8下一元一次不等式知识点及典型例题

1、一元一次不等式考点一、不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式.2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解.3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式.5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式根本性质1、不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.2、不等式两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变.3、不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.4、说明：在一元一次不等式中,不像等式那样,等号

2、是不变的,是随着加或乘的运算改变.如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为 0,否那么不等式不成立；考点三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式. 【2、解一元一次不等式的一般步骤：1去分母2去括号3移项4合并同类项5将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.2、几个一元一次不等式的解集的公共局部

3、,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组.4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集.5、一元一次不等式组的解法1分别求出不等式组中各个不等式的解集2利用数轴求出这些不等式的解集的公共局部,即这个不等式组的解集.6、不等式与不等式组不等式：用符号,=,号连接的式子叫不等式. 不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变.不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变.不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号f方向相反.7、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所

4、有解,组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.一不等式的概念：例判断以下各式是否是一元一次不等式？-x>5 2x-y < 0 冬+w+x = -2-+5>3二不等式的解：三不等式的解集：例：判断以下说法是否正确,为什么？(1) X=2是不等式X+3V2的解.(3) X=2是不等式3xv7的解.(2)不等式3xv7的解是x<2o(4) X=3是不等式3x9的解四一元一次不等式：例判断以下各式是否是一元一次不等式 x<5 2x y<0冬+ x 2 2>5>3x例五.不等式的根本性质问题例1指出以下各题中不等式的变形依据1)由 3a>

5、;2 得 a> 22)由 3+7>0 得 a>-73)由-5a<1 得 a>- 14)由 4a>3a+1 得 a>1例2用>或<填空,并说明理由如果 a<b 那么 1) a-2( )b-22)-在3)-3a-5()-3b-5例3把以下不等式变成x>a x<a的形式.X+4>75x<1+4x-4x>-12x+5<4x-2例4 实数a/b/c/在数轴上的对应点如图,那么以下式子正确的选项是()'1J亍A uA cb>ab B ac>ab C cb<ab D c+b<a+b

6、例5 当OVxVl时x x, -x ,之间的大小关系是 L例将以下不等式的解集在数轴上表示出来.X>2x< 13-xv3的非负整数解 -1；MxV29六在数轴上表示不等式的解集：例解以下不等式并把解集在数轴上表示出来一2x+3 <3x+2-3x+2 < 5-2 子厂手8-2(x+2) <4x-2x 二 13-V323_x . 2x 3 _ x-15X+3V1 23题型一：求不等式的特殊解例1 )求x+3 <6的所有正整数解例2)求10-4 (x-3) > 2 (x-1)的非负整数解,并在数轴上表示出来3)求不等式3/十1至0的非负整数解.4)设不等式2

7、 x a <0只有3个正整数解,求正整数题型二：不等式与方程的综和题例1,关于X的不等式2 x a1的解集如图,求a的取值范围.一】x 9 5x 1例2,不等式组 xm+1 的解集是x>2 ,那么m的取值范围是？5x 3y=31例3,假设关于x、丫的二元一次方程组 x+y-p=0的解是正整数,求整数p的值axw_b例4,关于x的不等式组2x- f2by的解集为3 4 x V 5 ,求 b 的值.题型三确定方程或不等式中的字母取值范围例1, k为何值时方程5x 6 = 3 (x + k)的值是非正数例2,关于x的方程3k 5x = 9的解是非负数,求 k的取值范围例3 ,在不等式3

8、x- a < 0的正整数解是1 , 2 , 3 ,求a的取值范围4x-3y =k例4 ,假设方程组 2x+3y=5的解中x>y ,求K的范围例 6,假设 |2a+3| >2a+3,求 a 的例5,如果关于x的方程x+2m-3=3x+7 的解为不大于2的非负数,求 m的范围范围.x,8 4x -1例7,假设(a+1) x>a+1的解是xv 1,求a的范围. 例8,假设xa的解集为> 3 ,求a的取值范围2x-m _ 2x例9,关于x的方程x 3 T 的解是非负数,m是正整数,求m的值9x-a-0例10,如果 8x-bY0的整数解为1、2、3,求整数a、b的值题型五求

