2020年中考数学二轮核心考点讲解第08讲三角形的存在性原卷板

1、【中考数学二轮核心考点讲解】第08讲三角形的存在性知识储备方皋惇器，方可惜在凡一、两点间距离公式二、等腰三角形“三线合一”三、勾股定理四、锐角三角函数五、全等三角形的判定六、相似三角形的性质与判定方法提炼讦风指著 的第可回春一、等腰三角形与直角三角形的存在性（1）“两圆一中垂”一一满足等腰三角形的点的存在性的作图方法探究1：如图，在坐标轴上找出所有的点 C,使A ABC为等腰三角形。方法：分类讨论：当A为顶点时，即 AB=AC时，以A为圆心，AB为半径画圆，得目标点 G, C2, C3, C4当B为顶点时，即BA=BC时，以B为圆心，BA为半径画圆，得目标点 C5,。，C8当C为顶点时，即CA

2、=CB时，作线段AB的垂直平分线，得目标点 G, Cio故，满足条件的点 C共有10个.(2) -圆两垂直”一一满足直角三角形的点的存在性的作图方法探究2:如图，在坐标轴上找出所有的点C,使A ABC为直角三角形。方法：分类讨论：当/ a=90°时，过点A作线段AB的垂线，得目标点 G, C 当/ B=90°时，过点B作线段AB的垂线，得目标点 C3, C4 当/ C=90°时，以AB为直径作圆，得目标点 C5, C6, C7, C8 故，满足条件的点 C共有8个.(3) “代数求值解法”一一满足等腰 /直角三角形的点的坐标计算方法写出或设出三角形三个顶点的坐标；

3、利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；若是等腰三角形，则由等腰三角形的三边长(的平方)可以两两相等，需分三类，列方程求解；若是直角三角形，则表示出三边的平方，利用勾股定理列出方程即可求解检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形。、相似三角形的存在性（1）导边法，（“SA6法）先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽；以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程 如图，在 ABC和 DEF中，若已确定/ A=/D,则要使 ABC与 DEF相似，需要分两种情形讨论：ABACDE ABDF BCDF 、,再列万程求解即可DE（1）导角法，（AA”法）先找到一组关键的等角；另两个内角分两

4、类对应相如图，在 ABC和 DEF中，若已确定/ A=/D,则要使 ABC与 DEF相似，需要分两种情形讨论：/ B=Z E或/ B=Z F,再进行分析处理即可.例题精讲伯六i击.可从配套技【例题1】在平面直角坐标系中，点 A坐标为（-2, 1）,点B坐标为（2, 3）,点C为x轴上的一个动点， 记作（a, 0）.（1）求AC+BC的最小值，并求 AC+BC的最小值时点 C的坐标.（2）若 ABC为等腰三角形，求点 C坐标.（3）若 ABC为直角三角形，求点 C坐标.（4）若点D坐标为（a+1, 0）,求四边形ACDB的周长的最小值，并求出 C点坐标.【例题2】如图，在菱形ABCD中，Z AB

5、C = 60° , AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点 P、 B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D （P、D两点不重合）两点间的最短距离为【例题3】已知：在矩形 ABCD中，AB=6,点E为边AB上一点，满足 AE=2,连接DE ,在矩形内部作 /DEF = 45° ,交边BC于点F (不与端点重合)，交边DC的延长线于点 G.(1)如果DFLEG,求 DEG的面积；(2)设 AD = x, BF = y,请用含有x, y的式子表示线段 DG的长；求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围；(3)如果 DEF是等腰三角形，试求此时 AD的长.G【例题4

6、】(2020?沈阳一模)如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A ( - 3, 0)和点B (1, 0),交y轴于 点C.已知点D的坐标为(-1, 0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接 AP、PC、CD.(1)求这个抛物线的表达式.(2)当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标.(3)点M在平面内，当4CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点 M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当/ MNC = 45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标.备用图【例题5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A (4, 0

7、), B两点，与y轴交于点C (0, 2),对称轴x=1,与x轴交于点H.(1)(2)侧)，连接CP, CQ,若 CPQ的面积为,求点P, Q的坐标;(3)在(2)的条件下，连接 AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点求抛物线的函数表达式；直线y=kx+1 (kw0)与y轴交于点E,与抛物线交于点 P, Q (点P在y轴左侧，点Q在y轴右G顺时针旋转90。，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.【例题6】如图，直线y=x+3交x轴于点A,交y轴于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C,与 另一点B (1, 0),顶点为D.(

8、1)求抛物线的解析式；(2)过A点作射线AE交直线AC下方的抛物线上于点 E,使/ DAE = 45° ,求点E的坐标；(3)若(2)中AE交y轴于点F, N是线段AC上一点，在抛物线上是否存在点M,使 AMNx轴交于与 ACF相似？若存在，请直接写出点M及相应的N点的坐标；若不存在，请说明理由.【例题71如图，在平面直角坐标系 xOy中，顶点为 M的抛物线Ci： y=ax2-bx (a<0)经过点A和x轴 上的点 B, AO = OB = 2, /AOB=120° .(1)求该抛物线的表达式；(2)联结 AM,求 Saaom；(3)将抛物线Ci向上平移得到抛物线 C

