2013年高考文科数学天津卷解析版

1、.2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (天津卷 )一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 (2013 天津，文1)已知集合A xR |x| 2， B x R |x 1，则 AB()A ( ， 2B 1,2C2,2D 2,1答案： D解析： 解不等式 |x| 2，得 2x2，即 A x| 2x2，AB x| 2x1，故选 D.3xy60,2 (2013 天津，文2)设变量 x， y 满足约束条件xy20, 则目标函数 z y 2x 的最小值为 ()y30,A7B 4C1D 2答案： A3xy60,解析： 作约束条件 xy20, 所表示的可行域，如图所

2、示，zy 2x 可化为 y 2x z，z 表示直y30线在 y 轴上的截距，截距越大z越大，作直线l0：y 2x，平移 l0，当 l0 过点 A(5,3)时， z 取最小值，且为7，选 A.3 (2013 天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为 ().A 7B 6C5D 4答案： D解析： 由程序框图可知， n 1 时， S 1； n 2 时， S 1；n 3 时， S 2； n4 时， S 22，输出 n 的值为 4，故选 D.4 (2013 天津，文24)设 a， b R，则 “(a b) ·a 0”是“a b”的 ()A 充分而不必要条件B 必要而不充

3、分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件答案： A解析： 因为 a20，而 ( a b)a2 0，所以 a b0，即 a b；由 ab，a20，得到 (a b)a20可以为 0，所以 “(a b)a2 0”是 “a b”的充分而不必要条件5 (2013 天津，文 5)已知过点 P(2,2) 的直线与圆 (x 1)2 y25 相切，且与直线ax y 1 0 垂直，则 a() 1B 1C 21A D 22答案： C解析： 由题意知点 P(2,2)在圆 (x 1)2 y2 5 上，设切线的斜率为k，则 k 20 1，解得 k1，1212直线 ax y1 0 的斜率为a，其与切线垂直，所以a 1，解

4、得 a 2，故选 C.26 (2013 天津，文6)函数A1B答案： Bfxsin2x 在区间 0, 上的最小值为 ()4222CD022解析：因为 x 0, ，所以 2x, 3 ，当 2x，即 x 0 时，f(x)取得最小值2.24444427 (2013 天津，文7)已知函数 f( x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0， )上单调递增若实数a 满足f(log a) f (log 1a) 2f(1) ，则 a 的取值范围是 ()22A 1,2B 0,12.C1 , 2D (0,22答案： C解析： 因为 log 1a log2a，所以 f(log 2a) f (log 1a) f(log

5、 2a) f( log 2a) 2f(log 2 a)，原不等式变22为 2f(log 2a) 2f(1) ，即 f(log 2a) f(1)又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在 0， )上递增，所以 |log2a| 1，即 1 log2a1，解得 1 a2，故选 C.28(2013 天津，文 8) 设函数 f(x) ex x 2，g(x) ln x x2 3.若实数 a，b 满足 f(a) 0，g(b) 0，则 () A g(a) 0 f(b)B f(b) 0 g(a)C0 g(a) f(b)D f(b) g(a) 0答案： A解析： 由 f(a) ea a2 0 得 0a 1.由

6、 g(b) ln b b23 0 得 1b 2.因为 g(a) ln aa2 3 0，f( b) eb b2 0，所以 f(b) 0 g(a)，故选 A.第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共 12 小题，共 110 分二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 (2013 天津，文9)i 是虚数单位，复数 (3 i)(1 2i) _.答案： 55i解析： (3 i)(1 2i) 3 6i i 2i25 5i.10 (2013 天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为9，则正方体的棱长为2_答案：3解析： 由题意知 V球4 R

7、39， R3.设正方体的棱长为a，则3a2 2R，a 3 ，所以正方322体的棱长为3 .11(2013 天津，文11)已知抛物线 y2 8x 的准线过双曲线x2y2a2b2 =1 ( a0，b 0)的一个焦点，且双曲线2，则该双曲线的方程为_的离心率为2y21答案 x3(2,0)，即 c2，离心率 e c 2，解析： 抛物线 y2 8x 的准线为 x 2，则双曲线的一个焦点为a故 a 1，由 a2 b2 c2 得 b2 3，所以双曲线的方程为x2y21.3uuur uuur12(2013 天津，文12)在平行四边形ABCD 中， AD 1， BAD 60°，E 为 CD 的中点若

8、AC ·BE 1，则 AB 的长为 _答案： 12uuur uuur解析： 取平面的一组基底 AB， AD ，则.uuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuurAC ABAD ，BEBCCE2ABAD，uuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuur1uuuruuur1uuurAC ·BE ( AB AD )·1 ABAD | AB |2 | AD |2AB ·AD | AB |21 uuuruuur2uuur22211| AB | 1 1，解方程得 | AB |(舍去 | AB | 0)，所以线段 AB 的长为 .

