布随机变量的分布函数四、 离散分布X是离散随机变量，取值为x1,x2,xn，其概率分布为 则分布函数为 （6.1.14）设ui是U(0,1)的随机数，若， 令X=xi，因为， （6.1.15） （6.1.16）则所得的随机变量XF(x)。 计算离散分布随机变量的步骤是： 产生U(0,1)随机数； 若up1，则x = x1；否则当时，x = xi，x是分布函数为F(x)的随机数。【例6.1.4】用逆变法求离散分布的随机变量。解：先用随机数发生器xi75xi-1 mod(231 -1)产生随机数；比较所得随机数u与分布函数，若up1，x = x1；否则当时，x = xi，结果如图6-1-6： 图6-1-6 逆变法生成的离散分布随机变量 实际中常经常会用到离散型经验分布，可采用逆变法产生离散型经验分布的随机变量，也可利用软件（如Excel）直接产生随机变量。【例6.1.5】某产品的单位成本随市场随机波动，根据历史数据统计如表6.1.1: 表6.1.1 产品单位成本分布概率序号 单位成本（元） 概率1234543444546470.100.200.300.400.50试用逆变法产生随机变量。解：用随机数发生器xi55 xi-l mod(235 -31)，产生随机数ui=xi/(235-31)；采用例6.1.4的方法得离散型经验分布得随机变量如图6-1-7。 图6-1-7 逆变法产生的经验分布随机变量 逆变法简明易懂，但有一个明显的缺点，就是在使用前必须先求出分布函数的逆函数F-1，而有些分布函数的解析逆函数表达式难于求得，虽可用数值计算或幂级数展开求得F-1的近似表达式，往往因计算工作量过大而无法实现。第二节 函数变换法据概率论，若随机变量X具有密度函数f(x)，分布函数为F(x)，随机变量Y是X的函数Yg(X)，当逆函数x=g-1(y)=h(y)存在且一阶导数连续时，随机变量Y的密度函数为p(y)=fh(y)|h(y)|，由此可算出其分布函数G(y)Fg-1(y)，再用逆变法可得抽样公式Y=g(X)。由此可见函数变换法是逆变法的推广，或者说逆变法是函数变换法中X为均匀分布随机变量的一种特殊情况。函数变换法生成随机变量的一般步骤是：产生独立的F(x)的随机数x1，x2，xn；由抽样公式，得随机数列yi=g(xi)（i=1，2，n）。一、正态分布 正态分布是最重要的一种常用概率分布，其密度函数为 其分布函数为 （6.2.1）通过Z变换 有 （6.2.2）令 x(Z)是标准正态分布N(O,1)的密度函数，及其分布函数 Z则有 （6.2.3）显然无法用逆变法直接从上式求得随机变量Z。可采用Box-Muller的函数变换法，先产生两个独立的标准正态分布Z1和Z2，因为Z1、Z2独立，故它们的联合密度函数为 令 代入，则有 （6.2.4）由右边可见联合密度函数f(r,)为r的函数与的函数之积，即f(r,)=f1()f2(r)，且，为0,2区间的均匀分布；是均值为1、变量是r2/2的指数分布，因此只要产生随机数u1，u2U(0,1)，使 =2u1，即可得 （6.2.5）Z1、Z2是相互独立的N(0,1)的随机变量。 通过Z变换得到一般正态分布N(，2)随机变量： X1Z1 X2Z2二、对数正态分布 若XN(，2)，则称Y = eX所服从的分布为对数正态分布，记为LN(，2)。其均值和方差不是，2，因为对数正态分布的分布函数是： 密度函数为 从而有均值 由此可算出方差。为得均值是e，方差是e的对数分布随机数，应解出 然后利用变换公式Y = eX，则可由N(，2)的随机数生成LN(，2)随机数。具体步骤是： 产生N(0，1)分布随机数ui； 计算xi = + ui； 令，则得对数正态分布LN(，2)随机变量。【例6.2.1】试用函数变换法由N(3，0.12)分布的随机数生成对数正态分布变量。解：用Excel的随机数发生器产生N(0，1)分布随机数ui，然后由xi =3 + 0.1ui得N(3，0.12)分布随机数，再据产生对数正态分布随机变量，结果见图6-2-1。 图6-2-1 对数正态分布随机变量第三节 组合法 若一个分布函数可表示为若干其它容易求得随机变量的分布函数，可采用本节将介绍的组合法（composition method）。组合法要用到凸组合的概念，其定义如下：设x1,x2,xk是Rn中点集X的k个点，若存在1，2，k满足i0，使 （6.3.1）也属于X，则称对于1，2，k的凸组合。 组合法的基本思想是：分布函数F可用其它分布函数F1，F2，Fk的凸组合表达， （） （6.3.2）密度函数f(x)可表为F1，F2，Fk的密度函数fi(x)(i=1,2,k)的凸组合 （6.3.3）则这k个分布的组合，具有密度函数函数f(x)的随机变量。可每个Fi的随机变量的求解远比解F简单，生成的随机变量 本章小结 本章讨论如何产生随机变量。生成随机变量的方法主要有：逆变法、函数变换法、舍取法、卷积法、组合法等。常用分布的随机变量均可在仿真软件包中直接找到，在实际使用时调用相应的函数即可。思考练习题1用逆变法生成密度函数为的三角分布（trian(a,b,m)的随机变量。2开发密度函数为： 地区随机变量生成器。3若2.5，4.0，用逆变法求服从威布尔（Weibull）分布的随机变量，威布尔分布的密度函数为 分布函数为 。4由概率论，若X1,X2,Xn独立且服从N(0,1)分布，则 服从2(n
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