2020届山西省高三2月开学模拟(网络考试)数学(文)试题(解析版)

1、2020届山西省高三2月开学模拟(网络考试)数学(文)试第11页共20页一、单选题1 .已知集合 A x|xx2 0 ,B x|x1,则 AIB ()A. 0,2B, 1,2C. 1,2d. 0,2【答案】B【解析】 先求出集合 A,然后再求 AI B.【详解】由 xx2 0,得0x2所以 A x|0 x 2 ,又 B x|x 1AIB x|1 x 2 .故选：B【点睛】本题考查两个集合的交集，属于基础题.2 .设a R,若复数 1-i-在复平面内对应的点位于实轴上，则 a ()a iA. 2B. 1C. -1D. -2【答案】C1 i a 1 a 1 i【解析】化简得 2 i ,再根据条件求

2、a . a i a 1【详解】上十 1 i 1 i a i a 1 a 1 i由于2a i a 1a 1,1 i ，一 ,，一一、一一，由复数 在复平面内对应的点位于实轴上.a i所以a 1 0,所以a 1.故选：c.【点睛】本题考查复数的除法运算，和复数在复平面上对应的点，属于基础题r r3.已知向量a, b不共线，右r r r ra 3b / ka b ,则实数 kC.A .-B.【答案】Ar r【解析】由向量共线的性质得 ka bD.r ra 3b ,由此能求出实数 k的值.【详解】rr rrrrrr由于a3b/ kab,所以存在实数，使得kaba3b,1因此 k且31,解得k -.3故

3、选：A本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题.4.某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，并得到下表:分数段70,9090,110110,130130,150人数5152010将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试数学成绩的中位数是（）A . 110B. 115C, 120D. 125【答案】B【解析】 直方图四个小矩形的面积从左向右依次为0.1, 0.3, 0.4, 0.2,故中位数位于第3个小矩形处，可计算出中位数 .【详解】由题意可知，频率分布直方图四个小矩形的面积从左向右依次为0.1, 0.3, 0.4, 0.2,故中位数位于第3

4、个小矩形处，而前2个小矩形面积之和为 0.4,故第3小矩形在中位数左侧的面积为0.1,故中位数为区间 110,130的靠左的四等分点处，故中位数为115.故选：B【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数，属于基础题25.设Fi,F2分别为椭圆E:与 y2 1 a 1的左、右焦点，过 F2且垂直于x轴的直 a线与E相交于A,B两点，若 FiAB为正三角形，则a （）D. 2【解析】由F2A x轴，可求出 AF2 ,在Rt AF1F2中可以建立关于a的方程，求解出a .【详解】设 F2(c,0),由 F2A x 轴，则 A(c,y), 222则 y2 1 c2 a 4, "1F22a

5、/P",af2 一,a a aa_ . 一 o F1F2在 Rt AF1F2 中 tan 60-.'AF227a2 1 一出，即 4a4 4a2 3 0,解得 a2 3 , a26a .2故选：A【点睛】本题考查椭圆的基本性质，求椭圆方程中的参数，属于基础题x2 2x 46.函数f x x 2的取小值是（）x 2A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D一 ，一一x2 2x4., ,4【解析】将函数f x -化成x 2 2的形式，然后用均值不等式 x 2x 2可求出答案.【详解】f x x 4 x 2 -4- 2 2'. 4 2 6.x 2x 24当且仅当x 2 -&

6、#177;-,即x 4时，等号成立.故f x的最小值为6.故选：D【点睛】本题考查利用均值不等式求函数最小值，属于基础题7,已知变量m的取值完全由变量 a,b, c,d的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好 a,b,c,d四个变量的取值，然后记录相应的变量m的值，得到下表：试驯编Pabcdm11114111221122102221则m关于a,b, c,d的表达式不可能是（）2abcd8222 a bC - m cdD.3a2 b2cdB, m a b cd【解析】 依次将，中a,b,c,d的值代入各个选项中进行验证，可得到答案将，中a,b,c,d的值代入A,B,D中都满足条件

7、,2ab将中的数据值代入 C,得m -一b 2 1,不满足条件 cd所以m关于的表达式不可能是 C.故选：C【点睛】本题考查推理，考查变量之间的关系，属于基础题 一 28,对于函数f x 的图象，下列说法正确的是（）ex 1A.关于直线X 1对称B.关于直线y x对称C.关于点1,0对称【答案】DD.关于点0,1对称R，可得g x为奇函数,由图像平移可得答案ex 11 ex1 ex ex 1g x为奇函数，其图象关于原点对称,将g x图象向上平移1个单位长度可得f x图象,所以f x图象关于0,1对称.故选：D【点睛】本题考查函数图像的平移和函数的奇函数的图像的对称性，属于基础题n9.已知数列

