2019-2020学年浙江省“91”联盟高二下学期期中数学试题(解析版)

1、20192020学年浙江省“9+1”联盟高二下学期期中数学试题一、单选题1 .设集合A = 1,2,3,4,加,eA,则方程上+二=1表示焦点位于x轴上的椭圆有 m n（）A. 6 个B. 8 个C. 12 个D. 16 个【答案】A【解析】根据加 ，对A中元素进行分析即可求解.【详解】因为椭圆焦点在大轴上，所以用,当机=2时，7? = 1 ;当7 = 3时， =1,2；当? = 4时， =1,2,3,一共有6个符合要求的椭圆, 故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆焦点的位置，属于容易题.2 .设则（；）、（；）是log?x（；）可得（ x,y g /? ） log2 x （f，

2、故（1）r （y）v是log? x 二洞【答案】D【解析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】A函数为奇函数，不满足条件.8.函数的定义域为x|xw0,函数为偶函数,当x0时，,=-Igx2 =-2/gx为减函数, 不满足条件.C. y = 2X为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件.。.令/(X)= J风，定义域为R, 7)= JT=桐= /(x)，该函数为偶函数， 当x0时，)，=为增函数，满足条件， 故选：D.【点睛】 本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题型.4 .用数学归纳法证明“+击+也之/乂)”时由二女到=k+1时,不等试左边应添加的项是()1A, 2OT1J

3、1 1 1c. +2k + l 2k+ 2 k + l【答案】CB.D.1 12k + l 2k+ 2 1 1 12k+ 1 2k+ 2 k + 1 k + 2【解析】分别代入 = k, = + L两式作差可得左边应添加项。【详解】由n = k时，左边为- + - + k+l k+21 1 1 1 1当n=k+l时，左边为石万+4+三藤+石1口+点+ 1) +纸+ 1)所以增加项为两式作差得：-+选C. 2k + l 2k+ 2 k + 1 运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基（或递推基础）证明当A取第一个 值m（noN）时命题成立，第二步是归纳递推（或归纳假设）假设a=A（A2%

4、AN）时命 题成立，证明当a=A+1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从历开始 的所有的正整数都成立，两步缺一不可.5 .现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班 1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排 方法有（）A. 1440 种B. 1400 种C. 1320 种D. 1200 种【答案】D【解析】根据题意，分2步进行分析:将甲、乙按要求安排，将剩下的5人全排列， 安排在剩下的5天，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、

5、周 六周口看作6个位置，任选一个位置，排上甲乙两人，有4A； = 12种方法，其中甲排 在周三去掉，则甲乙的安排方法有44；-2 = 10种，将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有4=120种情况；由分步计数乘法原理知，则有10x120 = 1200种安排方法.故选：D【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.6 .已知函数/一处则函数八划的图象为（）X【答案】D【解析】根据绝对值的性质，可以化简函数的解析式，用导数研究函数在x0) X,hi(-x) / 八、厂-.(x16x + 1 八 zh fl由 g (x) = 6r + = 0，得 x = 一；一

6、，x xV 6当(-8, 一很)时,g(x)0,当 (一A，0)时，所以 g*)有极大值为 g (-4)=2 x (-4)3 一 l + hrAn gggGvO 又/0。W0),所以/(刈的最大值小于0.所以函数/(M在(-8, 0)上为减函数，这样可以排除A、B、C,故选D. 【点睛】B.石僧)增大，。僮)增大D.石仁)减小，。信)增大本题考查了函数的图象，应用导数研究函数的单调性是解题的关键.7.设0x；,随机变量的分布列如下：4012P0.50.5 xX【解析】分别计算石（自）和0（4）的表达式，再判断单调性.【详解】E(4)= 0x0.5 + lx(0.5x) + 2x = x+0.5

7、,当x在(04)内增大时，石仁)增大。(4)=0.5 x (x + 0.5 - 0尸 + (0.5 x) x (x+0.5 1尸 + x(x+ 0.5-2)2 = -x2 + 2x + ；510（3 = 当X在0,-内增大时，。（/增大 4,乙）故答案选B【点睛】本题考查了石楮）和。楮）的计算，函数的单调性，属于综合题型.8 .已知定义在（0,i）上的函数/（x） = /-叽/?（x） = 61nx 4x,设两曲线丁 = /（工） 与y二（刈在公共点处的切线相同，则?值等于（）A. -3B. 1C. 3D. 5【答案】DfM = hM广(.%) = (%)【解析】设曲线y = /（x）与 =在

