2003考研数一真题及解析资料

1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.1(1) lim(cosx) = 曲面Z仝 寸与平面2x 4yz = 0平行的切平面的方程是 t r力/V/ n.I 1Z *!'1QO(3)设 x2 - a an cos nx(-二 _ x -)，贝U a2=.n=01 “ / j 、从R2的基。1 =到基优=严2 =匚的过渡矩阵为e丿 厂1丿a.丿j,(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 心-笄-壮八1,则、0,其他，PX Y 乞 1= ' _(6)已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从

2、正态分布N(",1)，从 中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm),则、1的置信度为0.95的置 信区间是.(注：标准正态分布函数值 门(1.96) =0.975,门(1.645) =0.95.)二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给 出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示,则f(x)有()(A)个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.设an, bn, Cn均为非负数列,且 lim an_jpc=0, li

3、m bn = 1, lim cn -：,则必(A) an <bn对任意n成立.(B) bn < Cn对任意n成立.(C)极限lim anCn不存在.n_Jpc(D)极限lim bnCn不存在.n已知函数f(x,y)在点(啲某个邻域内连续，且(D)三个极小值点和一个极大值点.(A)(B)(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.%虬0訂1 '则()点(0,0)不是f (x, y)的极值点.点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(X,y)的极值点.设向量组I ：12,可由向量组II :d t,s线性表示，贝S(A)当r <s

4、时，向量组II必线性相关.(B)当r s时，向量组II必线性相关.(C)当r <s时，向量组I必线性相关.(D)当r s时，向量 组I必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组 Ax=O和Bx = O,其中A,B均为m n矩阵，现 有4个命题： 若Ax=O的解均是Bx=O的解，则秩(A)_秩(B)； 若秩(A)_秩(B)，则Ax = O的解均是Bx = O的解； 若Ax=O与Bx=O同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B),则Ax=O与Bx = O同解.以上命题中正确的是()亦 夕;“ I(A).(B).(C).(D).X . Xt I »- -I(6) 设随机变量 Xt

5、(n)(n J),丫二 12，则()X %(A) Y 2(n).(B) 丫2(n-1).(C) Y F( n,1).(D) Y F(1, n).三、(本题满分1O分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y = lnx及x轴围成 平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数f(x)二arctan -2x展开成x的幕级数，并求级数( 1)的和.1 +2x山2 n + 1五、(本题满分10分)已知平面区域 D二(x,y)0乞x,0乞y , L为D的正向边界.试证：(1) 沖 _ yenxdx -沖畑 _ yesin

6、xdx;(2) 丄 xesinydy ye3xdx_2：2.六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k 0).汽锤第一次击打将桩打二几广七八： 进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一/z' ,，r | p r；-.次击打时所作的功之比为常数r(0 ： r ：1).问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？XX'"f I- "I(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？(注：m表示长度单位米.

7、)七、(本题满分12分)设函数y = y(x)在(*；'：)内具有二阶导数，且y = 0,x = x( y)是y = y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程 d-x + (si门灭)(生)3=0变换为dydyy =y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) = 0, y (0 |的解.八、(本题满分12分)设函数f(x)连续且恒大于零，in f(x2 y2 z2)dvii f(x2 y2)d二F(t)二凹 22，G(t)二牛 厂ff f(x +y )dbf f(x2)dxD(t)J其中皿二(x,y,z)x2 +y2 +z2 兰t2， D(

8、t) =(x,y)x(1)讨论F(t)在区间(0：)内的单调性.证明当t 0时，F(t)JI九、(本题满分10分)设矩阵A二01'0，B = PA*P，求 B + 2E 的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为h:ax 2by 3c 二 0，bx 2cy 3a 二 0， ex 2ay 3b 二 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b 0.十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙 箱后，求：(1) 乙

9、箱中次品件数X的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为其中二0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本Xi,X2, ,Xn，记(1)求总体X的分布函数F(x)； 求统计量孑的分布函数F?(x);(3) 如果用昭乍为二的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题1(1)【答案】-7e【详解】方法1:求lim u(x)v(x)型极限，一般先化为指数形式然后求lim v(x)ln u(x)，再回到指数上去.IncosxIn cosx2lim _ln(1 x )ln(1 -x 方法2 :令y二(cosx

