第一节软体介绍

1、第一節：軟體介紹：中小學老師可以利用的軟體：1. Maple 或MathematicaMaple 是由加拿大滑鐵廬大學發展出的一套電腦代數系，在教育、研究及工業界中所擁有的使用者正以極快的速度成長，因為它擺脫了傳統數學程式利用數值及變數的計算方式，而改用互動式符號及工作表輸入的方式，讓使用者只要按幾個按鍵，即可解決複雜的數學問題。     Maple 內建有超過二千五百個以上的數學函式，其中包括微積分、線性代數及多次方程式求解，適合各個領域的工程及數統研究人員使用。除此之外 Maple VI 不但能以平面圖形表示圖形，更具備描繪三度空間圖形，甚至動畫模擬等能力，讓使用者能更

2、容易地了解運算的結果。 例如：計算至第100位> evalf(Pi,100);例如：a:=2;c:=5;r:=c+a*cos(t);x:=r*cos(s);y:=r*sin(s);z:=a*sin(t);plot3d(x,y,z, s=0.2*Pi,t=0.2*Pi, scaling=constrained);2. 動態幾何軟體：GSP 或Cabri-Geometry<<Cabri Geometry II>>由Texas Instruments生產、推廣和服務，這套在歐州最受歡迎、銷量最高的幾何軟體對數學教育有非常大的貢獻與影響。它是動態幾何軟體的先驅，第二版增添

3、許多新功能，更易學、更方便。美國數學教師評議會 (National Council of Teachers of Mathematics Convention)對它評價極高。 <<Cabri Geometry II>>是由著名的法國大學與法國國家研究所和 Texas Instruments 合作設計而成的新一代數學幾何電腦軟體。它專門為平面幾何作圖而設計，具有動態變換、幾何量的測算、軌跡方法求解等對學習幾何非常有幫助的功能。可以快捷地生成各種幾何圖形。平面曲線、自動計算軌跡，可用於解析幾何、代數與物理的學習與教學。本軟體特別的互動功能，有助於學生在笛卡兒和極座標環境下繪

4、製豐富多彩的幾何圖形，令他們更加投入，使學習幾何不再枯燥無味。小事身手：心臟線繪製在初級微積分課程中，我們看到有些函數在極座標意義之下繪圖非常好看，譬如有玫瑰線和心臟線等等。心臟線有點像愛心，又被人稱為愛情線。有人拿愛情線編了一個笛卡耳的愛情故事，放在網路上到處流傳。Step: 做一基本圓O，並在圓周上任取兩點A、B，以B為圓心做圓通過A點，則此圓將包絡出一心臟線，可由痕跡工具或軌跡工具驗證。第二節：驗證平行四邊形面積等於底乘高：Step 1：製作一平行四邊形取兩線段a、b為平行四邊形之兩邊長，一點A為平行四邊形頂點，並利用圓規工具做出平行四邊形ABCD。Step 2：製作ADE在直線AB上任

5、取一點E，過E做AB垂直線，令交點為D，過D做平行線AD平行AD，可得ADE。Step 3：做梯形BCDF，並過C點做底邊垂直線交底邊於GStep 4：做E點的活動範圍做一線段FG，並選取重新定義物件工具，選取E點(物件上的點)，定義至線段FG。Step 5：利用動畫工具驗證，大功告成。【隨堂練習】妳能利用同樣手法驗證梯形公式嗎？第三節：三角形的一些心與性質重心在三角形ABC上，令 D =  BC中點,E =  CA中點,F =  AB中點.你可以在右方的圖形看出，三條直線AD、BE、CF交於一點G，此點稱為重心，底下還會介紹很多三角形的心，但重心與其他不同的是，

6、任意形狀的圖形都有重心。 外心在三角形ABC上，令D =  BC中垂線,E =  CA中垂線,F =  AB中垂線.你可以在右方的圖形看出，三條直線D、E、F交於一點O，此點稱為外心circumcenter，外心到三角形的三頂點等距離，因此可由外心做三角形ABC之外接圓，圓之半徑即為外心到頂點之距離。  垂心在三角形ABC上，令AD =  過A點之高,BE =  過B點之高,CF =  過C點之高.你可以在右方的圖形看出，三條直線AD、BE、CF交於一點O，此點稱為垂心orthocenter。   內心在三角形AB

7、C上，令AD =  BAC之角平分線，BE =  ABC之角平分線，C F =  ACB之角平分線，你可以在右方的圖形看出，三條直線AD、BE、CF交於一點I，此點稱為內心incenter，內心到三角形三邊等長，所以可過I點做三角形之內接圓，圓之半徑即為內心到邊之距離。   九點圓在三角形ABC上，令D =  BC之中點，E =  AC之中點，F =  AB之中點， G = 過A點到對邊BC之垂足，H = 過B點到對邊AC之垂足，I  = 過C點到對邊AB之垂足， J = 線段AX之中點,K =線段BX之中點 ,L

8、 = 線段CX之中點. (X,垂心,即 三高AG, BH, CI之交點.)你可以在右方的圖形看出，一個圓通過D,E,F,G,H,I,J,K,L這九個點，此圓即為ABC之九點圓，而N即為九點圓之圓心。   拿破崙點 在三角形ABC上，令 ABF=AB邊之外接正三角形， BCD=BC邊之外接正三角形，ACE=AC邊之外接正三角形，G = DBC之重心,H = ACE之重心,I =  ABF之重心,則線段AG、BH、CI交於一點N，此點即為第一拿破崙點。註：拿破崙除了是一位軍事家、政治家，同時也對    

