2018年高考数学圆锥曲线压轴专项练习集

1、2018年高考数学圆锥曲线压轴专项练习集八，一八2J5 «2J5 ，、，.1.设A, B分别是直线y 一x和yJx上的两个动点，并且 AB 200 ,动点P55满足OP OA OB ,记动点P的轨迹为C。(1)求曲线C的方程；(2)若点D的坐标为(0,16) , M ,N是曲线C上的两个动点，并且 DM DN ,求实 数的取值范围；(3) M ,N是曲线C上的任意两点，并且直线 MN不与y轴垂直，线段 MN的中垂线l交y轴于点E(0,%)，求yo的取值范围。x222 .如图，已知椭圆 E：当当 1(a b 0)的离心率为 a b2点，焦点到短轴端点的距离为2, P、Q为椭圆E上异于A

2、率等于直线AP斜率的2倍.*PA产(I)求证：直线 BP与直线BQ的斜率乘积为定值；(n)求三角形APQ的面积S的最大值.x2 y2五.3 .已知椭圆 E： + 7=1 (a>b>0)的离心率 e= ，左 a2 b22(2, J3),点F2在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆E的方程；3(2)设l1, I2是过点G(S, 0)且互相垂直的两条直线，22, A、 B为椭圆的左右顶、B的两点，且直线BQ的斜、右焦点分别为 F1、F2,点PI 1交E于A, B两点，I 2交E于C, D两点，求li的斜率k的取值范围；(3)在(2)的条件下，设 AB, CD的中点分别为 M, N,试问直线

3、 MN是否恒过定点？ 若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。4.已知圆E: x2 + )(y - £)2=4 经过椭圆 c： a +b=1 (a>b>0)的左右焦点Fi, F2,且与椭圆C在第一象限的交点为 A且Fi, E, A三点共线，直线l交椭圆C于M N两点，且MI=入0/ (入w 0)(1)求椭圆C的方程;(2)当三角形AMN勺面积取得最大值时,求直线 l的方程.25.已知：一动圆过B(1,0)且与圆A:x2 -一y2x 43 0(0(1)证明动圆圆心 P的轨迹是双曲线,并求其方程;(2)过点B作直线l交双曲线右支于M、N两点，是否存在的值，使得 AMN成

4、为以 ANM为直角的等腰三角形，若存在则求出的值，若不存在则说明理由。6.已知椭圆 C的离心率为 ,F1, F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点， PF1F2的周长为4+2 33 ,直线l： y=kx+m (kwQ与椭圆C相交于A , B两点.(I )求椭圆C的标准方程；(n )若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相 交于M, N两点，与线段 AB相交于一点(与 A, B不重合).求四边形 MANB面积的最 大值及取得最大值时直线l的方程；(出)若|AB|=2，试判断直线l与圆x2+y2=1的位置关系.2x7.如图已知椭圆C： ay214 1(

5、a b 0)的离心率为一，直线L : xb22my 1过椭圆C的右焦点F,且交椭圆C于A, B两点，点A, F, B在直线G：X a2上的射影依次为 D,K, E。(1)求椭圆C的方程;(2)试探索当m变化时，直线 AE是否经过一定点 NI?若是求出N的坐标并给予证明；否则说明理由。(3)设梯形ABED勺面积为S, AOB的面积为S2 ,求色最小值。S2228.已知椭圆E: 1的左焦点为F,左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好84经过坐标原点0,设G是圆C上任意一点.(1)求圆C的方程；(2)若直线FG与直线l交于点T,且G为线段FT的中点，求直线 FG被圆C所截得的弦 长；(3)在平面

6、上是否存在一点P,使得GF 1 ?若存在，求出点 P坐标；若不存在，请GP 2说明理由.9.已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为 塔,它的一个顶点恰好是抛物线x2=4'/2y的焦点.(I )求椭圆C的方程;(n)直线x=2与椭圆交于P, Q两点，P点位于第一象限，A, B是椭圆上位于直线 x二2两侧的动点.(i)若直线AB的斜率为A，求四边形APBC®积的最大值;(ii )当点A, B运动时，满足/ APQW BPQ问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.210.如图，直线l:y kx b与抛物线x 2py (常数p 0)相交于不同的两点A(X, y“、B(x2,

7、 y2),且X2 x h (h为定值)，线段 AB的中点为D,与直线l: y kx b平行的切线的切点为 C (不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个 公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点).(1)用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明 CD垂直于x轴；(2)求 ABC的面积，证明 ABC的面积与k、b无关，只与h有关；(3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC,再作与AC、BC平行的切线，切点分别为 E、F ,小张马上写出了 ACE、 BCF的面积，由此小张求出 了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由.1.试卷答案2.52 5(1)设：

