两角和与差的正弦余弦和正切公式专题解析

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； 2.能利用两角差的余 弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的 正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在 联系。知识梳理1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin a cos 3 土 cos a sin 3 .cos(a? 3 = cos a cos 3 土 sin a sin 3 .tan(a+/)H tan t31 二$2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin a cos a .cos

2、 2a= coV a sin2 a = 2co$ a 1 = 1 一 2sin2 a .亠 Q _ 2tan attin ca - *1 tan a3. 有关公式的逆用、变形等 (1)tan a ± tan 3 = tan( a±®(1 ?tan a tan 3 ).(2)cos= r 力.=上竿也(3)1 + sin 2 a = (sin a + cos a )2, 1 sin 2 a = (sin a cos a )2,Sin a ± cos aa ±nn .4. 函数 f( a = asin a + bcosa (a, b 为常数)，可以

3、化为 f(o) = , a2+ b2sin(a+ba(D 其中 tan © =扌或 f( a = ；a2+ b2 cos(a妨其中tan © =.诊断自测1.判断正误(在括号内打“V”或“X”)“精彩PPT展示(1) 两角和与差的正弦、余弦公式中的角a B是任意的.()(2) 存在实数a, B，使等式sin(a+ sin a + sin B成立.()tan a + ta n B公式tan(计B二1 tan atan B可以变形为tan a + tan B=tan(a+ B(1 tan a tan B )，且对任意角 a, B 都成立.()(4)存在实数 a,使 tan 2a

4、 = 2tan a .()n解析(3)变形可以，但不是对任意的a B都成立，a , B , a + B"2 + kn ,k Z.答案(1)2V (3)xV12. (2016 全国川卷)若 tan 3,则 cos 2B=()A. - 4解析cos 2cos2 0 sin2 0cosi2 B - sin2 Bcosi2 0 + sin2 01 tan2 01 + tan2 0答案 D113. (2015 重庆卷)若 tan3, tan(a+3 = 2,贝tan1A.1DI解析tan X tan(计 3 Q 二浚仔l' ” 勺 1 + tan (a+ 3) tan a1_ 1=21

5、31=7,故选 a.1 + 2X 3答案 A4.（2017广州调研）已知sincos a =3 则 sin：C.8解析由sina + cos a =13两边平方得1 + sin 2a解得sin 2 a8=-9,所以nsin2 2n1 cos 2 a21 sin 2aa =2=81 +一l + 917池，故选B.答案 B5. (必修 4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°+ sin 77°- cos 58° =cos 58°解析 sin 347° cos 148°+ sin 77°=sin(27

6、0°+ 77° )cos(90°+ 58° )+ sin 77° cos 58° =(-cos 77° ) (- sin 58° ) + sin 77° cos 58°=sin 58° cos 77°+ cos 58° sin 77°=sin(58°+ 77° )= sin 135°=孑.考点一三角函数式的化简【例 1】(1)(2016 合肥模拟)cos(a+ 3cos B + Sin(a+ 3sin ()A.sin( a+

7、2 ®B.sin aD.cos a化简:(1 + sin a + cos a ).2+ 2cos a(0< a< n )=C.cos(a+ 2 3解析 (1)cos(a+ 3cos 3 + sin(a+ 3sin 3 = cos( a+ 3 3 = cos a .原式=2a2cos_2 + 2sina agcosy acosyasin22 a 2 aacos "2 sin"2cosy cos aacosya na因为0< a< n,所以0<2<2，所以cos>0，所以原式=cos a .答案(1)D (2)cos a【训练

8、1】(1) .2+ 2cos8+ 2 , 1 sin8的化简结果是12cos4 a 2co$ a +化简：二n . 2 n ,2ta nas in+ a44解析(1)原式=,4co$4+ 2 , (sin 4 cos 4) 2=2|cos 4+ 2|sin 4 cos 4,53因为4 n <4<2 n,所以 cos 4<0,且 sin 4<cos 4,所以原式=2cos 4 2(sin 4 cos 4)= 2sin 4.12 ( 4cos4 a 4cos2 a + 1) (2)原式= n2X sin a42 ncos a n4cos 4 a(2C0$a 1) 2cos

9、2 an.4sin 才a cos 4 a 2sin2 .cos 2 a 1 亠 =cos 2 a .2cos 2a 21答案 (1) 2sin 4(2)2cos 2a考点二三角函数式的求值【例2】(1)2sin 50 ° + sin 10(1+ 3tan 10° ) ：2sin280 =(2)已知ncos 7+a317n=5，<12 a27n msin 2a + 2sin a< ，则的值为1 tan a4，则(3)已知 a B (0,n ), J且 tan( a1=7,则2a B的值为解析 原式二(2sin 50°+ sin 10述 105 10