8、公共点（%,稣）处的切线相同，得出方程组,即可求解，得到答案.【详解】依题意，设曲线y = /（X）与y = h（x）在公共点（%, 见）处的切线相同.因为/(x) = x?加，(x) = 61nx - 4x石-m = 6hix0 -4x0则/(x) = 2x, /(.)=-4 Xf(x) = h(x。)ffM = hf(x0)丁玉）0,解得凡=1，iti = 5.故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练导数的运算公式, 以及利用导数的几何意义列出相应的方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能 力，属于基础题.9 .已知双曲线-% = 1（。0力0）的左右

9、焦点分别为K，F,过点1且垂直于xCT O轴的直线与该双曲线的左支交于A, B两点,AF2t 8g.分别交），轴于P,。两点，若尸。心的周长为12,贝伊取得最大值时，该双曲线的离心率为（）A.巫B.巫C.姮D.右322【答案】B【解析】根据A8_Lx轴且过左焦点匕可得48 = 一,由题意知A6F、的周长为 a尸。心周长的2倍，可得|AB| + |整| + |%| = 24,化简得刊+加=6 = ,2,转化ab2=a（6a-a2）,利用导数确定取最值时。，即可求解.【详解】因为（c,0）,所以把x = -c代入双曲线方程可得：y = , a2b工故 |A8|=_,a因为PQ/AB , PQ =

10、AB , PQE周长为 12,所以ABF?的周长为24,即 |AB|+|明 | + |%| = 24,所以江-+ 2。+ 2-+2。+ - = 24, a a a化简得：a2 +b2 = 6a = c2:.ab2 = tz（6r/ -（72） = -a5 + 6cr ,令 f（a） = -6/3 + 6a2 （a 0）,则 /（。）= 一3标 +12。= 一3。（。一 4）,.当0。 0,函数单调递增，当 4时，/(。)0,函数单调递减,/. a = 4时函数有唯一极大值也是最大值，此时/ = 6x4 = 24，c = 2娓,所以e = =亚， a 2故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义

11、、离心率等,还涉及利用导数求具体函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属中档题.10.下列函数使方程/(/() =x的实根个数最多的为()A. f(x) = x2-x B. =C. /(.r) = smxD. /(x) = |2.r-l|【答案】D【解析】根据/(/(外)=，写出具体方程，转化为判断对应的方程有解无解，有解时根的个数问题.【详解】对于 A,由/(/(x) = x 可得即/_29 = 0，解得x = 0、x = 2共有2个实数根：对于B,由/(/(x) = x可得因为e+l,所以+ 所以 方程无实根： 兀、对于C,由/(/(x) = x可得sin(sinx) = x,

12、在区间0,上sinxcx,所以 一 sin(sin.x)sinxx成立，显然xe，位 时也成立，结合奇函数的性质知，方程只有一解x = 0 ；对于D,由|2xT| 二 x,可解的演= 所以原方程等价于/(1)=一1| =；或 12/(X)= |2-l| = l,解得&=,&=,43=1,& = 0，故方程/(/(x) = x 有 4 个根.故选：D【点睛】本题主要考查了判断方程的根的个数问题，涉及函数与方程思想，分类讨论，属于难题.二、双空题n.若全集U = x|xN-4, A = x-3x2t B = a-|-1a-3, An =QA=【答案】&|TW2x|-4x2【解析】根据集合的交集、补

13、集运算，即可求解.【详解】/A = x|-3 x2 , B = x|-lx-4,.14 = 1|一4工2,故答案为：x|lx2；4x2【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于容易题.12 .已知随机变量x, y满足x8(5,3，y = 2X+3,则石(y)= 。(丫)=.【答案】:t【解析】利用公式七(丫) = 2石(X) + 3,。=2?O(X)直接计算即可.【详解】因为X8(5:)，所以石(X) = 5x= 2, D(X) = 5xlx(l-l) = , 4 44416又 Y = 2X+3,七(丫)= 2 凤 X) + 3 = *乙D(y)= 22P(X) = 4xjj =15T故