9、最小值问题例x取什么值时,代数式 等的值不小于7刀的值,并求出X的最小值.题型六不等式解法的变式应用例1,根据以下数量关系,列不等式并求解.X的1与x的2倍的和是非负数.C与4的和的30 %不大于-2.X除以2的商加上2,至多为5.A与b两数和的平方不可能大于 3.例2 , x取何值时,2 (x 2) (x 3) 6的值是非负数？例3, x取哪些非负整数时,产的值不小于 亨与1的差.题型七解不等式方程x-2 a例1,求方程4 x + y-2 0 = 0的正整数解.例2, x-3a<-2无解,求a的取值范围.题型八比拟两个代数式值的大小例1,A=a + 2, B=a ? a + 5, C=

10、a ? + 5a19,求b与A, c与A的大小关系一、选择题1,在平面直角坐标系中,假设点 Pm 3, m+1在第二象限,那么 m的取值范围为A. 1<m< 3 B. m>3C. m< 1 D . m> 12,关于工的一元二次方程-加=0有两个不相等的实数根,那么实数 期的取值范围是A 胡 <0 B- C <-2 C 超>0 D -胡?-13,四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P、Q、R、S,如图3所示,那么他们的体重大小关系是A、P>R>S>Q B、C>S>P>R C、d、S>P>R>Q&

11、quot;3 <一14,把不等式组i的解集表示在数轴上正确的选项是5 x <6C.D.5.不等式一一大?1的解集是2P5-3x>06.假设不等式组、 有实数解,那么实数 用的取值范围是彳一阳A.那名一 B.那 <一 C. D>- D. m?- 33337,假设24+T?%+26,那么口,2的大小关系为A.B,C. D D,不能确定8,不等式一x-5<0的解集在数轴上表示正确的选项是9,不等式31-53+工的正整数解有A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个10,把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如下图,那么这个不等式组可能是121<3J jJ

12、 '11,不等式组 工：_,的解集是 A.工<2B. 0-1 C. -l<x<2D.无解12,不等式组,B13,在数轴上对应的点如下图,那么-a<a <1C,1的大小关系正确的选项是C <-a<a D.a<l<-a那么以下关系正确的选项是14,如图,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,A. a>c>bB. b>a>c Ca>b>c D. c>a>b-一的解集在数轴上可表不为x+2W415,不等式组i的解集在数轴上表不正确的选项是-2<116,把不等式组<

13、; 的解集表示在数轴上,正确的为图 3中的0-101-101A.B.C.D.17,用 ©表示三种不同的物体,现放在天平上比拟两次,情况如下图,那么©o©这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为L27A- 0 <5><©E. 叵)c <>©<E) D. <c>(E)(a> l+ x> 019,在数轴上表本不等式组i 1 的解集,正确的选项是()24401,3x+4 < 6+2(x-2),那么卜+1的最小值等于 2,如图,函数)二3+b和)=白彳+3的图象交点为P ,那么不等式工+b公

14、r+3的解集为3,px + 2>2U-l),/+8 >41的解集为2x+5<3(x+2)4,不等式组,工_1元的整数解的个数为 <35,.关于1的不等式组,x-a>Q, 1-A>0的整数解共有3个,那么口的取值范围是'3Q + 2)?x+41,解不等式组 x-<1.22x-4 <x6 .不等式组?的解集是x+9>4x3,假设不等式组2x+3<l x>(a-3) 的整数解是关于x的方程2工一4二幻:的根,求a的值.17 .不等式组肾:;的解集为T<x<三、简做题x + 1 > 0, ,不等式组 工- 2

