不等式的易错点

1、汉川二中程涛一.不等式的性质易错点(1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减;(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除；异向不等式可以相除,但不能相乘,(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：, c C«11 .a >b ac,且a +b + c =0那么一的取值氾围是(答：_2I)a. 22 .对于实数a,b, c中,给出以下命题： 假设a > b,那么ac2 > bc2 ；假设ac2 > bc2,贝1J a > b ；2211b a右a<b<Q 那么a > ab &

2、gt; b ；右 acb<0,贝1J<；右 a < b < 0,那么一 ? ；、 a ba ba b11右 a cb <0,贝 U a a b ； 右c>aAbA0,贝1J> ； 右 a>b,-:>一,那么c-ac-ba ba >0 b < 0其中正确的命题是 (答：)；3 .设x,yR,那么使 x + y >1成立的充分不必要条件是C x _ 1 D x<-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或与“且概念不清,正确答案为4 .以下四组条件中,甲是乙的充分不必要条件的是(A. 甲 a>b,乙 <

3、; Ba b甲 ab <0,乙 I a+b < I a-bC 甲 a=b , 乙 a + b=2 ,ab d0 < a < 1'0<a + b<2甲,乙,0cb<11<abc2正确答案：D错因：学生对不等式根本性质成立的条件理解不深刻5abe R,且a>b,那么以下不等式中恒成立的是()A.a2>b2B.(工)a <(1)bC.lg(a b)>0D. >1正确答案：Bo错误原因：容易无视不等式成立的条件.C. m<0 D. 4b<m<0a m a正确答案:b m bD o错误原因：错用分数的

4、性质.6.假设a>b>0,且> 一,那么m的取值范围是( A. m匚R B. m>07. x w R, y w R ,那么 x < 1, y < 1 是 x + y +|x - y < 2 的()条件A、充分不必'要B、必要不充分C既不充分也不必要 D充要正确答案：D错因：不严格证实随便判断.二.解不等式常见的思维误区有：(1)概念模糊.变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合数的不等式等等.(2)以偏概全,未分类或分类不全,对某些含有参数的不等式,未进行分类讨论,片面认为是某种情况.含

5、参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为根底,分类讨论是关键.(3)无视隐含条件,信息不能被全部挖掘出来、提醒：(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.21.二次函数 f(x)=ax 十 bx(a#0)满足 1 M f (1) M 2 , 2 M f (1) M 5,求 f (3)的范围错解："f(_1) =ab, f(1)=a+b,7 -23 -2<-<-a b<-<-3 -2 1 -2又：f(-3) = 9a-3b.9 < f (-3) &l

6、t; 30正解：设 f ( 3) =mf (1)+ nf (1),那么有 9a 3b = m(a -b) +n(a + b),即;m n=9 二m=6'm-n=3= ' n=3. f (-3) -6f (-1) 3f(1)又丫 1 W f (1) M2 , 2 < f (1)<5, a 12 <f (-3) < 27剖析：在屡次应用不等式样性质的时候,假设等号不能同时成立时,会使所求范围扩大,因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立.2.、a > 0且a # 1,关于x的不等式ax >1的解集是_ 11 .x x >0),解关于x

7、的不等式log a(x ) < 0的x解集.错解:,11,loga(x -)： 0二 x - ： 1 =x2.x.131：x-正解:log由于关于x的不等式ax >1的解集是xa )x -1.01 -1 < xx =：二1x1 - 5 <2原不等式1W集是(-1,三)山1,三)剖析：其一、无视了所给条件的应用和对数的真数大于0,其二、无视了分式不等式正确解法.3.解不等式(x1 )Jx2x2 20.x -1 -0,错解一：原不等式可化为,解彳导x上2.,原不等式的解集是x|x二2.x2 -x -2 -0.错解二：在不等式f(x) g(x)上0中,按f(x)的取值情况分类

8、,f(x) . 0, f(x) =0,有 J ,或 J .|、：g(x) _0. g(x) ,0当X- 1 > 0,即x > 1时,原不等式等价于x2 x 2上0 ,解得x上2 ;当x - 1 = 0,即x = 1时,显然 ,g(x) 无意义,其解集为0 .综上所述,原不等式的解集为x|x及2).错因：错解一中,当x = - 1 时,原不等式也成立,漏掉了 x = - 1这个解.原因是忽略了不等式中“上不相等的双重性.事实上,具有相等与不等式烟；gxy2与；f(x)'0或g(x)=0同解.g (x) > 0一人'f(x)<0,错解二中分类不全,有遗漏,应

9、补充第三种情况1& (x) = 0.即当x - l < 0 , x 2 - x - 2 = 0 也符合条件,补上 x = - 1 .原不等式白解集为x|x>2,或x = - 1).正解：分析一：符号是由符号“ >=合成的,故不等式f(x) .； g(x)及0可转化为f(x).g(x) >0或f(x) - Jg(x) = 0r«分析二：在不等式f(x) - Jg(x)上0中,按g(x)的取值情况分类,有两种情况：ff(x)>0,(1)g(x) > 0时,等式等价于, (2)g(x) = 0 时只须f(x)有意义即可vg(x) >0,4.