10、76;)cos 10°2s in 80°= (2si n 50°+ 2s in 10°cos 10。+毘鬥 10cos 10°2cos 10°= 2.2sin 50° cos 10+ sin 10° cos(60° 10° )6.=2 2sin(50°+ 10。) = 2 2X 于22sin 2a + 2sin a2sin a cos a + 2sin asin a 1 cos a1 tan a 2sin a cos a (cos a + sin a )cos a sin a=sin

11、2a.c 1 + tan a =sin 2a1 tan a，17n由五7 n 5 na <2 得2<n口n+ ；4<2n,又 cos& +所以sin45,ntan7 +"43.ncos a 二 cos J+10，sin a需，sin 2a2875.2sin 2a + 2si n 所以1 tan a+ tan Btan (tan a 二tan(a- B + B二En (a B tan B1 12 7 _1 _1 1+1X1又 a (0,nn<y，又/ tan 2a2ta n a21 tan a2XJb _ 324>°，n 0<2a

12、<2，-fan(2 afan 2 a fan 0+Q)n 2aQrn 0Qrn 0 H 7A0I八 0八=八201京03 =嗨>36 (2)11 (3)士2】0 )4COS 50。Qrn 40。N (2)masina +cl+sin育+备B2 口盖丄(3)macos a "7cos(a9 "2|(0八齐头心)淫Qrn 2a H3SMN 4s5'40sin 40 cos 40。4cos 40。sin 40。sin 40。cos 40。2SI5'8O。SI5'4O。cos 40。2sin (120。40。)SI5'4O。cos 40。

13、llcos 40。+ sin 40。sin 40。cos 40。V3cos 40°cos 40=.3,故选C.n(2)由 sin a+ -3 + sin a =得2sin a +弟05 a 二響,sin a +-645.nn又一"2< a <0,所以一3< an n+ _66，于是cosn+_635.所以cos=cosna+6 63,3 4 二 10(3) v cossin atan a = 4 3,2ta n a2X 4/3 tan 2a= 1 tan2 a 二1 488,347 .nV 0< B < a <2, 0< a sin

14、 (a B =讦, cos B = cos a ( a =cos a cos(a B + Sin a sin( a B_ 1V13丄也'刮3_ 1 7X 14+ 7 % 14 2,答案(i)c韭詁4一雲n3考点三三角变换的简单应用【例3】已知 ABC为锐角三角形，若向量p= (2- 2sin A, cos A+ sin A)与向量 q = (sin A cos A, 1 + sin A)是共线向量.(1) 求角A;C 3B(2) 求函数y=2sin2B+ cosq 的最大值 解(1)因为 p, q 共线，所以(2 2sin A)(1 + sin A)3=(cos A+ sin A)(s

15、in A cos A),贝U sin2A=4.nn "3 B 3B2又A为锐角，所以sin A=¥，贝U人=才 (2)y= 2sin2 B+ cosC-3B = 2sin2B + cos2n1=2sin B + cos "3 2B = 1 cos 2B + Qcos 2B+n QB-sin 2B*cos 2B+ 1= sin 2B 6 + 1.因为be 0，nn，所以2B_n & nn，誓，所以当qbnn=nn时，函数yn取得最大值，此时B= "3， ymax= 2.1 【训练 3 (2017 合肥模拟)已知函数 f(x) = (2cos2x 1

16、) sin 2x+Qcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间;若a (0，冗)，且f专"8 =子，求tan a +专的值.1解(1)f(x) = (2coWx 1)s in 2x+2cos 4x=cos 2<sin 2x+ *cos 4x12n=2(sin 4x+ cos 4x) = 1sin 4x+*，n f(x)的最小正周期令 2kn +W 4x+；4 < 2kn+ |n, k Z,knn k n 5 n ,得T+ 花w+ 花，kz. f(x)的单调减区间为k n n+ 2 + 16,即sin因为a (0,n ),n7< a所以na故 a 3n.3

17、ntan + tan因此tan43 I + * 3厂=二 1+ 3 二2 3.1 tan 4 tang基础巩固题组（建议用时：40分钟）、选择题1. (2015 全国卷)sin 20° cos 10° cos 160° sin 10°=()A.,3TC.-2D.2解析sin 20° cos 10° cos 160° sin 10°= sin 20°cos 10°+ cos 20° sin 10=sin 30。= 2.答案 D2. (1 + tan 17 )(1 + tan 28

