华东理工大学2010线性代数答案 第7册

1、华东理工大学线性代数作业簿（第七册）学 院_专 业_班 级_学 号_姓 名_任课教师_5.1 方阵的特征值与特征向量1. 选择题(1) 设为方阵的特征值，则 ( ). (A) 矩阵的对应特征值的所有特征向量构成一个向量空间;(B) 矩阵的对应特征值的特征向量一定有无穷多个;(C) 对应特征值的特征子空间的维数等于矩阵()的秩;(D) 矩阵()一定可逆.解：B. 若是对应的特征向量，那么 ()也是对应的特征向量，故有无穷多个。注：特征向量一定是非零向量，矩阵的对应特征值的所有特征向量和零向量一起才构成向量空间，即特征子空间。(2) 设为方阵的特征值，则矩阵()一定有特征值 ( ). (A) ;

2、(B) ; (C) 1/; (D) 0. 解：D. 因为方阵的特征值，故矩阵()的行列式等于 0，故0一定是矩阵()的特征值。(3) 设阶方阵和有完全相同的特征值，如下错误的是 ( ). (A) ; (B) ; (C) 矩阵和有完全相同的特征向量; (D) 矩阵和有相同的奇异性(同为可逆或同为不可逆). 解：C. 比如二阶矩阵有相同的特征值 （二重特征值），但和的对应的特征向量不同. (4) 设, 且有特征值, 则= ( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解: B. 一方面；又, 所以得.(5) 设为实正交矩阵, 即, 则的特征值只能是 ( ).(A) 1; (B) ; (C

3、) 0; (D) .解: D. 设是的特征值, 是对应的特征向量, 即有,所以有,另一方面, 又有,结合上述两式得, 即. 2. 计算题 （1）求矩阵的特征值与特征向量. 解: 由,得的特征值为: ,当时, 解方程 , 由, 得基础解系为 ,，故对应的全部特征向量为 ;当时, 解方程 , 由, 得基础解系为 ,故对应的全部特征向量为.(2) 已知3阶矩阵有特征值,求的特征值.解: 当是的特征值时, 则矩阵的多项式必有特征值. 记, 故有特征值: , , .(3) 设矩阵, 且的特征值为, 求.解: ,因为有特征值为得: , 即, 解得 , 无限制, 故.(4) 设向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,

4、 试求常数的值.解：设, 左乘得 , 即 ,即, 解得, 故有或.3. 证明题 (1) 设分别是矩阵属于不同特征值的特征向量, 试 证: 不可能是的特征向量. 证明: 设是的对应于特征值的特征向量, 即有, 另一方面, 又有, 综上得, 再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”, 知必有 即得 , 与已知条件 矛盾, 故命题得证. (2) 设， 试证明的特征值为,并求.（本题可选做. 提示：利用哈密尔顿-卡莱定理: 若为矩阵的特征多项 式，则为零矩阵） 证明：根据计算题(1)知的特征多项式为： , 因的特征值为，5，故的特征值为： ，. ， 因为的特征多项式，故, 代入得 =1，

5、即 的特征值为 . 由，知 ， 又因 ，代入得 .5.2 相似矩阵1.选择题 (1) 设两个不同的阶矩阵与相似，则错误的选项是 ( ). (A) ; (B) 与有相同的特征值; (C) 与等价; (D) 若存在可逆阵使为对角阵，则也是对角阵.解：D. 选项A，B显然正确. 又若与相似，则存在可逆阵使，即可通过矩阵初等变换化为，故与等价，即选项C也正确. (2) 已知是阶可逆矩阵， 如果与矩阵相似，则下列四个 命题中，正确的命题共有( )个. a) 与相似； b) 与相似； c) 与相似； d) 与相似. (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解：A. 选项b、c、d显然成立；因为，故选

6、项a也成立. (3) 设矩阵与对角阵相似，其中， 则如下错误的选项是( ). (A) 矩阵可逆; (B) ; (C) 与单位阵相似; (D) 有特征值.解：C. 可逆阵一定与单位阵等价，但未必与单位阵相似。选项A、B、D显然成立.2. 判断下列矩阵能否与对角阵相似，并说明理由. (1); (2); (3).解：(1)显然有三个不同的特征值, 故有三个线性无关的特征向量, 从而相似于对角阵.(2) ,由得A的特征值由 知方程组有两个线性无关的特征向量；而单根必有另一特征向量, 故有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵能够相似于对角阵.(3), 由得A的特征值又, 故方程组只有一个线性无关的特征向

7、量, 三阶矩阵没有三个线性无关的特征向量, 故不能相似于对角阵.3. 设矩阵，求.解: 由, 可得矩阵的特征值. 易求：对应特征值, 有两个线性无关特征向量 , ； 对应特征值, 有一个线性无关特征向量 ； 令, 则 由，得 , 故 .4已知矩阵与相似，(1)求； (2)求一个可逆阵，使得.解: (1) 由相似于, 得 , , 即，解之得 ；(2)与有相同的特征值, 解方程组 , 得特征向量 , 解方程组 , 得特征向量 ,解方程组 , 得特征向量 , 令, 则有. 5.3 实对称矩阵的对角化1. 选择题 (1) 设为阶实对称矩阵且有特征值，下述错误的 选项是 ( ). (A) 矩阵的特征值均

8、为实数; (B) 矩阵的特征向量均为实向量; (C) 矩阵一定与对角阵相似; (D) 若，则一定为正交阵. 解：D. (2) 设为实对称矩阵的一个3重特征根，则 ( ). (A) 矩阵的对应特征值的特征向量线性无关； (B) 矩阵的对应特征值的特征向量两两正交； (C) 矩阵有3个对应的两两正交的特征向量; (D) 矩阵的对应特征值的特征向量的个数恰好是3个. 解：C. 2. 求正交矩阵, 将下列矩阵正交对角化. (1); (2) .解: (1) 由, 可得特征值为，当 解方程组, 得基础解系, 单位化得 ;当 解方程组, 得基础解系，单 位化得;当 解方程组, 得基础解系，单位化得; 取, 则有 .(2) 由, 可得 特征值为,当 解方程组, 得基础解系, ，正交化得, ,再单位化得 , ;当 解方程组, 得基础解系,单位化得, 取, 则有