10、)1，有ln y二如弩，以下同方法1 .【答案】2x 4y - z =5【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量 平行即可. ) x Qn(1 -x2)lim (cos x) =lim e (x )0x_0.ln cosx ln (1 cosx-1)cosx-1蚂齐xr四lTFT =四厂(等价无穷小替换In(1 x)L x)1 2_X11= lim= -(等价无穷小替换1-cosxLI x2)x 刃 x222 _ 1ve12ln(1 x )原式=e平面 2x 4y - z =0 的法向量：& =2,4, -1；曲面z = x2 y2在点(Xo,y°,Zo)

11、的法向量山=Zx x (y° Zy,x° y ) - , o2x(,2yo, -1由于n1 / n2，因此有可解得，xo =1,y° =2，相应地有Zo2丄 2口xoyo5.所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：n2,4, -1，故所求的切平面方程为2(x1) 4(y2) (z5) =0，即 2x 4y_z【答案】1【详解】将f (x)二X2( 7丄空X)展开为余弦级数2 二=一 O f (x) cos nxdx .JToOf (x) = x2 八 an cos nx(-二 x 岂二)，其中 an =S所以 a2 _： 2jix coSxdx=121,xdsin

12、x= x2s in x 0 - ° six2 xdx JI【答案】I 231-1 -2>【详解】n维向量空间中，从基1,2,，n到基St的过渡矩阵P满足-1, ：2/, n = 1 2/,： nP，因此过渡矩阵P为:P= ： 1,： 2，: n'1,3, .根据定义，从R2的基：1二L1丿到基-1二的过渡矩阵为.1I11 123 1 2 |0 一1 1 2 一 一1 一2 .【详解】图中阴影区域为积分区域由题设，有p=%s珂优心=¥ T 1 ："=¥'0 -1 12-'0(5)【答案】1 .【分析】本题为已知二维随机变量(X

13、,Y)的概率密度f(x,y),求满足一 定条件的概率Pg(X,Y)岂z。.连续型二维随机变量(X,Y)概率的求解 方法 此题可转化为二重积分Pg(X,Y)乞z。 = f(x, y)dxdy进行计算.g(x,y)沒*1(6)【答案】(39.51,40.49).【分析】可以用两种方法求解:由正态分布分为点的定义P:u . = 1 - 可确定临界值U ：.,2 2PX Y = f (x, y)dxdyxy巴(1)已知方差2 =1，对正态总体的O学期望、嚳行佔计.因为一 1 n 1xLI N( <1)，设有n个样本，样本均值X二Xi，则xL NC1,-)，将n yn_其标准化，由公式X=E卫N(

14、0,1)得： N(0,1)进而确定相应的置信区间(n,x un).本题是在单个正态总体方差已知条件下， 求期望值"的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间 (x-u；,xu=)，其中2 n2J nPu| 也 =1-G ,uLI N(0,1)，可以直接得出答案.2【详解】方法1 :由题设，17=0.95，可见:一 0.05.查标准正态分布表知分位点u：. =1.96.本题n =16,又=40.2根据P：1.96 =0.95，有P40 - J1 .'16：1.96 =0.95即P39.51： 40.49 = 0.95，故的置信度为0 . 95的置信区间是(39.51,40.49

15、).x = 40代入(x方法2 :由题设，1-二=0.95 ,查彳得 u= 1.96.彳各;= 1 , n =162置信区间(39.51,40.49) 二、选择题(1)【答案】(C)【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x轴交点的个数)；x = 0是导数 不存在的点.对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两 侧导数符号由负变为正

16、，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点, 一个极大值点;对导数不存在的点：x=0 .左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为 负，可见x=0为极大值点.故f (x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【答案】(D)【详解】方法1 ：推理法由题设lim bn =1 ,假设l i ibncn存在并记为A ,则 n_sc矛盾，故假设不成立，nimw不l i icn用 =人,这与 lim cnn_n 厂 bnn 厂存在.所以选项(D)正确.方法2 :排除法,满足 lim a* 二 0, lim bn nn ：n：,而 a! =1,6 = 0冋 b , (A)不正确;Cn = n -2 ,满足 lim

17、 bn =1, limnpCCnn )：:,而 b =0 一1 F , (B)不正确;G 二 n -2，满足 lim an=0, lim c:,而 lim anCn =1 , (C)不正n-SC确.f (x, y) xy【详解】由xJim (2)2xT，yj0 (x +y )【答案】(A)=1= f (x,y)-xy 二(1 叱)(x2y2)2，其中 lim “0 .y )0由 f(x,y)在点(0,0)连续知，f (0,0) -0 .取 y = x , x 充分小，x = 0，有 f(x, y) = x2 (1 : )(2x2)2 0 ;取 y = -x , x 充分小，xO，有 f (x,

