13第一章概率论与数量统计ppt课件

1、1.3 条件概率与贝叶斯公式条件概率与贝叶斯公式一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式条件概率条件概率 Conditional ProbabilityABAB()B()AB()A( )nn抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,察看出现的点数察看出现的点数A=A=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 1,3,51,3,5B=B=出现的点数不超越出现的点数不超越331,2,31,2,3 假设知出现的点数不超越假设知出现的点数不超越3 3，求出现的点数是奇，求出现的点数是奇数的概率数的概率 即事件即事件B B已发生，求事件已发生，求事件A A的概率的概率

2、( (| |) )ABAB都发生，但样本空间缩都发生，但样本空间缩小到只包含的样本点小到只包含的样本点2(|)3ABBP A B 设设,为同一个随机实验中的两个随机事件为同一个随机实验中的两个随机事件 , 且且()， 那么称那么称()()()PA BPA BPB为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率 n定义定义条件概率条件概率 Conditional ProbabilityBBASample space Reduced sample space given event BA条件概率条件概率 P(A|B)的样本空间的样本空间()P AB(|)P A B概

3、率概率 P(A|B)与与P(AB)的区别与联络的区别与联络联络：事件联络：事件A，B都发生了都发生了 区别：区别： 1在在P(A|B)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差别，发生有时间上的差别，B先先A后；在后；在P(AB)中，事件中，事件A，B同时发生。同时发生。2样本空间不同，在样本空间不同，在P(A|B)中，事件中，事件B成为样本成为样本空间；在空间；在P(AB)中，样本空间仍为中，样本空间仍为 。因此有因此有 ()()P A BP AB例例 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取中

4、任取1 件，求件，求 (1) 获得一等品的概率；获得一等品的概率；(2) 知获得的是合格品，求它是一等品的概知获得的是合格品，求它是一等品的概率率 解解设表示获得一等品，表示获得合格品，那么设表示获得一等品，表示获得合格品，那么 1由于100 件产品中有 70 件一等品，所以 70()0.7100P A2方法1：70()0.736895P A B 方法方法2： ()()( )P ABP A BP B由于由于95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以70 1000.736895100三张卡片的游戏三张卡片的游戏假设教师的手里的三张卡片是不同的假设教师的手里的三张卡片是不同

5、的 如今把卡片放在包里摇摆一番，让他随意地抽出一张如今把卡片放在包里摇摆一番，让他随意地抽出一张来，放在桌子上，这时候，卡片的一面就露了出来，来，放在桌子上，这时候，卡片的一面就露了出来，是黑点或者是圆圈。假定显露的是个圆圈，要与他是黑点或者是圆圈。假定显露的是个圆圈，要与他赌这张卡片的反面是什么？是黑点，还是圆圈。我赌这张卡片的反面是什么？是黑点，还是圆圈。我赌的是正反面一样，都是圆圈，那他只能赌黑点了。赌的是正反面一样，都是圆圈，那他只能赌黑点了。他觉得这个游戏公平吗他觉得这个游戏公平吗?很明显这张卡片不能够是黑点很明显这张卡片不能够是黑点-黑点卡，因此，它要黑点卡，因此，它要么是圆圈么是

6、圆圈-圆圈卡，要么是黑点圆圈卡，要么是黑点-圆圈卡，二者必圆圈卡，二者必居其一，这样一来，这张卡片的反面不是黑点，就居其一，这样一来，这张卡片的反面不是黑点，就是圆圈，所以赌什么都一样，全是公平的，他和我是圆圈，所以赌什么都一样，全是公平的，他和我赢的时机均等，都是。赢的时机均等，都是。 让我们看看问题出在哪里？让我们看看问题出在哪里？ 我千方百计要他置信的是，同样能够发生的情况只需两我千方百计要他置信的是，同样能够发生的情况只需两种。然而现实是，同样能够发生的情况有三种种。然而现实是，同样能够发生的情况有三种 在这里他一定要把正反面区分开来看，将正面朝上视为在这里他一定要把正反面区分开来看，

7、将正面朝上视为一种情况，将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意一种情况，将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意抽一张放在桌子上，同样能够发生的情况有六种：抽一张放在桌子上，同样能够发生的情况有六种： 1.黑点黑点-黑点卡的正面；黑点卡的正面；2.黑点黑点-黑点卡的反面；黑点卡的反面； 3.圆圈圆圈-黑点卡的正面；黑点卡的正面；4.圆圈圆圈-黑点卡的反面；黑点卡的反面； 5.圆圈圆圈-圆圈卡的正面；圆圈卡的正面；6.圆圈圆圈-圆圈卡的反面。圆圈卡的反面。 因此，假设抽出的卡片放在桌子上，显露了圆圈，它因此，假设抽出的卡片放在桌子上，显露了圆圈，它所代表的情况能够是：所代表的情况能够是： 圆圈圆圈

8、-黑点卡的正面；圆圈黑点卡的正面；圆圈-圆圈卡的正面；圆圈圆圈卡的正面；圆圈-圆圆圈卡的反面。圈卡的反面。 在这三种情况中，在这三种情况中，“正反面一样的情况占了两种，因正反面一样的情况占了两种，因此，在玩了多次以后，庄家就会三回里赢两回，他的钱此，在玩了多次以后，庄家就会三回里赢两回，他的钱很快就会流入他的腰包里，这可以算是智力诈骗吧。很快就会流入他的腰包里，这可以算是智力诈骗吧。 例例 思索恰有两个小孩的家庭思索恰有两个小孩的家庭.假设知某一家有男孩，假设知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；假设知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率；假设知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩相当于第