15、并写出该不等式组的最大整数解 x<+ 2,那么(m + n)2021 =4.解方程|工-1|+|1+2|=5.5.参考阅读材料,解答以下问题：(1)方程|彳+3卜4的解为(2)解不等式|彳引+|彳+ 4 >9；(3)假设&a对任意的x都成立,求a的取值范围4,> + 2>0解不等式组 x-i并把解集表示在下面的数轴上.+ 1 > x2I I I III1II 一-3 -2 -101235,解不等式组2x-5 <xf5苫-4孑 31+26,解不等式组:p+3>0, 加-1)+333冗并判断二是否满足该不等式组. 心. 十一 r . a一 r- &

16、gt; 一17,解不等式3x-2<7,将解集在数轴上表不出来,并写出它的正整数解.8,解不等式组< 2,并写出它2x+l>5(x-l)的所有整数解.121+7孑1-茶 9,解不等式组 <合 并求出所有整数解的和.16-3(1-工),5吊不等式复习1 一：知识点回忆1、一元一次不等式组的定义: 2、一元一次不等式组的解集、解法:3、求不等式组的解集的方法时,x>b;同大取大彳<口时,xva；同小取小时,avxvb；大小小大取中间时无解,大大小小无解:小试牛刀1、不等式8-3x >0的最大整数解是 2、假设a +1x >a +1的解集是x >1

17、,那么a必须满足 x >4.3、假设不等式组,的解集是4 < x < a ,那么a的取值范围是 x <a,914、假设0<a <1,那么a2、1、a之间的大小关系是.a5、如果一元一次方程 2x-5k =x+4的解是正数,那么k的取值范围是6、如图,直线y=kx+b经过点A-1,-2和点B-2,0,直线y = 2x过点A,那么不等式2x < kx+b < 0的解集为A. x<2B. -2<x<-1C. -2<x<0 D . -1 < x < 0.=(2x 1) > x 1 437、不等式组芯一上0的

18、解集为x<2,试求k的取值范围 8、由x >y得ax< ay的条件是()A.a>0 B.av0 C.a>0 D.a<09、由 a>b 得 am2>bm2 的条件是()1L 5 43 2 1A.m >0 B.m < 0 C.mw0 D.m 是任意有理数三：例题讲解1、关于x的不等式2x+m>-5 的解集如下图,那么 m的值为()A, 1 B, 0 C, -1 D, 3 2、不等式2x+1<a有3个正整数解,那么a的取值范围是?3、关于x的不等式组3xaA0的整数解共有3个,那么a的取值范围是多少?1 -X . 0X <

19、2I3x + v=2k,L- 4、假设方程组, 解满足x <1,且y>1,求整数k的取值范围.5、假设不等式组乂 > 215无解,求a的取值范围y - x =36、不等式组12ax -62的解集是ivxvb.那么a+b的值?6x -5 ： b7、某工厂现有甲种原料 360千克,乙种原料290千克,方案利用这两种原料生产 A、B两种产品共50件,生产 一件A种产品用甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克,乙种原 料10千克,可获利1200元.(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案？请你设计出来；(2)设生产A、B两种产品

20、总利润为y元,其中一种产品生产件数为 x件,试写出y与x之间的函数关系式,并利用 函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？,e 一 一 2x-3-0.8、如果不等式组 <无解,那么m的取值范围是x & m9、X是哪些非负整数时,3x-2 的值不小于 竺口 与1的差丁3-x 2y =1 一10,假设万程组4的解x、y的值都不大于1,求m的取值范围x -2y = m11,、不等式组 / a -0 的整数解共有5个,那么a的取值范围是3-2x> -112,、用假设干辆载重为8吨的汽车运一批货物,假设每辆汽车只装5吨,那么剩下10吨货物,假设每辆车装满 8吨,那么最后 一辆

21、汽车不空也不满,请问有多少辆汽车?13、某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共100件,学校方案租用甲乙两种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多载 40人和10件行李；乙种汽车每辆最多载30人和20件行李.(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的方案一(2)如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为2000, 1800元,请你选择最省钱的一种租车方案.14、为执行中央“节能减排,美化环境,建设美丽新农村的国策,我市某村方案建造 A、B两种型号的沼气池共 20 个,以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表： 可供建造沼气池的占地面积不超过