8、P(x,y),A(x1,x1),A(x2, x2) ks5u55umQOPuir uuuOA OBx1 x22 5-(x1 x2)5x1x2x1x2ks5uuiu又 |AB|42_、土-x2 20,即所求曲线方程为52 x252 y16uuu(2)设：N(s,t),M(x, y),则由 DMuuuDN可得(x, y16)(s,t 16)故 x s, y 16 (t 16)2s25Q M, N在曲线C上， 25s25t 116 (t1616216)2消去s,得上力16(t 1616)2160,1解得t17215又 |t| 4,(3)设直线MN为y kxb(k2 x252L 116y kx b得：

9、(25 k216)x2 50kbx25(b2 16)0解得:22b 25k16且25kby12,25k162y216b25k216则直线l为y16b25k2 161(x25kb 25k2一)由E(0, y0)在直线16l上y°29b 25k2 16由得2y。8125k2 16811694 y02.解:kAPkBP故 kBp kBQ（n）当直线PQ的斜率存在时，设Ipq ： ykx b与x轴的交点为M ,代入椭圆方程得（2k2 1）x2 4kbx 2b2 4 0,设 P(xi, yi), Qd, y)，则 xiuuu uuir由BP BQ 0,得丫型小2x24kb2k2 1xx22(x

10、i x2) 4 0,得(k2 1)x1x2 (kb 2)(x1x2)4 b2 0,2b2 42k2 122r ,-,24k28kb 3b20,得 b2k 或b -k.3j .2,2y kx 2k 或 y kx k ,所以过te点(2,0)或(一，0)，33点（2,0）为右端点，舍去,APQS APMS AQM8 k2(8k2 2b2 4)3(2k2 1)21 八2 |OM I I y1 丫2116 卜2(1佻2 9)9 (2k2 1)216 ；4 7 1 12一 一 229 :2 2k 1 2(2k1)人1-令 t (0 t 1),2k2 1Sapq 我 2(t ”0 t t2当直线Ipq的斜

11、率k不存在时，P(x1,y3 Q(Xi, yjkAP 1 kBQ ,即 2 y1一江，解得 Xi - , y1 -,2Xi 2 Xi 233S APQ18 82 3 332所以S APQ的最大值为3293.1分2分3分4分.算式D由我KI E的高心率考码:岑其中V 点丹在线段PR的中垂线上二|FiF,I-IPFs|.,: F.C-c.O) ,F1c,O)，(2。>=<2-0+(0)X得 c -l.aJ2,b，=-l, 精圆E的方程为当+y1nl.(2)由题意知.J线人的斜率存在且不为零.l ty»k(xj->» :,一七(x一整).由<方+y1*l清

12、去y并化荷整理，得，y-k（x -y）35分 69Cl+2kW 6k'x +,k" 2=0q根据际意,=（6k' >,-4<l + 2V）（yk:-2）>0>解得k*V4 , 同理得（一上»<4,1?>： , 1：.j<k:<4.ke（-2»-f）u（4-.z）.设 A（xi yjJtBCxttyfMCxoa? a , Gk' *xi + xj 3k1那么用十两W '内"一F-3甲/， /3、 3ka-R-布用？V, Mf3 k ., M（中-2（1+2”，同理祁 N（,。一

13、 ）,上+双一七尸”1+2（一堂四1P N（伊彳而普方）.当V-1时，直骐MN的方程为工=】.3k _ 3k3k一 2（1 - 1?V当时，直线MN的斜率为k32时阳）3 3hfF+aT+zF所以,比姨MN的方程为什流言就4而%（l高斯,化简得.寻正算一】），此直线恒过定点KILG.绦合，知直续MN恒过定点K（1,O>,*12分4.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 c,再由条件得FiA为圆E的直径求出 |AFi|=3 ,根据勾股定理求出|AF2 ,根据椭圆的定义和 a2=b2+c2依次求出a和

14、b的值，代入 椭圆方程即可；（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y,利用韦达定理和弦长公式求出|MN|,由点到直线的距离公式求出点 A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出AMN勺面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m,代入直线l的方程即可.【解答】解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点Fi, F2,2129f rz ,、.c+ （0-亍）%,解得c=V2,（2分）. Fi, E, A三点共线，FiA为圆E的直径，则|AFi|=3,.AF2,FiF2,|AFzI'=|AF|&#