10、设函数f (x )=4x +1 ax,其中a A0解不等式f (x )W1错解：；不等式 f(x) <1, vx2 +1 V1 + ax .两边平方,得 x2 + 1 v(1 + ax)即 x (a 2 - 1)x + 2a>0, a > 02aa2 -1错因：未能从条件中挖掘出隐含条件:“1 + ax > 1 ",即“ ax>0",进而由a > 0可彳导x> 0.正解：不等式f(x) w 1,即,x2 + 1 0 1 + ax , 由此得1 w 1 + ax ,即ax?O,其中a > 0 .X2 +1 <(1 +ax)

11、2,工(a2 -1)x + 2a >0, 原不等式等价于不等式组)即J'x 之 0.、x 之 0.二.当0 < a <1时,原不等式的解集为x|0 vxv2a);当a上1时,原不等式白解集为x|x >0).1 -a225.解不等式-ax > x ( a亡R )错因：分类讨论不完全ax -111(答 a=0 时,x|x<0； a>0 时,Wx|x> 或 x<0； a<0 时,Wx |< x < 0或x < 0 a . a-226.要使满足关于x的不等式2x -9x+a<0 (解集非空)的每一个x的值至x

12、-4x + 3<0和2 c C c81x -6x +8 <0中的一个,那么实数a的取值范围是.(答：!|7 I)一,87 .设实数x, y满足x2 +(y1 2 =1,当x+y + c20时,c的取值范围是(答： J2 1,十厘)8 .假设对于任意x R,都有(m 2)x2-2(m -2)x 4<0恒成立,那么实数 m的取值范围是 .正确答案：(-2,2) o错误原因：容易无视 m= 2.9 .不等式(x 1) Jx +2 10 的解集是 A x | x > 1 B x | x > 1 C x|x 2一 21工 x#1 Dx|x = -2或x之1错解：选B,不等式

13、的等价转化出现错误,没考虑 x=-2的情形.正确答案为D.三.多元不等式的元认知障碍 当不等式含有好几个元(变量)时,需将这些元分别虚拟定位为“常量、“参元、“变元等.假设定 位点不到位,解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序 ,从而形成元认知障碍.元的定位问题往往不是绝对的,定位 切入点不同,解题的途彳5也不同,处理好元的定位问题,不但可以开辟问题解决的新途径,给解题带来极大的简便,而且能培养学 生的分析问题的思维水平.221 .设a、b、c = 0,2,证实 4a+b +c +abc 上 2ab+2bc + 2ca.分析此不等式有三个元,且每项次数不全相同,学生常因元太多不易定位

14、,而陷入误区,实际上原等式中a b c三个元中只 有a是一次的,故可将a视作变元,其余b、c视作常量即可解决问题.证实设 f(a) =4a+b2 +c2 +abc(2ab+2bc+2ca)=(4+bc2b2c)a+b2+c22bc.那么f (a)为关于元a的一次函数,且a、b、c w 0,2.2要证 f(a)方 0,即要证 f( 0 > 0,且 f(2)上 0 . f(0) = (bc)2 上 0 ,且f (2) =2(4 bc -2b -2c) b2 c2 - 2bc =(b-2)2 (c-2)2 >0 .当 a、b cw00 时,f(a)上0 .即 4a+b2+c2 + abc

15、 上 2ab + 2bc+ 2ca四.利用不等式求参数范围时易混淆的概念不等式的恒成立,能成立(即恒有解),恰成立等问题：1) .恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“别离变量法转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特 征,利用数形结合法)假设不等式f仪)> A在区间D上恒成立,那么等价于在区间D上f J L > A假设不等式f (xB在区间D上恒成立,那么等价于在区间D上f (x Lax < B2) .能成立问题假设在区间D上存在实数x使不等式f(X)A A成立,那么等价于在区间D上f (x Lax A A;假设在区间D上存在实数x使不等式f

16、(x )< B成立,那么等价于在区间D上白f f (x )min < B .3) .恰成立问题假设不等式f (x )> A在区间D上恰成立,那么等价于不等式f (x )A A的解集为D ；假设不等式f (x )< B在区间D上恰成立,那么等价于不等式 f (x )< B的解集为D .1.设1. f (x) = lg x ,假设0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),那么以下结论中正确的选项是A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数 f (

17、x) = lgx的图象,由图可得出选d.n 1n 1 ,一 ,2 .假设不等式(-1 j a <2 + -七 对于任意正整数n恒成立,那么实数a的取值范围是 n错解原因是不等式解集的端点值没有考虑清楚23 .函数y=log 1 (3x -ax +5)在-1 , +8)上是减函数,那么实数 a的取值范围(2Aa w -6B -.60 <a<-6 C -8<a<-6D- 8<a<-6正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件.4 .x为实数,不等式|x 3|x1|>m恒成立,那么m的取值范围是()A.m>2B.m<2C.