22、365m2,该村农户共有492户.(1)满足条件的方案共有几种？写出解答过程.(2)通过计算判断,哪种建造方案最省钱.型号占地面积 (单位:m2/ 个)使用农户数 (单位:户/ 个)造价(单位：万元/个)A15182B20303例题解析2x 1 10x 15例1解不等式 -0>-x-5,并把它的解集在数轴上表示出来.364a 2 2a 1例2 假设实数a<1 ,那么实数 M=a , N= , P=的大小关系为A. P>N>MB, M>N>P C. N>P>M D, M>P>N例3假设不等式-3x+n>0 的解集是x<2 ,

23、那么不等式-3x+n<0 的解集是例4某公司为了扩大经营,决定购进 6台机器用于生产某种活塞.？现有甲,乙两种机器供选择,其中每台机器的价34万元.格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算,本次购置机器所耗资金不能超过甲乙价格/ (万元/7台)5每台日产量/106个00(1)按该公司要求可以有几种购置方案?(2)假设该公司购进的6台机器的日生产水平不低于380个,那么为了节约资金应选择哪种购置方案?例5某童装加工企业今年五月份,？工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60% .为了提升工人的劳动积极性,根据完成外商订货任务,企业方案从六月份起进行工

24、资改革.？改革后每位工人的工资分两局部：一局部为每人每月根本工资200元；另一局部为每加工1套童装奖励假设干元.(1) ?为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元,按五月份工人加工的童装套数计算,工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元(精确到分)？(2)根据经营情况,企业决定每加工1套童装奖励5元.？工人小张争取六月份工资不少于 1200元,问小张在六月份应至少加工多少套童装？强化练习一、填空题1 .假设不等式ax<a的解集是x>1 ,那么a的取值范围是2 .不等式x+3> 1x的负整数解是23 .不等式5x-9 < 3 (x+1)的解集

25、是4 .不等式4 (x+1) > 6x-3的正整数解为.3x+4 <6+2 (x-2), M x+1 的最小值等于 .,假设不等式a (x-1) >x-2a+1的解集为x<-1 ,那么a的取值范围是7 .满足2x> 土！的x的值中,绝对值不大于10的所有整数之和等于 238 .小明用100元钱去购置笔记本和钢笔共 30件,每本笔记本2元,？每支钢笔5元,那么小明最多能买支钢笔.9 .某商品的进价是500元,标价为750元,商店要求以利润不低于 5%的售价打折出售,售货员最低可以打折出售此商品.10 .有10名菜农,每个可种甲种蔬菜 3亩或乙种蔬菜2亩,？甲种蔬菜每

26、亩可收入 0.5万元,乙种蔬菜每亩可收人种甲种蔬菜.入0.8万元,假设要总收入不低于 15.6万元,？那么最多只能安排 、选择题|11 .不等式-x-540的解集在数轴上表示正确的选项是()-50BD论错误的是()A. a-b>0 B. ab<0 C. a+b<0D. b (a-c) >013 .如下图,一次函数 y=kx+b的图象经过A, B两点,那么不等式kx+b>0?的解集是()A, x>0B, x>2C. x>-3 D, -3<x<2/4中k狂 2x+1 , ax -1.即苗口14 .如果不等式 +1> 的解集是A. a

27、>5B. a=53C. a>-5x< 5 ,那么a的取值范围是()3 D. a=-515 .关于x的不等式2x-a4-1的解集如下图,那么 a的取值是(A. 0C. -2B. -3D . -1016.初中九年级一班几名同学,毕业前合影留念,每人交0.70元,一张彩色底片 0.68元,扩印一张照片0.50元,每人分一张,将收来的钱尽量用掉的前提下,?这张照片上的同学最少有()A. 2个B. 3个 C. 4个D. 5个17 .四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P, Q, R, S,如下图,那么他们的体重大小关系是(A. P>R>S>QB. Q>S>