15、39;- |FFeI *=9-8=1,-2a=|AFi|+|AF 2|=3+1=4 ,a=2由 a2=b2+c2 得，b=/* （4 分）2.椭圆C的方程是二44（2）由（1）得点A的坐标（证，1）,则设直线l的方程为.而入而（入w 0） , .直线l的斜率为公后干x+m,设 M （xi, yj , N（X2, y2）,得,x2+V2my+m2-2=0，r VI + 工+m224十2Xl+X2 =-V2ir,2xx2=m 一 2,且 =2吊4m+8>0,解得2vm< 2,（8 分）（工+/2）之一4盯工之|MN|= J + k'|X2 xi产-4 （d-2）T12-3m2，

16、I冬K后T+m|点A到直线l的距离d=7+1.AMNB勺面积 S, 汇| .二二_ 山 r -当且仅当4- m2=mi,即m=±亚，直线l的方程为.（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，韦达定理和弦长公式，向量共线条件，以及直线、圆 与椭圆的位置关系等，考查的知识多，综合性强，考查化简计算能力，属于中档题.5.-J21解1湍圆女化为（"始"2=40-2）.圆心/（-1,0）半径, =2/1, 当动圆与圆A内切时，有I尸却TPBt=2jTN,当动圆与圆人外切时.有 | 尸8 H 尸1= 2,即有|1 一 | 尸8|=0 <U v 1； 27n <2：

17、.PA-PBAB 'X3 yJ据定义点p的轨迹为双曲线，其方程为.一江川（2）若过点3（1,0）的直线/垂直于x轴.则必AW不可能成为以44NM为 直角的等腹三角形，若过点凤1的直线不垂直于，乱 设,；）=双彳一女，与双曲线右支交于M（孙K），"（孙乃）两点，不妨设N月N”为直角，则点N在以AB为直径的四r2 +/ = 1/+/=】上，聚立方程 £_乙 斛得入=*斤7/=±4,，点只在右支 4 T"上，一/、（而下,二外在不群般性的情况下，设点n在x轴下方，（二汽-Q 此时直线，的斜率：=匚万=0）, “-4A' = J：J1 -_一 y

18、 _ /"=_ 2 J1 -/* = J1-2 3一】/y =-1)威立方程上一片=1111-1 4,消去,得2_(1_刃/942(1_4流，_(1_4(工+上。=。(2),联与双艇右支有施华交点,上即又一a-冷/<()即._ 0-积在冷。-I吊_在铲了将代人济队+出=. (4)2 和-2)(1一)口十2七一zVlr) 均3 石汨口一樗(1)ftA U)寡,下 >答7,求簿的取值范国为(。,-啊炉=不为二优+炉M - / j|- <1 * A'：,: * a;? - 4也为把代人浦.上春花怒一之二，/I j/=i mi? 5 +:+ -一1- 2,ji-&l

19、t;1 + 2Vl-2化面海(l-l)4-3A) = (4-5VlZ7即j rTK-Ku+g，。的兄口写它,4名(0,()存在五的值当灵.”二竺时.便得成为以乙1处为角的等覆三角 1形6.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(I)由题意列关于 a, b, c的方程组，求解方程组可得a, b的值，则椭圆C的方程可求；(II )由已知求出 MN的长度，然后，由直线和圆相切得到m, k的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出A, B的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形 ACBD的面积有最大值时的 m,k的值，从而得到直线l的方程.(出)由|AB|=2,得到m, k的关系，再

20、用 m, k表示圆心到直线l的距离d,求出d的取 值范围即可.【解答】(本小题满分 14分)2 2住望解：(I)设椭圆的方程为 下+号缶>瓦>°),由题可知 己 2，-a b2(a+<)=4+2V3解得f2, u0 b=l,2 A所以椭圆C的方程为亍二(II)令薪解,解得尸片，所以|MN|二1，直线l与圆x2+y2=l相切可得J 2=1，即k2+1=m2，联立直线与椭圆的方程，整理得(1+4k2) x2+8kmx+4m 2-4=0所以r_241+/一-#")4勺宜广十北2将k2+1=m2代入可得_2V3lk|2/3 V3l方程是尸十笠一或(III)I二Gk

21、1舟4。+曲；届二2o 2。 2。整理得十q/ -层二/，所以/=1乜/_小型?二履吟 4(1+k，4(l+k，4(L+kz),in? 3(1+4 k:2)设圆心到直线l的距离为d,则d 士宁"k m/)设 1+k2=t, t 刁贝(J k2=t - 1,所以9_ 9 _3d 2；4t t所以当卜;土乎时，直线1与圆相切，当上步上返，时，直线l与圆相交.27.M： （ I ） £: 了 叼+ 1号”轴的交点为（1，（0*做题意可如,c-l乂 V,所以函的方程为jl（U）设力（国，必»取马，打油，工=my +13jr3+4/12 = 0A(3m3+4>>