14、答案为：;? 24【点睛】本题主要考查了二项分布及期望、方差的运算，考杳了推理运算能力，属于中档题.13 .用数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的6位自然数.（1）可以组成个不同的偶数；（2）若要求相邻两个数字奇偶性不同，则可以组成个.（用数字作答）.【答案】31260【解析】（1）根据尾数为0或尾数2或4分别求解即可：（2）分首位为偶数和奇数分别求解即可.【详解】用数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的6位自然数，（1）末位为0时有：A：=120个：末位为2或4时有：A：xA：x2 = 192个，故共有120+192 = 312个偶数.（2）若首位为偶数，则首位

15、不为0,有C；xA；xA； = 24,若首位为奇数，则有：A；xA； = 36个；故共有：24+36 = 60个.故答案为：312； 60【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，分类讨论的思想，计数原理，属于中档题.三、填空题14 .设（2x+：）（4x_l）9+ / + +出炉+ +%。/。，贝|上4生上 工 “10 5十占=-【答案】5【解析】分析：先求出b值，再赋值即可求得所求式子的值.详解：由题易知：b = Cx（-l）9=-l令丈=,，可得3 = 2b + o+5+g+空 22 2210a. a, ain.。0 + 1 + 苫 + *=5口 2 2己 21故答案为5点睛：本题考查了二项

16、式定理的有关知识，关键是根据目标的结构合理赋值，属于中档 题.15 .已知定义在R上的奇函数“X)满足/(1) = 0,当x0时,2/(x)VV)JW使得之0成立的x的取值范围是.【答案】(吟-1。01【解析】构造函数设函数g(X)= 1!2,利用导数得到g(X)在(0,+8)是减函数，再根 x-据X)为奇函数，f(1)=/(-1) = 0,画出奇函数g(x)图象的大致形状，数形结合即可解得/(X)。的解集.【详解】设函数g(x)=/2，当 X0 时，g(t) =/( - 2# (* = 1/(“二 2/(2 , XX,当 x0时，2f(x)xf (x),函数g(x)在(0,+8)上单调递减，

17、又“X)为定义在R上的奇函数，g(x) =萼为奇函数，厂可得g(x)在(-8,0)上单调递减.再由/(一1)=。，得 g(T) = g (1) =0.作出函数g(M图象的大致形状如图，由图可知,当T)D(0, 1时，g(x)20,则/(M以).又为定义在R上的奇函数,f W 。.综上，使得/(x)20成立的工的取值范围是(f,-lUO, U.故答案为:sw I【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是关键，考杳数形结合的解题 思想方法，是中档题.16 .已知椭圆+t=1,。(0,?)为)，轴上一动点.若存在以点P为圆心的圆P与 4椭圆。有四个不同的公共点，则机的取值范围是.3

18、 3【答案】(于万)【解析】设圆P的方程，联立椭圆方程，可得关于y的二次方程，利用判别式为6以及3圆P经过点(0,-2),可得圆与椭圆有3个交点时?=-万，同理可得圆过(0,2)且与椭圆3有3个交点时，加=三，数形结合可求出加的取值范闱.2【详解】由题意，设圆P的方程为V + (y ? = /,联立椭圆C:/ +亍=1可得：3y2-8my-4+4病4产=0 ,由 = 64nr - 12(4+4/h2 -4r2) = I6nf + 48r2 -48 = 0 可得：M + 3/ _ 3 = 0 ，由圆尸过点(0,-2), (0,2)可得：(一2-次)2 =产,3由可得7 =一大，23同理，由圆户过

19、点(0,2)时可得机=/, 如图,，3 3、结合图形可知，当加w -55时，以尸为圆心的圆与椭圆c有四个不同的公共点，3 3故答案为：( )乙 乙【点睛】本题主要考查了椭圆与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于 中档题.17.若函数/(X)= &1-X + + X - 4(4丰0)不存在零点,则。的取值范围是.【答案】(0.2)。(4,2)【解析】函数/(工)=jci- X + yja 4- X - a(ci w 0)不存在零点，转化为方程Ja-x + Ja + x = a(a w 0)无实根，等价于 a2 = +无解，求出 Ja2 -x2的取值范闱，即可求解.【详解】a-

20、xQ函数要有意义，则需 C，解得 + x 0所以一。，又4工0,所以。0,函数定义域为因为函数/(工)=Ja-x + Ja + x - a (a w 0)不存在零点，所以方程x + yja + x = a(a*0)无实根，平方可得：后=2 + 2/，一丁无实根，2-丁 0,0,2a + 2y/cr x 2a, 4a因为方程无实根,解得。4,故答案为：（O,2）D（4,+s）【点睛】本题主要考查了函数零点，方程的根的判定，转化思想，属于难题.四、解答题18. 一个袋子里装有7个球，其中有红球4个.白球3个.这些球除颜色外全相同.（1）若一次从袋中取出3个球，取出的球颜色不完全相同的概率；（2）若