18、 y) = -x2+(1+a)(2x2)2 £0故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).(极值的定义)（4）【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若 向量组I :2,可由向量组II 2厂线性表示，则当r s时, 向量组I必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I :1,2厂，：可由 向量组II : 1,3- , s线性表示，且向量组I线性无关，则必有r乞s .可 见正确选项为（D）.本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：则G 1=0也+0巴，但P 1严2线性无关，2丿 U丿:'I*!1十.“JI排除（厲；01低=r，则旳,5可由01线

19、性表示，但b 1I。丿I。丿0丿线性无关，排除（B） ； 1=卩氏=卩、20，可由为用2线性 I。丿2丿U丿表示，但：1线性无关，排除（C）.（5）【答案】（B）【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但 、两个命题的反例1 I比较复杂一些，关键是抓住 、，迅速排除不正确的选项.【详解】若AX =0与BX =0同解，贝卩它们的解空间中的基础解系所含 向量个数相同，即n-秩（A）= n-秩（B）,得秩（A）=秩（B）,命题成立， 可排除（A）, （C）；但反过来，若秩（A）=秩（B）,则不能推出AX=0与BX=0同解，通过举一反例证明，若-00o o_-B0，则秩（A）二秩（B）=1，但1AX =

20、0与BX =0不同解，可见命题 不成立，排除（D）.故正确选项为 (B).(6)【答案】(C).【分析】求解这类问题关键在于了解产生2变量、t变量、F变量的典型模式.(1) 2分布：设Xi,X2l(,Xn相互独立且均服从标准正态分布，则n随机变量Z=、Xi2服从自由度为n的2分布.记做zL 2(n).i A(2) t分布：设XiL N(o,1) , X2 2(n)，且Xi,X2相互独立，则随机变量zX1服从自由度为n的t分布.记做zUt( n)JX2 /nV| P r.(3) F分布：设xL 2(ni),YL 2(n 2),且X,Y相互独立，则随机变量Z二Xni服从f分布，其第一、二自由度分别

21、为mm记做ZL Fgm).Y %叼r 戶 、!【详解】其实，由F分布的性质以及t分布和F分布的关系得，(1) 如果统计量 TLIt(n)，则有T2L F(1,n)；(2) 如果统计量F】F(m m),则有丄LI.F由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C).先由t分布的定义知X二U Lt(n)，其中UN(0,1),V 2(n),于是分母中只含有一个标准正态分布的平方， 所以U2 2(1).由F分布的定义知YF(n,1).故应选(C).三【分析】圆锥体体积公式：V=r2 h ；旋转体的体积：3(1) 连续曲线y二f(x)，直线x=a、x=b所围成的图形绕直线x=x°bc旋转一周而成的

22、立体的体积V| -二lf(x)-x0ldx(2) 连续曲线x二g(x)，直线y二c、y"所围成的图形绕直线 沪yd2旋转一周而成的立体的体积V2 - : g(y) - y° f dyc【详解】为了求D的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为X。，则曲线y=lnx在点(x°,lnx。)处的切线方程是：切线的斜率为丫：=丄，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，x0得In X。-1 = 0，从而X。二e.所以该切线的方程为(1) 利用平面图形D的面积公式S二J(y)_t(y)dy，得(2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行i ,的旋

23、转体体积为：因此所求旋转体的体积为四【分析】幕级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即 通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幕级数展开 的情形.另外，由于函数展开成的幕级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分）后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛 区间端点处，求导（积分）后的展开式成立与否，要另行单独处理，设 已有收敛区间为（沧R'Xo - R）.如果在XK - R处级数收敛，并且f（x） （左） 连续，则展开式成立的范围可扩大到R处，在x=x°R处亦有类 似的结论，不过此时f（x）（左）连续应改称（右）连续.【详解】本题可先求导，所以对于