9、42213 (2013 天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD 中， AB DC .过点 A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若 AB AD 5，BE 4，则弦 BD 的长为 _答案： 152解析：因为在圆内接梯形ABCD 中，AB DC ，所以 AD BC， BAD BCD 180°， ABE BCD .所以 BAD ABE 180°.又因为 AE 为圆的切线，所以 AE 2 BE·EC 4×936，故 AE 6.在 ABE 中，由余弦定理得AB 2BE2AE 21，cos ABE2AB BE81cos BAD cos(180 ° AB

10、E ) cos ABE，8.在 ABD 中， BD 2 AB2 AD 2 2AB·AD ·cosBAD 225 ，所以 BD 15.4214 (2013 天津，文1| a |14)设 a b 2，b 0，则的最小值为 _2 | a |b答案： 34解析： 因为 a b2，所以 ab 1，2ab1| a |2 | a |b2|a|时，等号成立2| a |ab| a| a2b | a |a +1 ，当且仅当b2| a |b4| a | 4 | a |b4 | a |4| a | b4 | a |当 a0 时，a+1=5，故1| a |5；4 | a |42 | a |b4当 a

11、0 时，a+1=3，1| a |3.4 | a |42 | a |b43综上可得最小值为.4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 (2013 天津，文15)(本小题满分13 分) 某产品的三个质量指标分别为x， y， z，用综合指标S x y z评价该产品的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10 件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A12A3A45AA质量指标(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)(x， y，z)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(1,2,2)(2,1,1)(2,2

12、,1)(1,1,1)(2,1,2)(x， y，z)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件 B 为“在取出的2 件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件 B 发生的概率解： (1) 计算 10 件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中 S4的有 A1，A2， A4， A5，A7， A9，共 6 件，故该样本的一等品率为6 0.6，从而可估计该批0.6.10产品的一等品率为(2)在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品的所有可能结果

13、为 A1，A2 ， A1，A4 ， A1，A5 ， A1，A ，A ，A ，A ，A ，A ，A ，A ，A ，A ，A9，A ，A ，A ，A ，A ，A ，A，A ，719242527245474957 A5， A9 ， A7， A9 ，共 15 种在该样本的一等品中，综合指标S 等于 4 的产品编号分别为A1， A2，A5，A7，则事件 B 发生的所有可能结果为 A1，A2 ， A1，A5 ， A1 ，A7 ， A2，A5 ， A2 ，A7 ， A5，A7 ，共 6 种所以 P(B)62.10516(2013 天津，文16)(本小题满分13 分 )在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的

14、边分别是a，b，c.已知 bsin A. 3csin B， a 3， cos B 2 .(1)求 b 的值；3(2)求 sin 2B 的值3解： (1) 在 ABC 中，由又 a3，故 c1.absin A，可得 bsin A asin B，又由 bsin A 3csin B，可得 a 3c，sin B由 b2 a2 c2 2accos B， cos B26 .，可得 b3(2)由 cos B2，得 sin B5 ，进而得33cos 2B 2cos2B 1145， sin 2B2sin Bcos B.99所以 sin 2B sin 2 B cos cos 2 B sin 4 53.333181

15、7 (2013 天津，文17)(本小题满分13 分 )如图，三棱柱ABCA B C中，侧棱 A A底面 ABC，且各棱1111长均相等， D ， E， F 分别为棱 AB ，BC，A1C1的中点(1)证明 EF平面 A1CD ；(2)证明平面A1CD 平面 A1ABB1；(3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值(1)证明：如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， ACA1C1，且 ACA1C1，连接 ED ，在 ABC 中，因为D， E 分别为 AB ，BC 的中点，.所以 DE 1 AC且 DEAC，2又因为 F 为 A1C1 的中点，可得 A1F DE，且 A1F DE，即四