9、二个也是男孩的概率求这家有两个男孩相当于第二个也是男孩的概率.假定生男生女为等能够假定生男生女为等能够 = (男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) , (女女 , 女女) 解解于是得于是得 43BP 41APBAP211BP 411APABP=(男男, 男男) , (男男 , 女女) 1B那么那么 =(男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) =(男男, 男男) ，设设= “有男孩有男孩 ，=“第一个是男孩第一个是男孩 1B= “有两个男孩有两个男孩 ，故两个条件概率为()1/41(|)( )3/43P BAP A BP B111()1(|)()

10、2P B AP A BP B乘法法那么乘法法那么()( ) ()( ) ()P ABP A P B AP B P A B 12121312121()()()()()nnnP A AAP A P AA P A A AP AA AA()()( )P ABP A BP B()()( )P ABP B AP A()( ) ()(|)P ABCP A P B A P C ABn推行一批产品中有一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率率 设表示取到的产品是一等品，表示取出的产品

11、是合格品， 那么 %45)|(BAP%4)(BP于是于是 %96)(1)(BPBP所以所以 ( )()P AP AB96%45%解解( ) (|)P B P A B43.2%解解 一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求回地每次任取只，连取次，求 (1) 第一次获得第一次获得白球的概率；白球的概率； (2) 第一、第二次都获得白球的概率第一、第二次都获得白球的概率; (3) 第一次获得黑球而第二次获得白球的概率第一次获得黑球而第二次获得白球的概率设表示第一次获得白球设表示第一次获得白球, 表示第二次获得白表示第二次获得白球球, 那么那么

12、 6()0.610P A 2 ()P AB3 ()P AB1 ()()P A P B A650.33109460.27109() ()P A P B A全年级全年级100名学生中，有男生以事件名学生中，有男生以事件A表示表示80人，女生人，女生20人；人； 来自北京的以事件来自北京的以事件B表示表示有有20人，其中男生人，其中男生12人，女生人，女生8人；免修英语人；免修英语的以事件的以事件C表示表示40人中，有人中，有32名男生，名男生，8名名女生。求女生。求 ( ),( ),(|),(|),(),P AP BP A BP B AP AB( ),(|)(|),()P CP C AP A BP

13、 AC，80100201001220128012100321001280328040100某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活，活到到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动岁的这种动物活到物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A表示表示“活到活到20岁，岁，B表示表示“活到活到25岁岁那么那么 ( )0.7, ( )0.56P AP B所求概率为所求概率为 ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP A解解一、全概率公式一、全概率公式 由于由于B=ABAB ，且，且AB与与互不相容，互不相容，AB()()

14、()P BP ABP AB()(|)()(|)PA P BAPA P BA6546109109 0.6 一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球地每次任取只，连取次，求第二次取到白球的概率的概率例例A=A=第一次取到白球第一次取到白球,B=,B=第二次取到白球第二次取到白球 所以所以AABAB AB( )()P BP ABAB()()P ABP AB( ) (|)( ) (|)P A P B AP A P B A全概率公式全概率公式 设1 ,2 , . ,n 构成一个完备事件组，且(i )0,i1, 2, . , n，那

15、么对任一随机事件，有 1()()(|)niiiP BP A P BA全概率公式全概率公式1A2AnA11()(|)P AP B A22()(|)P AP B A()(|)nnP AP B A( )P B例例 设播种用麦种中混有一等，二等，三设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占等，四等四个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒颗以上麦粒的概率分别为的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这，求这批种子所结的穗含有批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概颗以上麦粒的概

16、率率 解解 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是1,2,3,4，那么它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，那么由全概率公式： 41iii)AB(P)A(P)B(P95.50.520.151.50.110.05 0.4825 ()(|)()(|)()(|)P A P BAP A P BAP A P BA贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theoremn后验概率后验概率B()( )(|)P ABP AP B A()( )(|)P ABP AP B AAB AB()(|)( )P ABP A BP B 设A1，A2，, An构成完备事件

17、组，且诸P(Ai)0,B为样本空间的恣意事件，P(B) 0 , 那么有1()(|)(|)()(|)kkkniiiP AP BAP ABP AP BA( k =1 , 2 , , n)证明证明 ()()()kkPA BPABPB()()kkP AP B A1()()niiiP AP B A贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theorem例例 设某工厂有甲乙丙三个车间消费同一种产品设某工厂有甲乙丙三个车间消费同一种产品,知各知各车间的产量分别占全厂产量的车间的产量分别占全厂产量的25 %,35%, 40%,而且各而且各车间的次品率依次为车间的次品率依次为 5% ,4%,2%. 现从待出厂的产品现从

18、待出厂的产品中检查出一个次品中检查出一个次品,试判别它是由甲车间消费的概率试判别它是由甲车间消费的概率.解解 设1,2,3 分别表示产品由甲乙丙车间消费,表示产品为次品. 显然,1,2,3构成完备事件组. 依题意,有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%,(|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) 11112233() (|)() (|)() (|)() (|)P A P B AP A P B AP A P B AP A P B A0.25 0.050.25 0.050.35 0.040.4 0.020.362甲箱中有甲箱中有3个白球，个白球，2个黑球，乙

19、箱中有个黑球，乙箱中有1个白个白球，球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱恣意取出一球。问从乙箱中取中，再从乙箱恣意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？出白球的概率是多少？解解设设B=“从乙箱中取出白球，从乙箱中取出白球，A=“从甲箱中取出白球，从甲箱中取出白球，3( )5P A 2( )5P A 2(|)5P B A 1(|)5P B A 8( )( ) (|)( ) (|)25P BP A P B AP A P B A 爱滋病普查：运用一种血液实验来检测人体内是爱滋病普查：运用一种血液实验来检测人体内是否携带爱滋病病毒否携带爱滋病病毒. .设这种实验的假阴性比