9、2,抛物线C2与x轴分别交于点 E、F (点E在点F的左侧)， 如果 MBF与4AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式.巧题狂练1.如图，/ A=Z B= 90° , AB = 7, BC=3, AD = 2,在边 AB上取点P,使得 PAD与 PBC相似，则满 足条彳的AP长为2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=1x+b交x轴、y轴于B、A两点，且 B点坐标为(8, 0), 4将直线AB沿y轴翻折交x轴于点C.(1)直接写出A、C两点的坐标；角形时，求点P的坐标.(2)设点P为BC上一点，作/ APD = Z C,交AB于点D,在点P移动的过程中，当 APD为直角三3

10、 .已知，A (4, 0), B (8, 0), C (0, 4).动直线EF (EF/x轴)从点C出发，以每秒1个单位的速度 沿y轴负方向平移，且分别交 y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段 OB上以每 秒2个单位的速度向原点 O运动.(1)请分别用t表示BF, BP；(2)是否存在t的值，使得 BPF与 ABC相似？若存在，求出 t的值.4 . (2020?历下区校级模拟)如图所示，在平面直角坐标系中， 二次函数y=ax2+bx+c交x轴于A (-4, 0)、 B (2, 0),在y轴上有一点 E (0, - 2),连接 AE.(1)求二次函数的表达式；(2)点D是第二

11、象限内的抛物线上一动点.若tan/AED=,求此时点D坐标；(3)连接AC,点P是线段CA上的动点，连接 OP,把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ,点Q 是点。的对应点.当动点 P从点C运动到点A时，判断动点 Q的轨迹并求动点 Q所经过的路径长.箭用图5 .如图，二次函数 y= a (x2-2mx-3m2)(其中a, m是常数，且a>0, m>0)的图象与x轴分别交于点 A、B (点A位于点B的左侧)，与y轴交于C (0, - 3),点D在二次函数白图象上， CD / AB,连接AD, 过点A作射线AE交二次函数的图象于点 E, AB平分/ DAE .(1)用含m的

12、代数式表示a;(2)求证：延为定值；AE(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索：在x轴的负半轴上是否存在点 G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含 m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.26 .如图，在平面直角坐标系中， 已知矩形ABCD的二个顶点B (4, 0) C (8, 0) D (8, 8)抛物线y=ax2+bx 过A, C两点，动点P从点A出发，沿线段 AB向终点B运动，同时点 Q从点C出发，沿线段 CD向终 点D运动，速度均为每秒 1个单位长度，运动时间为 t秒，过点P作PEXAB交AC

13、于点E(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式.(2)过点E作EFLAD于点F,交抛物线于点 G,当t为何值时，线段 EG最长？(3)连接EQ,在点P, Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以 C, E, Q为顶点的 CEQ为等 腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由.7 .如图，已知 RtABC中，/C=90° , AC=8, BC=6,点P以每秒1个单位的速度从 A向C运动，同 时点Q以每秒2个单位的速度从 A-B-C方向运动，它们到 C点后都停止运动，设点 P, Q运动的时 间为t秒.(1)在运动过程中，求 P, Q两点间距离的最大值；(2)经

14、过t秒的运动，求 ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；3 3) P, Q两点在运动过程中，是否存在时间t,使得 PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值;若不存在，请说明理由( 史产2.24,结果保留一位小数)8 .数学活动-求重叠部分的面积.问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1,将两块全等的直角三角形纸片 ABC和4DEF 叠放在一起，其中/ ACB=Z E=90° , BC = DE = 6, AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合， DE经 过点C, DF交AC于点C.求重叠部分( DCG)的面积.(1)独立思考：请解答老师提出的问题.(2)合

15、作交流：“希望”小组受此问题的启发，将 DEF绕点D旋转，使DELAB交AC于点H, DF 交AC于点G,如图2,求出重叠部分( DGH)的面积，请写出解答过程.(3)提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将 DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分 面积的问题.“爱心”小组提出的问题是：如图 3,将 DEF绕点D旋转，DE, DF分别交AC于点M, N,使DM = MN,求重叠部分( DMN)的面积.任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出 DMN的面积是.9 .如图，抛物线y=ax2+bx+c (aw0)与直线y= x+1相交于A ( - 1, 0), B (4, m)两点，且抛

16、物线经过 点 C (5, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD，x轴于点D,交直线AB于点E.当PE=2ED时，求P点坐标；是否存在点P使 BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.10 .如图，已知抛物线经过 A (-2, 0), B (-3, 3)及原点O,顶点为C.(1)求抛物线的函数解析式.(2)设点D在抛物线上，点 E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点 D的坐标.(3)联接BC交x轴于点F. y轴上是否存在点 P,使得 POC与BOF相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.11 .如图，二次函数 y= ax2+bx+2的图象与x轴相交于点 A (-1, 0)、B (4, 0),与y轴相交于点 C. (1)求该函数的表达式；(2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点 P作PQLBC,垂足为点Q,连接PC.求线段PQ的最大值；若以点P、C、Q为顶点的三角形与 ABC相似，求点P的坐标.12 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx (a>0),经过点A和x轴正半轴上的 点 B, AO=OB=2, /AOB = 120° .(1)求这条抛物线的表达式；(2