不等式恒成立问题的处理

1、不等式恒成立问题的处理恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型;其他类不等式恒成立、一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a W0),假设y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0 ,那么根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于f(m)°同理,假设在m,n内恒有f(x)<0 ,那么有 f(m) 0f (n) 0f (n) 0xo m n"-1>xo m n2例1.对任息a 1,1,不等式x (a 4)x 4 2a0恒成立,求x的取值范围.分析：题中的不等式是关于 x的一元二次不等式,但假设把a看成主元,那么问题可转化为2一次

2、不等式(x 2)a x 4x 4 0在a 1,1上恒成立的问题.解：令f (a) (x 2)a x2 4x 4,那么原问题转化为 f(a) 0恒成立(a 1,1).当x 2时,可得f (a) 0 ,不合题意.当x 2时,应有f(1) 0解之得x 1或x 3.f( 1) 0故x的取值范围为(,1) (3,).注：一般地,一次函数f (x) kx b(k 0)在,上恒有f(x) 0的充要条件为 f()°.f( ) 0练习：对于?t足|a| 2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,设 f(a)=

3、 (x-1)a+x 2-2x+1,那么 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有：2f( 2) 0B x 4x 3 0 ' )即.解得:f(2)x2 1 0 -x<-1 或 x>3.例 2. P (log 2 x 1)(loga b)2 610g ?x logab 10g2 x 1 (其中 a 为正常数),假设当x在区间1, 2内任意取值时,P的值恒为正,求b的取值范围.设 t log2x,贝 Ut 0, 1 Pf(t) (loga b)2 6logab 1t (logab)2 1因此,原题变为当t在区间0, 1内任意取值时,f (t)恒为正,求b的取值范围.由充要条件,当2(

4、log a b) 6loga b 1 02(1) 或(logab)21 01解(1)得 1 logab 3 2.2 3 2 2一,r .1解(2)得 1 loga b a 3故,当a 1时,1b加 当0 a例 3 设 P (log2 x)2 (a 2) log 2 x a 1,范围.解：设 P f(a) (log 2 x 1)a log2 2x当a 2, 2时的图像是一条线段,所以2日 f( 2) 0log 2 x 410g2 x 3是即 cf(2) 0log22x 1 0即x的取值范围是 0,二 8,22f(0)(logab)2 1 0f(1)6logab 2 013c1a 1时,3a b

5、一 a假设当a 2, 2时,P>0恒成立,求x的变化2 log2 x 1a在 2,2上变动时,P恒为正值的充要条件0解得 log 2 x 3或 10g 2 x 1二次函数型(1)当二次函数的定义域为R时：假设二次函数y=ax2+bx+c (2金0)大于0恒成立,那么有假设二次函数2ay=ax2+bx+c (aw0)小于0恒成立,那么有例1.假设函数y vmx2 6mx m 8在R上恒成立,求m的取值范围.略解：要使y m mx2 6mx m 8在R上恒成立,即2mx 6mx m 8 0在R上恒成2o m 0 时,m 0236m4 m 832m m 1由1°, 2o可知,0 m

6、1例2.函数y lgx2 (a 1)x a2的定义域为R,求实数a的取值范围.解：由题设可将问题转化为不等式x2(a 1)x a2 0对x R恒成立,即有(a 1)2 4a2 0解得 a所以实数a的取值范围为(,1)(3,).练习1：.函数f (x)x2 ax 3 a ,在 R 上 f (x)0恒成立,求a的取值范围.(2)当二次函数的定义域不是 R时,即二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；有时也可以转化为求最值.例1：假设x2,2 时,f(x) x2ax 3 a 0恒成立,求a的取值范围.22解：f(x) x aa- a 3,令f(x)在 2,2上的

7、最小值为g(a).24, a当 a 2,即 a 4 时,g(a) f ( 2) 7 3a 0a不存在.a _aa2当 2 2,即 4 a 4时,g(a) f(_)a 3 0224Q 4 a 44 a 2当 a 2 ,即 a 4 时,g(a) f (2) 7 a 07 a 4总上所述,7 a 2.变式2:假设x2,2时,f (x) 2恒成立,求a的取值范围.解法一：分析：题目中要证实f (x) a在2,2上包成立,假设把a移到等号的左边,那么把原题转化成左边二次函数在区间2,2时恒大于等于0的问题.22略解：f(x) x ax 3 a 2 0,即 f(x) x ax 1 a 0在 2,2 上成立

