一元一次方程教材分析

1、、教科书内容和课程学习目标1.教科书内容本章继第一章“有理数和第二章“整式及其加减之后,属于?全日制义务教育数 学课程标准实验稿?中的“数与代数领域.人们对方程的研究有悠久的历史,方程是重要的数学根本概念,它随着实践需要而产 生,并且具有极其广泛的应用.从数学科学本身看,方程是代数学的核心内容,正是对于它的研究推动了整个代数学的开展.从代数中关于方程的分类看,一元一次方程是最简单的代数方程,也是所有代数方程的根底.本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念,一元一次方程的解法,利用一元一 次方程分析与解决实际问题.其中,以方程为工具分析问题、解决问题,即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的

2、重点,同时也是难点.分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系,是始终贯穿于全章的主线, 而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论,是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的.列方程中蕴涵的“数学建模思想和解方程中蕴涵的“化归思想,是本章始终渗透的主要数学思想.讨论一元一 次方程的解法时,会直接应用“合并同类项“去括号等法那么,而有理数运算和整式加减运算是解一元一次方程的根底知识.全章共包括四节:3. 1从算式到方程这一节分为两个小节.3.1.1 一元一次方程在小学阶段,数学课中用算术方法解应用题是重要内容,此外还有关于最简单的方程的内容.本小节先通过一个具体行程问题, 引

3、导学生尝试如何用算术方法解决它, 然后再一 步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量,并进一步依据相等关系列出含未知数的等式一一方程.这样安排目的在于突出方程的根本特征, 引出方程的定义,并使学生熟悉到 方程是更方便、更有力的数学工具,从算术方法到代数方法是数学的进步.算式表示用算术方法进行计算的程序,列算式是依据问题中的数量关系,算式中只能含数而不能含未知数.列方程也是依据问题中的数量关系特别是相等关系,它打破了列算式时只能用数的限制,方程中可以根据需要含有相关的数和未知数,未知数进入式子是新的突破.正因如此,一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然,因 而有更多优越性.本小节中引

4、出了方程、一元一次方程、方程的解等根本概念,并且对于“根据实际问 题中的数量关系,设未知数,列出一元一次方程的分析问题过程进行了归纳.3.1.2等式的性质方程是含未知数的等式,为适合初中学生学习,本章不涉及方程的同解理论,而以等式的性质作为解方程的根据.本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质, 并直接利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法.这将为后面几节进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据.3.2 一元一次方程的讨论(一) 合并同类项与移项本节仍然结合一些实际问题展开,重点讨论两方面的问题：(1 )如何根据实际问题列方程？这是贯穿全章的中央问题.(2)如何解方程？这节重点讨论解

5、方程中的“合并同类项和“移项,这样就已经可解ax+b=cx-d类型的一元一次方程.本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作,即生活在约780850年间的阿拉伯数学家阿尔-花拉子米所著的?对消与复原?一书,提问“对消与“复原是什么 意思,作为后面要讨论的内容的引子.在本节内容展开中引出 “合并同类项和“移项.本节中用框图形式归纳出“用一元一次方程分析和解决实际问题的根本过程.3.3 一元一次方程的讨论(二) 去括号与去分母本节继续结合一些实际问题讨论一元一次方程,重点讨论两方面的问题：(1 )如何根据实际问题列方程？这是贯穿全章的中央问题.(2 )如何解方程？本节重点讨论解方程中的“去括

6、号和“去分母,这样就可以解各种类型的一元一 次方程,并归纳出一元一次方程解法的一般步骤.本节从一道“用电问题,引出解方程中的“去括号问题；又从古代埃及的纸莎草 文书中的一道题,引出带有分母的一元一次方程,进而讨论用去分母的方法解这类方程.在本节中,以解一个具体方程的过程为例,用框图形式表示了一元一次方程解法的一 般步骤.3. 4实际问题与一元一次方程本节在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的根底上,进一步以“探究的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题.要探究的三个问题(“销售中的盈亏 “油菜种植的计算“球赛积分表问题)要比前几节的问题复杂些,问题情境与实

7、际情况更接近.本节的重点是建立实际问题的方程模型.通过探究活动,可以进一步体验一元一次方 程与实际的密切联系,增强数学建模思想,培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能 力.由于本节问题的背景和表达都比拟贴近实际,其中的有些数量关系比拟隐蔽,所以在 探究过程中正确地建立方程是主要难点.突破难点的关键是弄清问题背景,分析清楚有关数量关系,特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.2 .本章知识结构图(1)利用一元一次方程解决问题的根本过程(2)本章知识安排的前后顺序3 .课程学习目标1 .经历“把实际问题抽象为数学方程的过程,体会方程是刻画现实世界的一种有效 的数学模型,了解一元一次方程及其