24、函数f (x)11 4x2-2(1 2x) - 2(1 - 2x)2i"一2一一 '基本求导公式i1 2x,可以利用我们所熟悉的函数?1. -_1_1 4x2八-(-4x2)n =(1)n4n 卫n -01oOn21x一1 £ -4x <11的幕级数展开:1 - x（把x换成-4x2）f (x) 一2 2 = Q (-1)n41+4xyn 2nx1 1x(一2,2)对上式两边求积分，得oox c一2、(_1)n4n °t2ndt = -27n =0n ,n x:(-1)n4n-x2n = x (丄,丄),n卫 2n 122'又因为f（0）厂，

25、所以4xHLf(x) =f (0)0 f (t)dt 二-2V42阵xV；'：)1 -2x arcta n1 +2x4n =0(1)n4n2n 12n 1x(*)在V处，右边级数成为，收敛俐用莱布尼茨定理）,左边函数f（x）连续'所以成立范围可扩大到V处而在x处,右边级数虽然收敛，但左边函数f（x）不连续，所以成立范围只能是X (一1,12 2为了求：寻，令X弓代入（*）得1 1 二 f (-22nl _4心 2n 1,再由f（»，得 五【详解】（i）方法仁用格林公式证明.由曲线为正向封闭曲线,Pdx Qdy 二自然想到用格林公式sin ysin xsin y_sin

26、 x、所以 <xe dy yedx=JJ(e+e )dxdyD所以Lxe"inyd yesinxdx =(eny esinx)dxdyD因为积分区域D关于y=x对称，所以sin ysin xsin ysin x故xe dy-ye dx 二 xe dy-ye dx方法2 :化为定积分证明左ITl s y7_ x一 ” siny&-sinx& _. sinx 丄 -sinx.,xe ydyye dx-。二e ydy - 二e dx-二 ° (e e )dx右X Fls y "x 一 -sin y .0 sin xsin x-sin x .,=UL

27、xe ydy_|2ye dx二(兀edy _ J応曲dx二兀(e + e )dx所以sin y I-sin x :xe dy-ye dxr sin ysin x=ci xe dy_ye方法1 :用格林公式证明= ,esinydxdy 亠 11e"sinxdxdy = ,esinxdxdy 亠 11einxdxdy 利用轮换对称性(e .1sinx einx）dxdy _ 2dxdy =2二2(因为 a b_2.ab,a 0,b 0)方法 2 :由(1)知，口Lxesinydy-丫尹以=兀/"+eqnx)dx"2dx =2代2六【详解】(1)建立坐标系，地面作为坐标

28、原点，向下为x轴正向,设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n =1,2,3，).由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx,汽锤所作的功等于克服阻力所做的功.r? s11 xik2x2k22严k22W kxdxx1,W2二 kxdx（x? _x）,W3= kxdx（X3x?）,02幷2卷2Xi =a从而WW2Wk 2x3W2 二 rW1 , W3 二 rW2 二 r2W ,从而于是kx2 =W,+W 2+W 萨（1+r 有（窃+r2兰）a 2 2 2怡=a 1 r 2r.第n次击打后，桩被打进地下Xn，第n次击打时，汽锤所作的功为 Wn(n

29、=1,23 ).则汽锤前n次所功的和等于克服桩被打进地下Xn m所做的功.而Wkxdx=ka2牛-莱公式叩2所以£xn2 二(1 r 川 rn，£a 2从而人=a +r +山+rn" =aj -r .等比数列求和公式Y 1 r由于 0 ： r ： 1，所以 lim Xn 1-.n#J1 _r2七【详解】(1)将题中的型与瞑变换成以X为自变量y为因变量的 dy dydx = 11d2xdy dy 一 y ， dy2 dxd / dx、 d z 1 dx()=()=dy dy dx y dyIM 4¥-y 1 = _ y23 -y y (y)y _ y 二

30、sin x.dx导数与雪来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有 dx dx特征方程为r2 _1 = 0,方程(* )所对应的齐次方程为y”-y = o ,根g，因此通解为Y=C!ex Ge由于不是特征方程得根,所以设方程(* )的特解为y = -Asinx Bcosx， y = Acosx - Bsin x代入方程(* )，得：AcosxBsinx 一Acosx -Bsin x = -2Acosx-2Bsinx =sinxXy'"i I"w- I1 1解得A=0, B = ，故y = -si nx.从而y" y=si nx的通解为由y(o)= o, y