18、6; )的值是()A. 1B.0C.1D.2解析 原式=1 + tan 17°+ tan 28°+ tan 17° tan 28°=1 + tan 45° (1 tan 17° tan 28° )+ tan 17° tan 28°=1+ 1 = 2.答案 D13. （2017西安二检）已知a是第二象限角，且tan a = 3，则sin 2 a =（A.3 ,1010C-3d|1解析 因为a是第二象限角，且tan a = 3,所以sin.1010，cos a3 1010，所以 sin 2 a = 2sina

19、 cos a= 2 X10帀X35,故选C.答案 C1。3。2tan 14°4. （2017 河南六帀联考 ）设 a = 2cos 2 ° - -ysin 2 ° , b =怡和。，c二1 cos 50°os,则有（B.av bv cA.av cv bC.bv cv aD.cv av b解析由题意可知，a = sin 28°,b= tan28°,c= sin25°,cv av b.答案 D3n5. （2016肇庆三模）已知sin a 二5且債为第二象限角，则tan2a+Q二（）A 19A-亏B.19C.-31f 17d.-

20、31解析 由题意得cos a = 5，则sin 2a = 25,cos 2a2=2cos a 17_25. tan 2a24n tan 2 a +4nta n 2a + tan24n1 tan 2a tan4241731.答案 D、填空题n 1n6. （2016石家庄模拟）若cos a -3 = 3,贝U sin 2a 石 的值是解析sin 2 a-* = sincos 2冗2a § = 2cos a-1=2X9-1=79.答案7.（2017南昌一中月考）已知0,冗冗37，且 cos7 a 飞'5sin 4 冗1213，贝U COs(a+ B =解析冗 3 n a J,冗co

21、s7 -35,sin45,/ sin1213' sin 手 +413'又T B 0,冗- cos 才+ B=13, COS(a+ B = COS_4=5X 13- 5X 13=123365.答案33658.已知0,且 sin请，则 tan 20 =解析sin1sin 0 -cos 心5 0,平方得2sin2470 cos 0 = 25,可求得 sin 0 + cos 0 = 5, sin 0cos 0=5, tan 0 =3 tan 20=严呼;3'1-tan 0247 .答案247三、解答题9.(2017 淮海中学模拟)已知向量 a= (cos 9 , sin 9 )

22、, b= (2, 1).的值;卄亠 sin 9 cos 9(1)若 a±b，求sin 9+ cos 9若|a b|= 2,9 0,专，求 sin 9 +-4 的值.解 由 a丄b 可知，a b_2cos 9 sin 9 _ 0,所以 sin 9 _ 2cos 9 ,sin 9 cos 9 2cos 9 cos 9 1 sin 9 + cos 9 2cos 9 + cos 9 3'9 +1)2_由 a b= (cos 9 2, sin 9 + 1)可得,|a b|= , (cos 9 2) 2+( sin6 4cos 9 + 2sin 9 _ 2,即 1 2cos 9 + si

23、n 9 _ 0.又 cos2 9+ sin2 9 _ 1,且 0,7t2，所以sin_5, cos 9 _545.所以sin+7 £(sin9 + cos 9 )_"f5+510.设 cosoc =55，tan冗2 , 0< B <2，求 a B 的值.解法一由cos a_-欣 n <a <琴，得 sin a_等，tan a_ 2,又 tan525所以 sin(a- B= sin a cos B cos a sin B =2丽351510 -510 =-2 .又由冗3na < 2 ,0< B <n可得-n- n3 n5 n-2 &l

24、t;- B<0, 2< a - B< 2，因此，a - B= 4于是 tan(a-B=：an a-tan B1 + tan a tan B12-311 + 2X 31.又由冗 a n，兀 _ zi=r 兀兀o< b <2可得-y<- B<0，2<-Bn，因此,5 n-B= T.法二COS a =it < a <3n得 sin2,55 .由tan1n /口1=3, °<B <u得sin B=no,cos B=3 =_ 10.能力提升题组（建议用时：20分钟）11.（2016 云南统一检测）cos9 cosn cos

25、 - 23n =（）1111a.- 8B.-花c.屁D.1n2n23解析 cosg COS百 cos - n9 n=cos 20° cos 40°-cos 100°=- cos 20cos 40 cos 802sin 40。-cos 40°sin 20°-cos 80°*sin 80。 cos 80。sin 20°8sin 160°sin 20°jsin 20。sin 20°18.答案 A12.(2017 武汉调研)设 a, B 0, n ，且满足 sin a cos B cos a sin B = 1, 则sin (2 a B + sin (a 2B的取值范围为()A. 2, 1C. 1, 1B. 12D.1 ,2cos a sinB = 1,- sin( aB 二 1,n' a 2 ,0W由a W n,n?0WB = a' W n2® = sin 2 ana+_+ sin( a2 a+n ) = cos a + sin解析 I si