8、 an的通项公式为an 3n 7 0.9 ,则数列 4的最大项是()A a§B a6C. a?D. a&【答案】C【解析】先讨论出数列 an的单调性，根据单调性得出答案 .【详解】an 13n 10 9 ,20*由一二一二1,解得n ，又n N ，所以n 6.an3n 7 103于是 a a? L a7,an 1当 n 7 时，q 1 ,故 a7 a8 L ,an因此最大项为a7.故选：C本题考查求数列的最大项和数列的单调性，属于中档题10 .执行如图所示的程序框图（其中a mod b表示a除以b后所得的余数），则输出的N的值是 （） i), V(A. 78B. 79C. 8

9、0D. 81【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程，得程序功能是统计1至2020中所有是20的倍数但不是100的倍数的整数个数，从而得出答案.【详解】容易看出，该程序框图的功能是， 统计1至2020中所有是20的倍数但不是100的倍数 的整数个数.在1-2020中，能被20整除的数共有 101个，但其中100, 200, 300,2000这20 个能被100整除.故符合条件的整数个数为101-20=81.故选：D【点睛】本题考查程序框图的运行过程，解题时要弄清程序的功能，属于基础题11 .已知直角三角形ABC两直角边长之和为 3,将 ABC绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为

10、（）A. 5B. 4C. 2D.-3338【答案】B【解析】设将ABC绕长度为b的直角边旋转，则其体积为、，12,12V a b a 3a,然后求其取大值即可33【详解】设直角三角形的两边长分别为 a,b,则a b 3,1cle以长度为b的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为V - a2b - a2 3 a ,3312V 6a 3a2 ,当 0 a 2时，V 0；当 2 a 3时，V 0. 3所以当a 2时，体积最大，最大值为 -.3故选：B【点睛】本题考查旋转体的体积和利用导数讨论函数的单调性求最大值，属于中档题2212 .设F1，F2分别为双曲线E:，与 1 a,b 0的左、右焦点，以坐标原

11、点。为a b圆心，OR为半径的圆与双曲线 E的右支相交于P,Q两点，与E的渐近线相交于A,B,C,D四点，若四边形PFQF2的面积与四边形A,B,C,D的面积相等，双曲线E的离心率为（）A. V2B. 33C. 75D.通【答案】C【解析】由双曲线的定义和勾股定理可求得PF1 PF2 2b2,从而可得四边形PFQF2的面积，然后求出点圆 。与E的渐近线在第一象限的交点为a,b ,可求出四边形ABCD的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知PF1 PF2 2a,22PF1PF2 2得 PF1 PF2 2b2,一.f L L一 _ 1 _ _ 2，四边形PFQF 2的面积为S

12、i 2 -PF1 PF2 2b2,22220, y 0 ,解得xx y c由 b ，当xy -x a，圆。与E的渐近线在第一象限的交点为a,b四边形ABCD的面积S2 4ab , 2b2 4ab , ，b 2 ,即 a22c a2a4,e - a.5.故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题rb ”的逆否命题是二、填空题r rr13 .已知a,b是向量，命题右a- Jr , r r 【答案】若a b ,则a b.【解析】 根据逆否命题和原命题的关系写出逆否命题.【详解】 根据逆否命题的定义可知，原命题的逆否命题为:故答案为：若本题主要考查逆否命题和原命题之间的关系，属于基

13、础题.14 .已知等差数列 an的公差为d ,且d 0,前n面和为Sn,若4s2,3S3,20也成等差数列，则曳 .d【答案】-1【解析】由4s2,3S3,2S4成等差数列，即2s2 S4 3s3 ,将前n项和的公式代入，可求出答案.【详解】 由 4s2,3S3,2S4成等差数列知 4s2 2S4 6s3,即 2s2 S4 3s3 ,故 2 2al d4a1 6d 3 3a1 3d ,整理得a1 d 0 ,又d 0,故里 1 . d故答案为：-1【点睛】本题考查等差数列的简单应用和等差数列的前n项和的公式的应用，属于基础题.x15 .关于x的方程匚 m无实根，则实数 m的取值范围为 一. x

14、1一，、_ 一 2【答案】0,ex【解析】 程-e m无实根，即直线y m x 1与曲线y ex无公共点，找直线 x 1y m x 1与曲线y ex相切的时候m的值，然后分析可得答案.【详解】x由m ,得 ex m x 1 ,x 1若直线y m x 1与曲线y ex相切，设切点为, y0 ex0 ,- y ex, 1- m ex0 ,ex0 ex0 Xo 1 , .222 Xo 2 , . . m e .直线y m x 1恒过点1,0 .因为原方程无实数根，所以实数m的取值范围为 0,e2 .2故答案为：0,e2【点睛】本题考查方程的根的情况，转化为两曲线的交点问题，属于中档题16.将函数f