31、(o)= 2，得g=1,C2 = -1 .故变换后的微分方程满足初 始条件y(0) =0,y(0)=3的解为且y(x)的导函数y(x) =ex_1cosx>0 ,满足题设y0条件.八【详解】(1)首先对F(t)进行化简，三重积分转化为在球面坐标系 中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算.=2二;f (r2)r2dr -cos二;f (r2)r2dr(球面坐标)f(x2 y2)d；= J" / ：f(2)心=2二:f (r2)rdr(极坐标)D(t)所以为了讨论F(t)在区间(0/:)内的单调性，对F(t)求导：由于f(t) 0,r Ot-r0,所以f(r2)r(t -r)

32、0.再利用定积分的性质：若在区间a,b上f(x)O，则f(x)dx>0.所以L(t)O，所以F(t)在区间(0：)内严格单调增加.(2)将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.因为if(x2)dx=2 f f(x2)dx=2,f(r )dr , 所以要证明t>0时F (t)>2G(t)，只需证明t>0时，F(t)-?G(t) = O,即卩HJI人ttt2令g(t)(r2)r2dr.°f(r2)dr 一 ° f(r2)rdr故g(t)在(0,=)内单调增加，又因为g(0) =0，所以当t 0时，有g(t) ( 0戶 02

33、从而 t 0 时，F(t) G(t).九【分析】 法1 ：可先求出A*,P°，进而确定B = PA*P及B + 2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法 2:先求出A的特征值与特 征向量，再相应地确定 A*的特征值与特征向量，最终根据 B + 2E与 A* 2E相似求出其特征值与特征向量.【详解】方法1 :经计算可得| 522 |A*= -25-2 ,广2-25 一_70所以 B = P，A*P二-2 5_ 2 _ 2k 一9令卩-E-(B+2E)|= 220 1'900-4,B+ 2E =-27-4 .3 一_ 2_ 25 j00_ 74(扎一9)2(扎-3)=0 ,2

34、丸一501-1PJ =100【°01 一故B 2E的特征值为=9, =3.当2=9时，解（9EA）x=O,得线性无关的特征向量为所以属于特征值=黑2 =9的所有特征向量为-n tkJi +k2=ki 1卄2 0 ，其中ki,k2是不全为零的任意0 j J J常数.当3 =3时，解（3EA）x=0，得线性无关的特征向量为 I11，Jj1 ，其中kO所以属于特征值3 =3的所有特征向量为k3 3=k3-I为任意常数.方法2 :设A的特征值为，对应的特征向量为 ，即a.由于A = 7=0，所以 -0.所以 A* A=| A 已 Aha# I AE= （ A9A|=| （ A）E亍 a*（0

35、）=|a|h=人aF=|a|h=,/u- T - 一于是 B（P）=p/A*P（pJ H （P4 ）,因此，2为B 2E的特征值，对应的特征向量为P，.丸 _3 _2_2由于注-A = 2丸-3 -2 =（几-I）九-7）,故A的特征值为_2 _2 丸 _31 二 2 =1, 3 =7当-2 =1时，对应的线性无关特征向量可取为当也=7时，对应的一个特征向量为4= 1-101-1-141I,P"因此,B 2E的三个特征值分别为9 , 9 , 3 .对应于特征值9的全部特征向量为-1*-11。一11 一1k1Pdk2PJ 2 =k1，其中k1,k2是不全为零的任意常数;对应于特征值3的

36、全部特征向量为01k3P3 二 k3，其中k3是不为零的任意常数.十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法1： “必要性”.设三条直线11,12,13交于一点，则线性方 程组ax 2by - -3c,(*)bx 2cy 二-3a,ex 2ay 二-3b,_a 2bl_a 2b -3c1有唯解，故系数矩阵A =b 2c与增广矩阵A =b 2c -3a的c 2aIc 2a - 3b秩均为2,于是A =0.= 3(a b c)(a-b)2 (b -c)2 (c -a)2,由于三条直线互不相同，所以(a b)2 (b 一 c)2 (c 一 a)2 = 0 ,故“充分性”.由a+b + c = O,则从必要性的证明可知，A产0，故H U j i 秩(A) <3.a 2b b 2c由于22123 2= 2(ac-b ) =-2a(a b) b = -2(a b) b = 02 4故秩(A) =2 .于是，秩(A)=秩(A)=2 .因此方程组(*)有唯一解，即三直线11,12,13交于一点.j I方法2 :“必要性”XI设三直线交于一点(Xo，y°)，贝S yo为BX=0的非零解，其中a 2b 3cB =