21、一次从袋中取出3个球.其中若取到红球得0分，取到白球得1分，记随机变量为取出的三个小球得分之和，求4的分布列，并求其数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析， 77【解析】（D根据组合知识可知一次从袋中取出3个球的基本事件总数为C；,分类可知取出的球颜色不完全相同的取法总数，利用占典概型求解即可；（2） J的可能取值为0,1,2,3,利用占典概型分别计算其概率，列出分布列，求期望即可.【详解】（1）一次从袋中取出3个球的基本事件总数为= 35种.设“取出的球颜色不完全相同”为事件A,共有两大类，两红一白：C；C； = 18,两白一红：CC； = 12 ,r3 4（2） 3个红球得0分：尸（彳

22、=0） = -i=一；35 352红1白得1分：2代=1）= 至1 =上； 3535C2C2 121红2白得2分：尸(4 = 2)=宏_ =0123p435183512351353个白球得3分:r3 1P(J = 3) = 一35 35418121E(4)=Ox + lx + 2x + 3x = 35353535【点睛】本题主要考查了组合的应用，古典概型，随机变量的分布列，期望，属于中档题.H19.如图，在四棱锥尸一A6CD中，PC_L平面ABC。，AB/CD, ABLADf AB = 2AD = 2CD = 2t 尸。=6，E为PB 的中点.(1)证明：平面E4C_L平面P8C；(2)求直线

23、PD与平面AEC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 史.15【解析】(1)可先证明PC _L AC，ACYBC,从而人C_L平面P8C,由此能证明平 面4C_L平面尸BC；(2)推导出PC_LCD,以C为原点，在平面A8CO中过C作CO的垂线为大轴，CD 为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法直线PO与平面AEC所成角的 正弦值【详解】(1)证明：由 PC_L 平面 ABCZZ 故 PC_LAC.又 AB = 2, C = 1, ADAB所以AC=8C=JL故4 + 502 = 45，ACBC.又PCcBC = C,所以AC_L平面尸8C,又ACu平面ACE所以平面A

24、CE _L平面尸6c.(2) PCI平面ABC。，故PC_LC.又PO = 6， PC = 2.C(0,0。，0(0,0), P(0,0,2), A(1,LO),E(；,一；).T-11. PO = (0,2), CA = (1,1,0) * % = q厂了 1)设平面ACE的一个法量为n = (k, y, z)，取 = 1,则x = -i,z = in-CA = 0 /f (x+y = 0n CE = Q x-y + 2z = 0故 w=(1,1,1)，设直线PD与平面AEC所成角为0,则 sm 0 =1_ V15乖义下一下【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查

25、空间中线线、线面、 面面间的位置关系等，属于中档题.20.已知函数/(x) = V+ad +瓜+ c的图象经过坐标原点，且在x = l处取得极大值.(1)求实数的取值范围；(2)若方程/(# = 一0一匚好有两个不同的根求/)的解析式.【答案】(1)(,3)； (2) /(x) = x3-9x2 + 15x.【解析】(1)求函数导数，由题意知/(1) = 0,且x = l处取得极大值，即可求出。的范围;(2)根据(1)可求出函数在工二一4匕时的极小值”9(24 + 3)2,只需当 327色二2(2。+ 3尸=一任”21时，方程/。)= -+ 3恰好有两个不同的根,即可2799求解.【详解】(1

26、) /(0)= 0, c = 0 ,f (x) = 3x2 + 2ax + b,r(l) = 0 = b = _2a_3,ff(x) = 3x2 + lax - (2。+ 3) = (x -1)(3% + 2。+ 3)，由/()=0=/ =或2 = _2；3 ,G I O因为当X = 1时取得极大值，所以一幺一1=67-33所以。的取值范围是(8,-3).(2)由表:X1_2a + 3 30(2)由(1)可得A = l-2k0,解得女2%考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力.22.已知函数= J, g（x） = nx-x.X（1）若函数（k=4（工）+g（力（。氏）在1,+8）单调递增，求实数1的取值范围;（2）若凡0）恒成立，求（