18、m>-2D.m<-2正确答案：Do错误原因：容易无视绝对值的几何意义,用常规解法又容易出错.5.1. 不等式x+1 x2 > a在xw R上有解,那么a的取值范围是()A. (-3,3) B. ( 3,3 C.(-«,3) D (-«,-3)错解：D错因：选D恒成立.正解：C6.不等式x -4 +x3 <a在实数集R上的解集不是空集,求实数 a的取值范围错误原因：应是恒有解误解为恒成立(答:五.利用重要不等式求函数最值时易错点1)利用均值不等式求最值时不注意顺序,a >1)“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小2)不看原题中的隐含条件.1-1

19、1.：a、b都是正数,且 a + b=1, a =a +一 , P = b + 一,求口错解：: a、b都是正数,一 a = a > 2,'a 1 = 2, P = a , a+ P的最小值叫之2/：21 .1a = a十一+ b+一至2+2 = 4,即口 + B的最小值为4.正解：丫 a、b都是正数,且 a+b=1,ab<()214 ab1 .1.、 ,11.a b .1= a b = (a - b) - ()=1 =15a ba b ab ab,1-当且仅当a = b =一时,a+目的最小值为5 °21剖析： 二 a a>2 Ja 1 =2中等号成立的条

20、件是当且仅当 a> 2 'b 1 =2中等号成立的条件是当且仅当 ,bb =1这与a + b = 1矛盾,因此解题中无视了条件 a + b =1,从而造成错误2.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,那么a ba ba bA X = B X _ C X 222错解：对概念理解不清,不能灵活运用平均数的关系.正确答案为DBoa bx -2一43.函数 y =x+(x=0/y = cosx +X40 x cosx一 x 13安芦y=-=.x2 9y = 12 (1 + cot x 11 +4 tan x(0 y x v/),其中以4为最

21、小值的函数个数是 正确答案：0错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强.4假设 x, yR ：且Vx + JI工a Jx + y恒成立,那么a的最小值是错解：不能灵活运用平均数的关系,正解：由n2JLjF M J2 ,故a的最小值是 J2 o.x y5 .假设实数 m, n, x, y 满足 m2+n2=a, x2+y2=b (ab),贝U mx+ny 的最大值为(B、C、D、ab答案：B点评：易误选A,忽略运用根本不等式“成立的条件.、一 ,2 6 .设x>1 ,贝1 y=x+ 的取小值为x -1答案：21/5+1点评：误填：4,错因：y=x+ 2-二 2x -12xx

22、-12x= 即x=2时等号成立,x -1忽略了运用根本不等式求最值时的“一正、二定、三相等的条件7.设a之0,b >0, +a2 = 1,那么a Ji - b2的最大值为2错解：有消元意识,但没注意到元的范围.正解：由a>0,b>0,b-+a2=1 得：a22= 1-,且 0Eb2 <1 ,2原式=8.数列an的通项式1b4 -3b2 +1,求出最大值为1.A、第9项an =-,那么数列an中的最大项是(n2 90B、第8项和第9项C、第10项D、第9项和第10项答案:点评：易误选A,运用根本不等式,求 an忽略定义域N*9、a,bW R,且满足a+3b=1,那么ab的

23、最大值为 .1 2.2222.错解：一错因：由(a +3b) =1,得 a +6ab +9b =1, 6ab =1 a 9b <1, 61等号成立的条件是 a = b = 0与矛盾.正解： 一1210 .实数 x、y 满足 x2+y2=1,那么(1 xy)(1+xy)()一 1 一A.有最小值一,也有最大值2B.有最小值 3 ,也有最大值14D.有最大值1 ,但无最小值C.有最小值,但无最大值4正确答案：B .错误原因：容易无视 x、y本身的范围11 .数列an的通项式an =n,那么数列an中的最大项是()n2 90A、第9项B、第8项和第9项C、第10项D、第9项和第10项答案：D点

24、评：易误选A ,运用根本不等式,求 an =-,忽略定义域N* n 90n .n六.对一元二次不等式与二次函数的图象,二次方程的根之间的关系不能灵活掌握及合理转化应用21 .方程x +(k -2)x +5 k = 0的两根都大于2,求实数k的取值范围.解：设方程的两根为x1, x2 那么必有0(k -2)2 -4(5 -k) -0d(x1 -2) +(x2 -2) >0 (k -2) -4>0,-5<k <-4l(x1 -2)(x2 -2)>0(5-k) +2(k2) +4>0说明：此题易犯这样的错误：丫 x1 >2, x2 >2 /. x1 +

25、x2 >4 ,且x1x2 >4和判别式之0联立即得k的范 围,原因是x1 >2和乂2 :>2只是x1 +x2 a4的充分条件,即x1 +x2 >4不能保证x1 > 2ftx2 > 2同时成立.x2 .实数x,y满足一二x y ,那么x的取值范围是 .答案： x x < 0或x24 y错解：xxW0或x >4错因：将方程作变形使用判另式,无视隐含条件“y#0.一 一 2222 3 .x1,x2是万程x 一(k-2)x+(k + 3k + 5) = 0(k = R)的两个头根,那么x1 + x2的最大值为() A、18 B、19 C、55D、不存在答案：A 错选:B922八错因：x1 +x2化简后是关于k的二次函数,它的最值依赖于 &g