8、相关概念,熟悉从算式到方程是数学的进步.2 .通过观察、归纳得出等式的性质,能利用它们探究一元一次方程的解法.3 . 了解解方程的根本目标(使方程逐步转化为x=a的形式),熟悉解一元一次方程的一般步骤,掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想.4 .能够“找出实际问题中的数和未知数,分析它们之间的关系,设未知数,列出 方程表示问题中的等量关系,体会建立数学模型的思想.5 .通过探究实际问题与一元一次方程的关系,进一步体会利用一元一次方程解决问题 的根本过程见上图,感受数学的应用价值,提升分析问题、解决问题的水平.6 .课时安排本章教学时间约需18课时,具体分配如下仅供参考：6.1 从算

9、式到方程约4课时6.2 一元一次方程的讨论一合并同类项与移项约4课时6.3 一元一次方程的讨论二去括号与去分母约4课时6.4 实际问题和一元一次方程约4课时数学活动小结约2课时、本章教科书的编写特点本章具有以下特点:1 .突出列方程,结合解决实际问题讨论解方程列方程是本章的重点,也是难点.为突出重点,分散难点,使学生能有较多时机接 触列方程,本章把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线.对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的,即先列出方程,然后讨论如何解方程, 这是本章的又一特点.教科书先结合两个实际问题的求解过程分别讨论了 “合并同类项和“移项, 并进一步通过一些例题对这

10、两种解方程的变形手段进行综合练习和强化.此后教科书又在对另两个实际问题的讨论中引出解方程中的“去括号和“去分母,并进一步通过一些例题 和练习题帮助学生掌握它们. 在此根底上,教科书归纳总结出解一元一次方程的目标和一般 步骤,引导学生提升对一元一次方程解法的熟悉.我们认为这样处理解方程的教学符合人们对方程的熟悉过程,并且可以增强这章内容与实际的联系,有助于解决局部学生总感觉列方程难的问题.2 .通过增强探究性,培养分析解决问题的水平、创新精神和实践意识本章的中央任务是,使学生经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程, 体会方程的作用,掌握运用方程解决简单问题的方法,提升分析问题、解决问

11、题的水平,增强创新精神和应用数学的意识.由于实际问题的类型多样,在某些问题中数量关系不十清楚显,使得以方程为模型表示问题中的数量关系成为教学中的难点.为切实提升利用方程解决实际问题的水平,本章在内容选择上注意增强探究性.例如, 第3.4节特别安排了 “实际问 题和一元一次方程的内容,选择了三个具有一定综合性的问题“销售中的盈亏“油菜种植的计算 “球赛积分表问题,设置了假设干探究点,引导学生利用方程为工具进行具 有一定深度的思考,把全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高 度.这节内容包括：估算与精确计算的比拟探究 1,不同方案的定量化比照探究2,根据问题的实际背景进行检验,利用

12、方程进行简单推理判断 探究3中已渗透了反证法的思想.安排这节的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题,进一步突出方程这种数 学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识,使分析问题和解决问题的水平、创新精神和实践意识在更高层次上等到提 高.3 .重视数学思想方法的渗透,关注数学文化本章不仅重视数学与实际的联系,列方程和解方程的方法,而且重视数学知识中蕴涵的建模和化归等数学思想方法的渗透.,本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想.虽然考虑到

13、学生的理解水平等原因,教科书没有过多出现“数学模型 一词,但是本章屡次以框图形式对“利用一元一次方程解决问题的根本过程加以归纳,意 在渗透建模思想.为表达化归思想在解方程中具有指导作用,本章中讨论一元一次方程的各个步骤时,都注意点明解方程的目的,即为最终使方程变形为 x=a的形式,各种步骤都是为此而实施的,即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下,使“未知逐步转化为“已 知.本套教科书的特色之一是,使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子.重视 数学的科学价值,同时关注其文化内涵. 通过教科书这面镜子的反射,结合教学内容生动活泼地介绍古今数学的开展,深入浅出地反映数学的作用工具作用和人文

14、教育作用,使学生逐步地熟悉数学的科学价值和人文价值,提升科学文化素养.本章对于数学文化予以很大关注,从数字到字母,从算式到方程,从算术到代数这些数学史上的重大进步以及有关 方程的名著?复原与对消?、埃及纸莎草文书中的问题等在教科书中都有所反映.编者希望学生通过学习本章不仅在数学知识和水平方面得到提升,而且能够感受到数学文化的熏 陶.三.几个值得关注的问题1 .关注在前面学段的根底上开展,做好从算术到代数的过渡本章第3,1节从一个实际问题行程问题开始讨论,在引出方程后提出“从算式到 方程是数学的进步.算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法.用算术方法解实际问题是前面学段中学生已经学习过

15、的内容,它对于提升分析问题中数量关系的水平有着打根底的作用.算式表示一个计算过程,用算术方法解实际问题时,算式中只含数而 不包含未知数；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量,这些式子实际上也是算式,只是其中可能含有字母未知数.方程是根据问题中等量关系列出的 等式,其中既含有数,又含有未知数,这是代数方程与算术算式的区别之一.由于方程中可以用未知数与数一起表示相关的量,所以方程的应用更为方便.这正是用字母表示数带来的好处.从课程标准看,在前面学段中已经有关于简单方程的内容,学生已经对方程有初步的 熟悉,会用方程表示简单情境中的数量关系,会解简单的方程,即对于方程的熟悉已经历

