因式分解和分式3.9

1、 全心全意为孩子易佳教育初三数学备课讲义课 题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式；因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。例01下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A BC D二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“”号，使括号内的第一项系数为正；公因式的系数和字母应分别考虑：系数是各项系数的最大公约数； 字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。例01在下面因式分解中，正确的是（

2、 ）A BC D例02把分解因式的结果为 。例03分解因式：. 说明：观察题目结构特征 对于与的符号有下面的关系： 例04解方程： 例05不解方程组求：的值. 类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：注意：条件：两个二次幂的差的形式； 平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清、分别表示什么。例如：分解因式：（1）； （2）； （3）2、利用完全平方公式因式分解：注意：是关于某个字母（或式子）的二次三项式； 其首尾两项是两个符号相同的平方形式；中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；使用前应根据题目结构特点，按“先两头

3、，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 公式原型，弄清、分别表示的量。典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）； （2）说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。例2 分解因式：（1）； （2）.说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式. 例4 把下列各式分解因式： ； 说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.例5 分解因式： . 说明：分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式： ； ； . 说明：在

4、运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若是完全平方式，求的值.说明：根据完全平方公式特点求待定系数，熟练公式中的“、”便可自如求解.例8 已知，求的值.说明：将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值.例9 已知，求的值.说明：这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于与的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知和满足方程组，求

5、代数式的值。类型三、分组分解法1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。2、原则：分组后能继续分解（即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的）。3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为：组内提公因式或运用公式； 组间提公因式或运用公式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟一，且灵活多变.例如：am+an+bm+bn； x2-y2+2x+1.例1 选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）（A）（B） （C）（D） 说明：本组题目用来判断分组是否适当.例2 因式分解： （1）； （2）

6、说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一； （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单； （3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“”的括号时，括号内每项要变号；例3 分解因式：（1）； （2）； 说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。例4 分解因式： 说明：根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。例5 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）. 说明：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.例6 分解因式： （1）； （2）说明：本组两题原题

7、本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”。类型四、关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解事实上：x2+(p+q)x+pq =x2+px+qx+pq =(x2+px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q).所以：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).例1 分解因式： ； . ； .（1）； （2）.例3 分解因式： ； .专题二、分式知识点一 分式的概念及基本性质用式子表示为：（其中M0）. 5. 约分和最简分式（1） 分式的约分：把一个分式的分子与分母中

8、的公因式约去叫约分.（2） 最简分式：分式的分子和分母已没有公因式，这样的分式我们称为最简分式.例1. 若分式的值为零，则x的值等于 .规律总结：要使分式有意义，只要分式的分母不为零即可，与分式的分子无关；若要求分式的值何时为零，就应该两个条件：一是分式的分子为零；二是确保分式的分母不为零.在解题时应注意检验分母的值是否为零.针对训练：1. 写出一个含有字母的分式（要求：不论取任何实数，该分式都有意义） 知识点二 分式的运算1. 分式加减法运算（1）分式加减法运算，先判断类型，再进行运算.      iii）其余为异分母的运算.（2）分式加减法

9、运算，通分后，都可化为同分母的运算，实质进行的分子的加减法运算，注意其中的符号和括号的问题.（3）注意分式运算最后的结果为最简分式，分子、分母有公因式要进行约分.   2. 分式的混合运算    先确定运算顺序，先计算乘方，再算乘除，再计算加减.    有括号的要先计算括号里的，最后结果要写为最简分式.例2.计算的结果为（ ）A B C D思路点拨：先通分，再去括号，化除为乘，能够月份的要约分，结果要化成最简分式或整式.规律总结：分式的混合运算同分数的混合运算类似，先算乘方，再算乘除，最后加减，如有小括号，先算括号

10、内的。在运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配率等，运算结果必须是最简分数或整式。知识点三 分式的化简求值题例3先化简，再求值：（）÷，其中x1 （1）思路点拨：先利用分式的运算法则将分式进行化简，再代人求值.规律总结： 化简求值历来是中考的热点，化简是关键，化简的过程中一定要注意运用分式的性质，同时注意运算顺序.化简过程中要特别防止在性质符号上出现错误，从而导致一着不慎而全盘皆输的局面. 针对训练：知识点四 分式运算的新情景问题例4. 小敏让小惠做这样一道题：“当时，求的值”小惠一看：“太复杂了，怎么算呢？”，你能帮助小惠解这个题吗？请写出具体过程 知识点五 解可化为一元一次方

11、程的分式方程例5解分式方程 （2.）思路点拨：方程的最简公分母是，将方程两边都乘以最简公分母，使分式方程转化为整式方程.规律总结： 解分式方程常见的错误是漏掉建议所得未知数的值是否为增根这一重要步骤，另外去分母时，两边都乘以最简公分母时，也易发生漏乘常数项的错误. 针对训练：知识点六 列分式方程解实际应用题例6. 金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每

12、天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.思路点拨：本题考查工程问题的常见解法，在认清工程问题的常见的等量关系后，合理设取未知数，正确表达其他未知数.解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要天 根据题意，得 ，解得x=90 经检验，x=90是原方程的根 =60不是原方程的增根，然后再看是不是符合题意.最新考题中考考点：了解分式的概念，会用分式基本性质进行约分和通分，熟练

13、掌握简单的分式加减乘除运算和应用.掌握解分式方程的基本方法.会利用分式方程解决实际问题.试题特点：对分式的有关概念、性质及运算的考查，以选择题、填空题居多，尤其对分式的化简求值考查较多.考查可化为一次方程的分式方程的解法及实际应用题多以解答题形式出现.题量约占总题量的4.命题趋势： 分式化简求证及具有鲜活的时代背景列可化为一元一次方程的分式方程的运用，将仍会在2011中考题中出现.考题1要使分式有意义，则应满足的条件是（）ABC D考题2(2009年陕西省)化简的结果是（ ）ABCD考题3(2009年黄冈市)化简的结果是（）A4 B4C2aD2a考题4（2009威海）化简的结果是（）AB CD

14、考题5（2009年滨州）化简： 考题6 (2009年内江市)已知，则_.考题7(2009年成都)化简：_考题8(2009年成都)分式方程的解是_ 考题9（2009年山西省）化简：考题10(2009年本溪)“五·一”期间，九年一班同学从学校出发，去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍MNABxy（千米）（分钟）654321102030O（1）求步行同学每分钟走多少千米？（2）右图是两组同学前往水洞时的路程（千米）与时间（分钟）的函数图象完成下列填空：表示骑车同学的函数图象

15、是线段 ；已知点坐标，则点的坐标为（ ）考题11（2009年衡阳市）先化简，再求值：，其中考题12（09湖南邵阳）已知，用“+”或“”连接，有三种不同的形式：，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中=5213.已知两个分式：，其中，则A与B 的关系是（）A、相等B、互为倒数C、互为相反数D、A大于B14一组按规律排列的式子：，（），其中第7个式子是 ，第个式子是 （为正整数）15某书店老板去图书批发市场购买某种图书第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？P30米l16甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同