9、60;   幾何學有濃烈之興趣，在成為法國統治者之        前，與大數學家拉格朗治和拉普拉斯有過討        論，後來拉普拉斯成為拿破崙首席工程師。        而拿破崙點事實上是三角形ABC（當每一內角        均小餘120度）內到頂點距離和最小的那個點。  尤拉線&#

10、160;在三角形ABC上，令 H為ABF垂心 。A'為BC中點，B'為AC中點，C'為AB中點。G為A'B'C'之重心。O為A'B'C'之垂心。則O、G、H三點共線，且線段OG：線段GH1:2，線段GO稱為尤拉線。註：九點圓之圓心恰好在尤拉線上，並且他到垂心        與外心的距離相等，九點圓之圓心在尤拉線        上，尤拉給出了部分相關內容，而第一個完整 

11、;       之證明是龐賽列（Poncelet）在1821年發表 的，        費爾巴哈（K.Feuerbach）重新發現尤拉部分的        結果，還添進了許多出人意料的性質，以致於        許多著作者會把九點圓稱為尤拉圓或費爾巴哈      

12、60; 圓。第四節：正多邊形繪製可分為以下三種方法：1. 內建工具2. 旋轉法3. 尺規作圖法第五節：作圓的切線及畢氏樹的製作已知圓O及圓外一點P，求作過P點之圓的切線作法：作PO線段的中點M點，以M為圓心，            OM為半徑作圓（黃色），則兩圓         （藍、黃）交於兩點R、Q，連接PQ、        

13、;   RQ則為所求。註：此乃因半圓之圓           周角為直角。已知兩圓A、B，求作兩圓之外公切線作法一：作AB線段的中點M點，以M為圓                心，AM為半徑作圓（綠色），再          &

14、#160;     以A為圓心，圓A、B之半徑差為半徑作圓（黃色），則此兩圓（黃、綠）交於點Q，連接AQ，則與圓A交於點P，過P點作垂直線（紅色），即為公切線。已知兩圓A、B，求作兩圓之外公切線作法：過A作直線L，過B作直線L'平行L，L            與A交於點P，L'與B交於點Q，連接            P

15、Q交AB直線於C點（E即為兩外內切          線交點），作AC中點M，以M為圓            心，AM為半徑作圓（黃）與圓A交於點D，連CD即為所求。註：點稱為兩圓之位似中心，：等於：等於圓與圓半徑比，所以過兩圓心作平行線得、兩點，其連線過點。註：上述公切線作法都應該有兩條，省略        不予說明

16、，而內公切線的作法只需模   仿外公切線便可作出。 第六節：拋物線製作所謂的拋物線顧名思義就應該是我們拋出物體的運動軌跡，在代數上它的函數表示方式是f(x)=ax2+bx+c，而他還有一個跟它等價的定義，就是在平面上所有與一直線和一定點等距離的所有點的集合，上述中的定點稱為焦點，上述直線稱為準線，而焦點作垂直準線的直線稱為拋物線的對稱軸。底下我們就介紹如何做出拋物線及相關內容。如何做出拋物線： 依照拋物線的定義，拋物線上的點到焦點與準線等距離，所以我們給準線上之一動點x，因為所有與焦點和動點x等距離的點即為此兩點之中垂線L1，又過x點做垂直線L2，則直線

17、L1、L2交於一點P，則P點的軌跡即為拋物線。 · 如何過由相似形原理作拋物線如圖，經由三角形的相似性質，我們可以作出拋物線，詳細情形請參閱多項式之作圖。     由圓包絡出拋物線取準線上之動點x，作焦點與x之中垂線M過x作準線之垂線N，則M、N交於一點p，M與準線交於q點，P點即為拋物線上之一點，過p點作直線L垂直M，過q作角pqx之角平分線並與直線L交於R點，則以R為圓心，RP線段為半徑畫圓，則該圓對動點x之軌跡即包絡出拋物線。註：使用Cabri時把Preference中的envelope取消才能畫出。· 如何

18、做出拋物線：作一圓O，在圓上作弦AB，並在AB弦上取一動點C，連OC，作CD弦垂直OC線段於C點，則CD弦對動點C的軌跡即為一拋物線。     · 如何做出拋物線：作X、Y軸並設交點為V，在Y軸上任取一點A，並在Y軸上任取一點F，以F為圓心作一圓過A點(線段AF長需大於1/2AV線段長)，圓F與X軸交於C、C'兩點，與Y軸另交於B點，則過B點作水平線與過C、C'兩點作垂直線交於P、P'兩點，則以P、P'對動點F所作的軌跡即為一拋物線。· 典故：J.韋內爾(Werner1468-1528)於1522年在紐倫堡出版了一本拉丁文的著作，標題是''圓錐曲線的基本原理''，共22部，在該書中，韋內爾給出了上述的作法。· 如何做出拋物線切兩直線於兩點給定直線L1與L2及其上之兩點a、b，則連接ab，在ab直線上取一動點x，過動點x作直線L2、M2分別平行L1、M1，並分別與M1、L1交於Q、P兩點，則PQ對於動點x的軌