16、边形 A1DEF 为平行四边形，所以 EF DA 1.又 EF?平面 A1CD ， DA1? 平面 A1CD ，所以 EF 平面 A1CD.(2)证明：由于底面 ABC 是正三角形， D 为 AB 的中点，故 CD AB，又由于侧棱 A1A底面 ABC ， CD? 平面 ABC，所以 A1A CD ，又 A1AAB A，因此 CD 平面 A1ABB1，而 CD ? 平面 A1CD ，所以平面A1CD 平面 A1ABB1.(3)解：在平面A1ABB 1 内，过点B 作 BG A1D 交直线 A1D 于点 G，连接 CG.由于平面A1CD 平面 A1ABB1，而直线A1D 是平面 A1CD 与平面

17、 A1ABB1 的交线，故 BG平面 A1CD.由此得 BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角设棱长为 a，可得 A15a ，D25a由 A1AD BGD，易得 BG.2在 Rt BGC 中， sin BCG BG5.BC5所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为5.5223 ，过18 (2013 天津，文 18)(本小题满分 13 分 )设椭圆 x2y2 =1 (a b 0)的左焦点为F，离心率为ab3点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为(1)求椭圆的方程；(2)设 A， B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 uuur uuur AD ·CB 8，求

18、k 的值43.3uuuruuurF 且斜率为k 的直线与椭圆交于C，D 两点若AC ·DB解： (1) 设 F(c,0)，由 c3 ，知 a3c .a3.过点 F 且与 x 轴垂直的直线为x c，代入椭圆方程有( c)2y21 ，解得 y6ba2b2，3于是 26b4 3，解得 b2 ，33又 a2 c2 b2，从而 a3 ，c 1，所以椭圆的方程为x2y23=1.2(2)设点 C(x ， y )， D( x ， y )，由 F( 1,0)得直线 CD 的方程为 y k(x 1)，1122yk x1 ,由方程组x2y21消去 y，整理得 (23k2)x2 6k2x 3k2 6 0.3

19、26k23k 2求解可得 x1 x26.2，x1x23k 23k22因为 A(uuur所以 AC3 ，0)，B(3 ，0)，uuuruuuruuur·DB AD ·CB (x13 ， y1) ·( 3 x2， y2 ) (x23 ， y2) ·( 3 x1， y1) 6 2x1x2 2y1y2 6 2x1x2 2k2(x1 1)(x2 1) 6 (22k2)x1x2 2k2(x1 x2 ) 2k22k 212 63k2 .22k 2由已知得612 8，23k 2解得 k2 .19(2013 天津，文 19)( 本小题满分3的等比数列 ann*2，14 分

20、 )已知首项为 的前 n 项和为 S ( n N) ，且 2S2S3,4S4 成等差数列(1)求数列 an 的通项公式；(2)证明 Sn113Sn( n N* )6(1)解：设等比数列 a 的公比为 q，因为 2S ， S 4S成等差数列，n23,4所以 S32S2 4S4 S3，即 S4 S3 S2 S4，可得 2a4 a3，于是 qa41a3.233n 13，所以等比数列 an 的通项公式为 an11)n 1又 a12(2n .22(2)证明 Sn112n，n21， n为奇数，1112n 12nSn11n1Sn212， n为偶数 .22n12n当 n 为奇数时， Sn1随 n 的增大而减小

21、，所以Sn1S11 =13.SnSnS1 6.当 n 为偶数时， Sn1随 n 的增大而减小，所以 Sn1S21 =25.SnSnS2 12故对于 n N* ，有 Sn113Sn.6x3a，x，5 x020 (2013 天津，文 20)(本小题满分 14 分 )设 a 2,0 ，已知函数 fx 3a32，x2xaxx 0.(1)证明 f( x)在区间 ( 1,1)内单调递减，在区间 (1， )内单调递增；1(2)设曲线 y f(x)在点 Pi(xi， f( xi)( i 1,2,3) 处的切线相互平行，且x1x2x3 0证.明 x1x2x3.证明： (1) 设函数 f1(x) x3 (a 5)x(x0)， f2(x)