28、P>RC. S>P>Q>RD. S>P>R>Q18 .某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表:三好学生部优秀团市 级323QS12 .如下图,O是原点,实数a, b, c?在数轴上对应白点分别为 A, B, C,那么以下结()A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项三、解做题19 .解以下不等式,并把解集在数轴上表示出来.(1)3x -462x -1 <3(2) x-3>3x -520 .王女士看中的商品在甲,乙两商场以相同的价格销售, 两商场采用的促销方式不同： 在甲商场一次性购物超过 100 元,超过的局部八折优惠；在乙

29、商场一次性购物超过50元,超过的局部九折优惠,那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？21 .甲,乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,？各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购置商品超出300元之后,？超出局部按原价8折优惠；在乙超市累计购置商品超出200元之后,超过局部按原价 8.5折优惠.设顾客预计累计购物 x元(x>300 ).(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；(2)试比拟顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.22 .福林制衣厂现有24名制作服装工人,？每天都制作某种品牌衬衫和裤子,每人每天可制作衬衫3件或裤子5条.(1)假设该厂

30、要求每天制作的衬衫和裤子数量相等,那么应安排制作衬衫和裤子各多少人？(2)制作一件衬衫可获得利润 30元,制作一条裤子可获得利润 16元,？假设该厂要求每天获得利润不少于2100元,那么至少需要安排多少名工人制作衬衫？23 .某零件制造车间有工人 20名,？每名工人每天可制造甲种零件 6个或乙种零件5个,且每制造一个甲种零件 可获利150元,？每制造一个乙种零件可获利 260元,在这20名工人中,车间每天安排 x名工人制造甲种零件,？ 其余工人制造乙种零件.(1)请写出此车间每天所获利润 y (元)与x (人)之间的关系式；(2)假设要使每天所获利润不低于 24000元,？你认为至少要派多少名

31、工人去制造乙种零件才适宜？24 .足球比赛的记分规那么为：胜 1场得3分,平1场得1分,负1？场得0分,一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛8场,负了 1场,得17分,请问：(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场？(2)这支球队打满了 14场比赛,最高能得多少分？(3)通过比照赛情况的分析,这支球队打满14场比赛得分不低于29分,？就可以到达预期目标,请你分析一下,在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场,才能到达预期目标？25 .宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加,去年到达550名,？其中面向全省招收的“宏志班学生,也有一般普通班学生.由于场地、师资等限制,今年招生最多比去年增

32、加100人,其中普通班学生可以招 20% , ? “宏志班学生可多招10%,问今年最少可招收“宏志班学生多少名？一元一次不等式和一元一次不等式组一.填空题：1 .假设 x< y ,那么 x -2 y 2 ；(填“ <、> 或="号)a b2 .假设M 3a b;(填“<、>或="号)3.不等式2x>x + 2的解集是;39,3 -2y ,4.当y时,代数式 y的值至少为1; 5.不等式6-12x<0的解集是 ；46.不等式7-x >1的正整数解为： ; 7.假设一次函数 y=2x-6,当x 时,y >0 ；8 . x的3

33、与12的差不小于6,用不等式表示为；59 .不等式组2x-3<0的整数解是；3x+2>0一. 3x +2y = D +1 一10 .假设关于x的方程组3 y " 的解满足x> y ,那么P的取值范围是4x +3y = p -1二.选择题：(每题3分,共30分)11 .假设2> b,那么以下不等式中正确的选项是a b(A)a-b <0(B)-5a<-5b(C)a+8<b 8(D) <一4412 .在数轴上表示不等式 x>-2的解集,正确的选项是 一 1_I_I_ I -3 -2 -1 0-3 -2 -1 0-2 H 0 1 2-3 T T 0(A)(B)(C)(D)13 .两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么这个解集为(A) x> -1(B) x>1(C)-3 <x < -1(D)x>-314.不等式2(x -2) < x-2的非负整数解的个数为(B)不等式组(A)1(B)215.以下不等式求解的结果,正确的选项是x 3(A)不等式组上 的解集是x<-3x -5(C)3(D)4x > -5一的解集是x>-5x之-4(C)不等式组x 5无解x ： -7XW10-L(D)