8、.f(2) f( 2)4(1 a)0综上所述,5 a2.2解法二：(利用根的分布情况知识)当a2-22当a2综上所述2.2,即 a 4时,g(a)2 a 2.2 24 a2 ,即 a 4 时,g(a)5 a 2<2 2 o函数f (x) x2(mf( 2)2,2f(2)5)x3ag(a)2,2xm 1|m2| 1的根的取值范围.解:由于f (x)恒为非负,那么2x(m1)(|m 2| 1)5 m 2时,那么2x(m所以2x 4,所以log2 3例2.设f (x)2mxHo解：设 F (x) x22mx4,a不存在.2(m 5)在其定义域内恒为非负,求方程(m 5)2 8(m 5)1)(2

9、 m 1)所以 2x0解得m 3时,那么 2x (m 1)(m 1)所以方程的根的取值范围是,当x 1,5 m 3,方程化为_22m 3 (m 1)2 4m2 1,3m2 1 8)时,f (x) m恒成立,求实数1,)时,F(x) 0恒成立m的取值范当 0时,如图,F(x) 0恒成立的充要条件为:0F( 1) 0 解得 3 m 2.2m /12综上可得实数 m的取值范围为3,1).其他类不等式恒成立问题一般转化为求最值将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:1) f (x) a 恒成立 a f (x)min2) f (x) a 恒成立 a f(x)max例 1. f

10、(x) 7x2 28x a,g(x) 2x3 4x2 40x,当 x 3,3时,f(x) g(x)恒成立,求实数a的取值范围.解：设 F(x) f (x) g(x) 2x3 3x2 12x c,那么由题可知F(x) 0对任意x 3,3恒成立令 F '(x)6x2 6x 12 0,得 x1 或x 2而 F( 1)7a, F(2)20 a, F( 3) 45 a, F(3) 9 a, F(x)max 45 a 0.a 45即实数a的取值范围为45,).2x 2x a例2.函数f(x) ,x 1,),假设对任意x 1,), f (x) 0恒成立,求x实数a的取值范围.解：假设对任意x 1,)

11、 , f(x) 0恒成立,一x2 2x a 一即对 x 1,), f (x)x一2x 0恒成立,x考虑到不等式的分母 x 1,),只需x2 2x a 0在x 1,)时恒成立而得a 一汪：此题还可将f(x)变形为f(x) x 2,讨论其单调性从而求出f(x)最小值.x别离变量法假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围.这种方法本质也还是求最值,但它思路更清楚,操作性更强.一般地有：1) f (x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f(x)max2) f (x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f (x)max实际上,上题

12、就可利用此法解决.例1.函数f(x) ax <4x x2, x (0,4时f(x) 0恒成立,求实数a的取值范围.4x x2解： 将问题转化为a 对x (0,4恒成立.x人.4x x,那么 a g(x)min令 g(x)x,4x x2由 g (x)x4 .:1可知g(x)在(0,4上为减函数,故 xg( x) ming(4) 0.a 0即a的取值范围为(,0).注：别离参数后,方向明确,思路清楚能使问题顺利得到解决.例2.函数f(x) lg(ax bx),常数a 1 b 0,求(1)函数y f (x)的定义域；(2)当a、b满足什么条件时f(x)在区间1,上恒取正.解：(1) Q f(x

13、) lg(ax bx)ax bx 0(a)x 1,又Qa 1 b 0 x 0定义域x| x 0(2)欲使1g(ax bx) 0在1,恒成立,那么ax bx 1在1,恒成立,由于a 1 b 0,所以函数y ax bx在1, 单调递增,所以ax bx a b a b 1且 a 1 b 0.例 5 函数 f (x)在定义域 ,4 上为减函数,假设f (m sinx) f(J1 2m 7 cox)对于任意的x R成立,求m的取值范围.(纠4错64页)例3假设不等式x 1 x 2 a在x R上恒成立(或改为有解)求的取值范围.数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观, 形缺数时难入微,这充分说明了数形结合思 想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用.我们知道,函数图象和