22、3+6m-90A = 144(- 4 1) >0-6m7 3m +4一9（II）由对称性知.如聚直桂AE解过定点.则定点我在工轴上，二产（1,0）/= （4#）当D 时.真域L_Ls轴.剧曲为矩形，制与工轴的交点是AE的中点内（30）何想：当朝变独时，AE经过定点卜也设片（凝,0）,夙4,外）三点共建以下阳分析法证明K* =K1M一（碎】+1），？=耳0*，。= 一呼|尸21,4 一 一 2,2o= -wx显落成L所以柱豌过此甄过定点N（?网9分2 3 m1+43e、42UID S.3=? |乂0 + |班|冈勘田=；（4-玉）+ （4-，）卜也->"=；（6-曲 +）h

23、l7-7jl.量但= T|QFIM乂-8 k 7/s二,H 6 一厨彷+ y?）、醛分24(m2 +1) , W+3 A3m2 +4-1 O/11丁- - 8 丁 = Sz 再巩一L4分3+43m7 +43柝 +43陋？+4所以当 Z 时.生的最小值为6.22一一 xy. ,i8. (1)由椭圆 E： 一 匚 1 ,得 l : x 4, C( 4,0) , F( 2,0),84又圆C过原点，所以圆 C的方程为(x 4)2 y2 16 . 4分由题意，得G( 39)，代入(x 4)2 y2 16,得yG屎,所以FG的斜率为kJ5, FG的方程为yJi5(x 2) , 8分(注意：若点G或FG方程

24、只写一种情况扣 1分)所以C( 4,0)到FG的距离为d 邛，直线FG被圆C截得弦长为,16 号)2 7 10分(3)设 P(s,t) , G(x0, y0),GF则由GP1 得 J(x。2)2y022"x。s)2 (yO t)2整理得 3(x2 y2) (16 2s)x0 2ty° 16 s2 t20，2222又 G(x0,y°)在圆 C： (x 4) y 16上，所以 x° y0 8x°0，代入得(2s 8)x0 2ty0 16 s2 t2 0,2s 8 0, 又由G(x0, y°)为圆C上任意一点可知，2t 0, 解得s 4,t

25、 0._2216 st 0,所以在平面上存在一点P,其坐标为(4,0) .12分14分16分故直线FG被圆C截得弦长为7.9.考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(I )设椭圆C的方程为=1 (a>b>0),由条件利用椭圆的性质求得a的值，可得椭圆 C的方程.(n) ( i)设AB的方程为yx+t ,代入椭圆C的方程化简，由4> 0,求得t的范围,2再利用利用韦达定理可得x1+x2以及x1+x2的值.再求得P、Q的坐标，根据四边形 APBQ的面积S=&apc+Sabp=?PQ|x 1 x2 ,计算求得结果. ri-di(

26、ii )当/APQW BPQ寸,PA PB的斜率之和等于零，PA的方程为y-1=k (x-2),把它代入椭圆C的方程化简求得 X2+2=”,.再把直线pb的方程椭圆C的方程化简求 I 1+强2 |得X2+2的值，可得x 1+X2以及X1X2的值，从而求得 AB的斜率K的值.解答： 解：设椭圆C的方程为 三二+Z_=1 (a>b>0),由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4/2y的焦点(0, 也 ,1 b=.。一.再根据离心率 三晓一6202 哼 求得a=2j, .椭圆c的方程为 3岁=1.(n) ( i)设A ( xi, yi ) , B ( X2, y2), AB的方程为y4

27、x+t ,代入椭圆C的方程化简可得 x 2+2tx+2t 2 - 4=0,由=4t2 4 (2t24) >0,求得2vt<2.利用韦达定理可得 x i+X2=- 2t , xi+X2=2t 2-4.22在+=1 中，令 x=2 求得 P (2, 1) , Q (2, - 1) ,.四边形 APBQ勺面积 S=&apc+Sa8 2BP(=-?PC?|X 1-X2|=1 x 2X |x 1 X2|=|x 1 2X2|= J (1+工？) 2 _.比 g=/4七2 _ 4 (=/16 - 4-，故当t=0时，四边形APBC勺面积S取得最小值为4.(ii )当/ APQW BPC寸,PA