不确定线性时滞系统的一种鲁棒镇定方法

1、第卷第期年月东北大学学报（自然科学版）畅，不确定线性时滞系统的一种鲁棒镇定方法郑连伟（东北大学理学院，辽宁沈阳）摘要：利用泛函方法研究了不确定线性时滞系统的鲁棒镇定问题不确定性是范数有界的时变矩阵为了估计泛函的导数，首先建立了两个对称矩阵补之间的一个不等式，据此得到了一个关于不确定二次函数上界的不等式通过对不确定二次函数的估计和矩阵运算，把泛函导数的负定性转化为线性矩阵不等式的可行性问题，从而得到了系统可以鲁棒镇定的充分条件，同时用线性矩阵不等式的解构造了鲁棒状态反馈控制器的增益矩阵数值算例表明，这种鲁棒镇定方法具有较小的保守性关键词：时滞系统；鲁棒镇定；泛函；线性矩阵不等式；不确定性；补中图

2、分类号：文献标志码：文章编号：（）：，：；时滞存在于通信网络等需要一定时间才能对信息作出反应的系统，是影响系统稳定性和性能的重要因素时滞系统的稳定性分析与控制是一个长期被关注的研究领域泛函和函数是稳定性分析的两种基本方法对于线性时滞系统，一般利用正定二次函数和积分构造泛函和函数稳定性定理要求它们的导数必须负定因此，选取适当的二次函数和积分并判断它们导数的负定性是稳定（，：，：）性分析的关键技术文献利用二次不等式对泛函的导数进行估计文献在二次不等式中加入一个权矩阵来降低估计的保守性文献在估计泛函的导数时引入自由权矩阵，使用多个矩阵变量参与线性矩阵不等式的优化；这种方法的优点是降低了稳定性分析的保

3、守性，缺点是在控制器设计时自由权矩阵和控制器的参数耦合在一起，难以把问题转化为线性矩阵不等式的求解问题文献基于收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）作者简介：郑连伟（），男，辽宁新民人，东北大学副教授，博士第期郑连伟：不确定线性时滞系统的一种鲁棒镇定方法则有和的补之间的不等式等式函数和不确定二次函数的一个上界不，利用线性矩阵不等式给出了鲁棒状态反馈控制器设计方法本文利用泛函方法研究不确定线性时滞系统的鲁棒镇定问题不确定性满足范数有界约束用新得到的不确定二次函数的上界不等式估计泛函的导数，不使用自由权矩阵，在用线性矩阵不等式判断可鲁棒镇定的同时，很容易得到状态反馈增益矩阵证明设，把不等

4、式（）两边的矩阵都左乘，右乘，可得设，把上式两端的矩阵都左乘右乘，即得要证的不等式其中，问题描述（考虑如下不确定时滞系统）：痹（）（）（）（）（）（），（），（）其中：（）是状态向量；（）是控制输入；（）是连续的初始向量函数；（），（），（）是含有时变不确定性的系数矩阵，（）（），（）（），（）（）（）其中：，是常数矩阵；（）是时变不确定矩阵，满足以下有界性约束（）（），（）（），是标称系统的系数矩阵，表示不确定性的结构信息（）是时变时滞，满足（），痹（）（）本文研究不确定系统（）的状态反馈鲁棒镇定问题，即求状态反馈控制律（）（），使闭环系统对于允许的不确定性渐近稳定主要结果为了估计泛函的导数

5、和处理其中的不确定性，首先给出一些引理引理设，是具有适当维数的矩阵，是任意正数，则引理设，是具有适当维数的矩阵，且，是对称的，（）表示零矩阵，以下同引理对于式（）中的，如果正定矩阵和正数满足，则有×证明由文献中的引理，有（）（）再由逆矩阵公式可得要证的不等式引理对于式（）中的，如果正定矩阵和正数，满足，则有证明由式（）可得以下等式对等号右边的后两项应用引理，可知对于正数，有再由引理，即得要证的不等式引理设是常数向量，是正定矩阵，则二次函数的最大值是东北大学学报（自然科学版）第卷证明把函数写成（）（）立即得到证明利用这些引理可以得到以下鲁棒稳定性条件和控制器设计方法定理设系统（）中（）

6、给定正数，如果存在正定矩阵，以及正数，满足线性矩阵不等式（）：）（）（，（）由引理，对任何正数，有，（）则系统（）渐近稳定其中，（），（）（），设，由这两个不等式及引理、引理可知，当正数，满足，时，有珨，（），证明取泛函，×（）（）珨其中，（）（）（）痹（）痹（）（）（）（）其中，是待定的正定矩阵利用式（）及（）（）（）痹（）可知，（）沿系统（）的轨线的导数痹（）（）（）（）（）痹（）痹（）（）（）痹（）（）由补公式可知，定理的条件（）等价于痹（）以上不等式右边的矩阵负定，从而使因此，由时滞系统的稳定性定理可知系统是渐近稳定的下面基于定理给出的稳定性判别条件，求状态反馈（）（），（）

7、使它和系统（）构成的闭环系统痹（）（）（）（）（）（）渐近稳定其中，（）（）（）定理给定正数，如果存在正定矩阵，以及正数，满足线性矩阵不等式珦珦，珦则取增益矩阵，可以使状态反馈（）和系统（）构成的闭环系统（）渐近稳定其中，珦，设（）（）（，利用引理估计积分号内的函数，并略去，得到痹）（）其中，（，（）设，把的两边乘以，并用表示，得到（）（）（）痹（）痹（）（）（）珦，第期郑连伟：不确定线性时滞系统的一种鲁棒镇定方法，由前面式（）给出证明对闭环系统（）应用定理，在式（）中用代替，用代替，并设可得要证的结论函数的上界不等式估计它的导数，得到了线性矩阵不等式形式的鲁棒镇定充分条件；利用线性矩阵不等式的解构造了鲁棒状态反馈控制器的增益矩阵参考文献：刘丽丽，张庆灵，杜昭平具有时延的广义网络控制系统的鲁棒控制东北大学学报：自然科学版，数值算例例考虑如下系统的稳定性问题：痹（）（）×（）对应于式（），可取，（）（），根据定理，利用可求出当畅时系统渐近稳定，而文献给出的结果是畅，说明本文的方法具有较小的保守性例考虑以下系统的鲁棒镇定问题：痹（）畅（）（）（）该系统的标称系统在（），时不稳定对应于式（），取，（），（）与例相同，取根据定理，利用可求出当畅时，状态反