15、x 2sinxcosx 2J3cos2 x J3的图象向左平移 a a 0个单位长度，得到函数 y g x的图象，若g x g x对任意x成立，则实数a的最小6一 .13 值为.此时，函数g x在区间 , 上的图象与直线 y 2所围成的封闭图 12 12形的面积为.【答案】-23【解析】先将函数f x化简为f x 2sin2x ,由平移得到 3y g x的解析式，g x g x对任意x成立，即函数 6g x的对称轴为一,可求出a的最12，小值，然后用割补的方法，可得图形的面积f x 2sin xcosx 2 3cos2x,3sin 2x、3 2cos2 x 1 2sin2x则得到所以g由若g得

16、一一6 32sin2sin2x 图象向左平移 3a 2sin32x2a个单位长度.2sin 2x2a 一 3对任意x成立,则函数x的对称轴为122ak 一,k Z ,所以2则a的最小值为此时 g x 2sin 2x一,由对称性可知，如图3即x 乙右边阴影部分S2的面积等于左边 S1的面积.12所求面积即为直线 x 一，x 乙以及y 2,y2围成矩形面积，即为21212故答案为：.3,2【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和对称性，属于中档题三、解答题17.如图，平面四边形 ABCD 中，AD 5,CD 2910, AB AD, tan CAB（1）求AC的长;(2)第12页共20页3 一(2

17、)若 ABC -,求 ABC的面积.4【答案】(1) AC 3/5 (2) 92【解析】（1）由条件求出cos CAD再由余弦定理可求AC的长.（2）由正弦定理可求得BC 3J2，由 BCA CABCBA可求得sin BCA的值，则 ABC面积可求【详解】解：（1）由题意知cos CAD5在 ACD中，根据余弦定理,cos CAD222AD2 AC2 CD22ADgAC25 AC2 4052 5 AC5解得AC 375 （ ACJ5舍去）；由题意知sin BAC , 5 BC在 ABC中，由正弦定理得一BC sin BAC sinACABCBC 3.5即逅逅，解得 BC 3 .'2，又

18、 sin BCA sinCAB CBA2.52.i0,2 I0wii故 Sabc -CAg3Bcsin ACB -353万92【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用和求三角形的面积，属于中档题BB1, B1BC 60(2)若AC, AB1ABBB1,BiCiABi.(1)AB AC.见解析(2)取BC的中点(2)由 VM A1B1CVA面ABiC的距离.2 ,点M是BiCi的中点，求点M到平面ABC的距427O,连接AO,OBi,根据条件可证明BC AO ,从而可得又 VA, B1MC1 ,2 BiM CM AM ,可求出点M到平(1)证明：如图，取 BC的中点O,连接AO,OBi,BC B

19、B1 ,B1BC 60O,BCBi为等边三角形， . BiO BC ,第I14页共20页又BC/B1C1, B1cl ABBC AB1,又 B1OI AB1 Bi ,BC ± 平面 AOB1 ,又 AO 平面 AOB1 ,BC AO ,.。为 BC 中点， AB AC;(2)连接 CM ,AM ,第23页共20页A AB AC , . AO 1,又 OB173, AB1 2 ,AO OB1 ,- CM /OB1,AM / /AO ,A1MCM,又 AB1 AG, m是B1C1的中点，A1MB1cl ,A1M 平面 B1C1C ,由 CM OB1 73, AMAO 1 ,所以 CA J

20、CM2 MA12 V3-在 ABC 中，AC BC BC1 2, A1B1 收.取AB1的中点为H ,在等腰三角形CA1B1中，有CH AB.所以在RtACHB,中，CHCB12ABi 27 J42'22所以SAB1C 1 AB1 CH 1行54五 2222设M到平面A B1C的距离为h ,由VM AB1c VA, B1MC ,即S A1B1c3 S B1MCAM1 1-B1M CM AM3 2S A,B1c.421故点M到平面A B1C的距离为【点睛】本题考查由线面垂直得线面垂直和用等体积法求点到面的距离，属于中档题.,22八一19.已知直线x my 1与圆x 1 y 14相交于A,

21、B两点，。为坐标原点(1)当m 1时，求AB(2)是否存在实数 m ,使得OAOB ,若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理【答案】(1) 拒 (2)不存在满足条件的实数 m.见解析【解析】(1)先求出圆心到直线的距离，然后解直角三角形可得弦长AB的值.(2)设 A X1,y1 ,B X2,y2 ,若 OAOB ,则X1X2y1y20 ,再方程联立韦达定理代入可得答案【详解】解：(1)当m 1时，直线方程为xy 1 0,1此时圆心到直线的距离为 d -j=,则AB(2)设 A x1，y1，B X2,y2 ,贝U22X 1 y 14,得 m2 1 y2 2y 3 0,x my 1y1 y222

22、, y1y2m 1yy20,uuu uun OA OB, OA OB又 X my 1为 my 1, my1 1 my2 1 y1y2 0,2 m 1yly2 m y1 y2 1 0,2.32.八, , m 1 g-2 mg-2 1 0，m 1 m 1化简得m2 m 1 0,，不存在满足条件的实数 m .【点睛】本题考查圆中利用垂径定理求弦长，考查点到直线的距离和方程联立韦达定理的应用 属于中档题.20 .某人某天的工作是： 驾车从A地出发，到B、C两地办事，最后返回A地，A, B,C三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如下表：路段正常行驶所需时间（小时）上午降水概率下午降水概率AB20.30.