16、了入门阶段,具备了一定的感性熟悉根底,这些根本的、朴素的熟悉为进一步学习方程奠定了根底.本章的内容是在前面的学习根底上的进一步开展,即对一元一次方程作更系统更深入的讨论,所涉及的实际问题要比以前学习的问题复杂些,更强调模型化思想的渗透；对方程解法的讨论要更注重算理, 更强调创设未知向转化的条件以及解法中程序化的思想.了解以上的联系与区别,有助于在本章教学中注意到应在哪些地方使学生得到新的提2 .关注方程与实际问题的联系,表达数学建模思想我们生活在一个丰富多彩的世界,其中存在大量问题涉及数量关系的分析,这为学习“一元一次方程提供了大量的现实素材.在本章教科书中,实际问题情境贯穿于始终,对方程解法

17、的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的,“列方程在本章中占有突出地位, 全章教科书根据讨论实际问题的线索而展开.在本章的教学和学习中, 要充分注意方程的现实背景,通过大量丰富的实际问题,反映出方程来自实际又效劳于实际,增强对于方程是解决现实问题的一种重要数学模型的熟悉.鉴于本章的学习对象是七年级学生,教科书的表达力求通俗易懂,在正文中防止过多直接使用“数学模型等词,而是通过具体例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作用,实际上这就是在渗透建立数学模型的思想.设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤,而正确地理 解问题情境,分析其中的相等关系是设未知数、列方程的根底.在本章

18、的教学和学习中,可 以从多角度进行思考,借助图形、表格、式子等进行分析,寻找等量关系,检验方程的合理 性.教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题,引导学生用一元一次方程分析和解决它们.利用一元一次方程解决问题的根本过程见前面的图,在本章中反复出现并且逐步细化,这有助于从整体上熟悉一元一次方程与实际问题的关系,请注意在教学中不断强化对它的熟悉.3 .抓住方程的主线,复习并加深对相关预备知识的熟悉从数学学科内部来看,整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角 度来看,一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接.通过本章学习,不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运

19、算的内容,而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处,从而加深对相关内容的熟悉.在本章的教学中,希望能够时刻关注教学重点,注意抓住方程这条主线,突出围绕一元一次方程的讨论, 结合方程的解法复习已学整式的知识,帮助学生熟悉数、 式与方程间的联系.4 .关注培养学习的主动性和探究性课程改革的目的之一是促进学习方式的转变,增强学习的主动性和探究性.本章内容 涉及大量的实际问题,丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐更容易激起学生对数学的 兴趣.在本章的教学中,应注意引导学生从身边的问题研究起,主动收集寻找“现实的、有 意义的、富有挑战性的学习材料,并更多地进行数学活动和互相交流,在主

20、动学习、探究 学习的过程中获得知识,培养水平,体会数学思想方法.在本章的教科书中,安排了许多可提供学生主动进行探究的内容,其中既涉及列方程 又涉及解方程,例如3.4节“实际问题与一元一次方程就是为提升分析和解决问题的水平而安排的探究性内容,本章的“数学活动及“拓广探索栏目下的习题等也设置了很多探 究性问题,采用什么方式进行这些内容的教学是需要关注的问题.具体教学方式可能会因时因地因人而易,但是各种方式都应注意鼓励学生积极探究,当学生在探究过程中遇到困难时,教师应启发诱导,设计必要的铺垫,让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何 进行探究活动,而不要替代他们思考, 不要过早给出答案. 应

21、鼓励探究多种不同的分析问题 和解决问题的方法,使探究过程活泼起来,在这样的气氛中可以更好地激发学生积极思维, 得到更大收获.5 .关注数学思想方法的教学和学习前面已经说过,本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的模型化包括符号化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想.在本章的教学和学习中, 不能仅仅着眼于个别题目的具体解题过程,而应关注对以上思想方法的渗透和领会,从整体上熟悉问题的本质.数学思想方法是通过数学知识的载体来表达的,对于它们的熟悉需要一个较长的过程,既需要教科书的渗透反映,也需要教师的点拨, 最终还需要学生自身的感受和理解.数学思想

22、方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识,例如对解方程的本质有比拟透彻的认识,就容易主动地探究具体方程的解法,这远比死记硬背方程的解法步骤的效果要好.因此,我们需要关注数学思想方法的教学和学习,希望教师在如何深入浅出地进行这方面的教学上不断探索.6 .关注根底知识和根本技能,适当增强练习稳固本章内容包括一元一次方程的概念、解法和应用.一元一次方程是最根本的代数方程, 对它的理解和掌握对于后续学习其他的方程以及不等式、函数等具有重要的根底作用. 因此,教学和学习中应注意打好根底.由于本章教科书是以分析解决实际问题为线索展开的,方程解法的讨论安排于分析解 决问题的过程之中,如缺乏对方程解法内容的分析归纳,可能会对它们有所无视, 所以在教学和学习中应注意对它们进行归纳整理,使得根底知识和根本技能在头脑中留下较深刻的印象.从学习心理学的角度看,需要通过必要的练习途径来掌握根底知识和根本技能,所以教学和