23、6BC20.20.7CA30.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时.现有如下两个方案：方案甲：上午从 A地出发到B地办事，然后到达 C地，下午在C地办事后返回 A地;方案乙：上午从 A地出发到C地办事，下午从 C地出发到达B地，办事后返回 A地.设此人8点从A地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.现采用随机数表法获取随机数并进行随机模拟试验，按照以下随机数表， 以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，若到达某行最后一个数字，则从下一行最左侧数字继续读取，每次读取 4位随机数，第1位数表示采取的方案，其中 0-4表示采用方案 甲，5-9表示采用方案乙；第 2-

24、4位依次分别表示当天行驶的三个路段上是否降水，若k某路段降水概率为 一，则0 k 1表不降水，k 9表小不降水.（符号m : n表布的 10数集包含m,n）05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23099842 99 64 61 71 6299 15 06 5 1 29 169358 05 77 05 9151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99

25、 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（1）利用数据“5129模拟当天的情况，试推算他当日办完事返回A地的时间；（2）利用随机数表依次取出采用甲、乙方案的模拟结果各两组，分别计算甲、乙两个方案的平均时间，并回答哪个方案办完事后能尽早返回A地.【答案】（1） 19点；（2）甲方案有利于办完事后能更早返回A地.【解析】（1）数据“5129裳示采用乙方案，

26、上午CA路段降水，下午BC路段降水，AB 路段未降水，由此能求出结果.（2）根据规划，读取的两组甲方案对应数据依次为1693, 2687,求出平均时间为 10,读取的两组乙方案对应数据为5129, 5805,求出平均时间为11,从而认为甲方案有利于办完事后能更早返回A地.【详解】解：（1）数据“5129表示采用乙方案，上午 AC路段降水，下午 CB路段降水，AB路 段未降水，故花费正常行驶时间 7小时，降水延迟2小时，办事及午餐 2小时共计11 小时，故推算返回 A地的时间为19点；（2）根据规则，读取的两组甲方案对应数据依次为1693, 2687得数据上午AB路段是否降水（0-2表示降水）上

27、午BC路段是否降水（0-1表示降水）下午CA路段是否降水（0-8表示降水）总时间平均时间1693否否是10102687否否是10类似地，读取的两组乙方案对应数据为5129, 5805,可得数据上午AB路段是否降水（0-2表示降水）上午BC路段是否降水（0-1表示降水）下午CA路段是否降水（0-8表示降水）总时间平均时间5129是是否11115805否是是11因为10<11,故认为甲方案有利于办完事后能更早返回A地.【点睛】本题考查时间的估算,考查随机数表的应用等基础知识,考查运算求解能力，是中档题.21 .已知函数f Xx2 ax a2 In x a R ,g x 2xln x x2.（

28、1）讨论f x的单调性;（2）求证：当a 1时，对于任意x 0,【答案】（1）见解析（2）见解析2x a x a【解析】（1）先求出f x aa-,然后对a的符号进行分类讨论即可八，-1（2）要证f x g x ,即证2x 1 ln x x 0,当x 一时，不等式显然成立；当 21 _ x _1, x 一，x 一时，即证ln x 0 ;当0 x 一时，即证ln x 0 ;构造2 2x 122x 1F x In x -进行证明分析可证.2x 1【详解】解析：（1）由题意f x的定义域为 0,2_ 22c a 2x ax a 2x a x a2x a 一 xxx当 a 0时，f x 2x 0 ；a

29、 一当a 0时，x 一时，f x2a0； 0 x 一时，f x 0；2当a 0时，xa 时，f x 0； 0 x a时,f x 0；综上所述，当0时，f x在0,上为减函数;(2)0时,0时,要证f1 一时,21 , 一时,2a x在0,上为增函数，在2在0, a上为增函数，在不等式显然成立;x即证ln x 2x 1ln xx2x上为减函数;a,上为减函数2x1 ln1 ,一时, 2即证ln x2x-0；11 一时,212，10,122x 1x为减函数;4x2x1,为增函数, Fx minln xx2x 10.1 gx 一时,20, Fx为增函数；在1 14,2上F x 0,为减函数,x max Fln0,lnxx0 ，2x 1综上所述，当x0 时，f x成立.属