一元二次方程压轴题(含答案).

1、一元二次方程1（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程2有一个实数根为2x pxq 1 0（1）用含 p 的代数式表示q；2px q 与 x 轴有两个交点；（2）求证：抛物线 y1 x （3）设抛物线 y1x2pxq 的顶点为 M，与 y 轴的交点为E，抛物线 y2 x2pxq 1 的 顶点为 N，与 y 轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于2，求 p 的值22的两个实数根分别为、，试确定实数 m 的取值范围，2设关于 x 的方程 x 5xm 1 0使| | | | 6 成立3（湖南怀化）已知x1 ，x2 是一元二次方程( a6) x22axa 0 的两个实数根（1）是否存在实数a，使

2、 x1 x1x2 4x2 成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使 ( x1 1)(x2 1) 为负整数的实数a 的整数值4（江苏模拟）已知关于 x 的方程 x2( a b1) x a 0（b 0）有两个实数根x1、 x2，且x1 x2（1）求证： x1 1 x21（2）若点A（ 1， 2）， B（ 2 ， 1），C（ 1，1），点 P（ x1， x2）在 ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使 a b 5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由42 4xx x125（福建模拟）已知方程组y有两个实数解和x x，且 x1x2 0， x1 x22xy y1

3、y y2yb（1）求 b 的取值范围；1 1（ 2）否存在实数 b，使得 x1 x2 1？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由6（成都某校自主招生）已知 a， b，c 为实数，且满足 ab c0，abc 8，求 c 的取值范围x y 3a1，求 xy 的取值范围7（四川某校自主招生）已知实数x、 y 满足 2 22x y 4a 2a 28（福建某校自主招生）已知方程 ( ax 1) 2 a2( 1x2) （ a 1）的两个实数根 x1、x2 满足 x1 x2，求证：1 x1 0x2 1（答案）1（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程2有一个实数根为2x pxq 1 0（1）用含 p 的

4、代数式表示q；2px q 与 x 轴有两个交点；（2）求证：抛物线 y1 x （3）设抛物线 y1x2pxq 的顶点为 M，与 y 轴的交点为E，抛物线 y2 x2pxq 1 的 顶点为 N，与 y 轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于2，求 p 的值2解：（ 1）关于x 的一元二次方程x pxq 10 有一个实数根为2 2 2 2pq 10，整理得： q 2p5（ 2） p2 4q p 24( 2p 5) p 2 8p20 ( p4) 2 4无论 p 取任何实数，都有( p 4) 2 02无论 p 取任何实数，都有( p 4) 4 0， 0抛物线 y1 x2 pxq 与 x 轴有两

5、个交点（3）抛物线y1x2 px q 与抛物线 y2 x2 px q1 的对称轴相同，yy2Fy1E都为直线 x p，且开口大小相同，抛物线2可由抛物y2 x pxq 12线 y1 x2 px q 沿 y 轴方向向上平移一个单位得到 EF MN ， EF MN 1四边形 FEMN 是平行四边形NxM由题意得S 四边形 FEMN EF | p | 2，即 | p | 222 p 42（安徽某校自主招生）设关于x 的方程 x25x m2 1 0 的两个实数根分别为 、 ，试确定实数 m 的取值范围，使 | | | | 6 成立解： 5 24( m2 1) 4m2 21不论 m 取何值，方程x2m2

6、1 0都有两个不相等的实根5x222x5xm1 0， 5， 1m222| | | | 6， 2| | 36，即 ( )2 2| |36 25 2( 1 m2) 2| 1 m2| 36当 1 m2 0，即 1 m 1 时， 25 36 成立 1m 1当 1 m2 0，即 m 1 或 m 1 时，得 25 4( 1m2) 36解得 15 m152215 m 1 或 1m 1522综合、得：215 m 2153（湖南怀化）已知x1 ，x2 是一元二次方程( a 6) x22ax a 0 的两个实数根（1）是否存在实数a，使 x1 x1x2 4x2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由

7、；（2）求使 ( x1 1)(x2 1) 为负整数的实数a 的整数值22axa 0 的两个实数根解：（ 1） x1，x2 是一元二次方程 ( a 6) xa 6 0a 62 4a( a 6) 0即 a 04a假设存在实数a 使 x1 x1x2 4 x2 成立，则4 ( x1x2 ) x1x2 04 2aa 0，得 a 24a 6 a 6 a 24 满足 a 0 且 a 6存在实数a 24，使 x1 x1x2 4 x2 成立（2） ( x11)(x2 1) ( x1 x2) x1x2 12aa1 a6a6aa6要 使 ( x11)(x2 1) 为负整数，则只需a 为 7， 8， 9， 122a

8、0（b 0）有两个实数根x1、 x2，且4（江苏模拟）已知关于 x 的方程 x( a b1) xx1 x2（1）求证： x1 1 x21（2）若点A（ 1， 2）， B（ 2 ， 1），C（ 1，1），点 P（ x1， x2）在 ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使 ab5P 的坐标；若不存在，请说明理由4 ？若存在，求出点解：（ 1）由根与系数的关系得：x1 x2 ab 1， x1x2 a a x1x2， b x1 x2x1x2 1 b 0， x1x2 x1x2 10 1 x1 x2x1 x2 0 ( 1 x1)( 1 x2) 0又 x1 x2， 1x10， 1x2 0即 x1

9、1， x2 1x11 x259（2） x1 x2 a b1， ab4 ， x1 x24当点 P（ x1， x2）在 BC 边上运动时1则 x1 1， x2 1y2A2x1 9x2 915 1444故在 BC 边上不存在满足条件的点P当点 P（ x1， x2）在 AC 边上运动时则 x1 1， 1 x2 21BCO1x595取 x2 4 ，则 x1 x24 ，即 ab 45故在 AC 边上存在满足条件的点P（1，4）当点 P（ x1， x2）在 AB 边上运动时1则 2 x1 1，1 x2 2，易知 x2 2x1x1x2 9 ， x1 3， x2 3442又 1332 4 1，1 2 2故在 A

10、B 边上存在满足条件的点（334，2）综上所述，当点P（ x1， x2）在 ABC 的三条边上运动时，在BC 边上没有满足条件的点，而在 AC、 AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1， 5）和（3，3）4425（福建模拟）已知方程组y2 4xx x1x x2有两个实数解和，且 x1x2 0， x1 x2y 2xby y1y y2（1）求 b 的取值范围；1 1（ 2）否存在实数 b，使得 x1 x2 1？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由解：（ 1）由已知得4x ( 2xb) 2，整理得4x2 ( 4b4) x b 2 0 x1x2， 0，即 ( 4b4) 2 16b 2 0，

11、解得 b 1 22又 x0， b 0， b 01x24综上所述， b12 且 b 02 x4( 1b)（2） x1 x2 1 b， x1x2 b ， 1 1 2 x121得24x1x2x1x2bb4b4 0，解得 b 2 221 2222(2 1) 2 ， b 2 22 不合题意，舍去 b 2 2 26（成都某校自主招生）已知a， b，c 为实数，且满足ab c0，abc 8，求 c 的取值范围解： a bc0， abc 8， a， b， c 都不为零，且abc， ab c8 a， b 是方程 x2 cx 8 0 的两个实数根 c c2 4 8c 02 8当 c 0 时， c 4 c 0 恒成

12、立当 c 0 时，得 c332， c 23 4故 c 的取值范围是c0 或 c 23 4x y 3a17（四川某校自主招生）已知实数x、 y 满足x，求 xy 的取值范围2y 2 4a 2 2a 2222解： ( xy) 0， x y 2xy 2( x2 y2 ) ( x y) 2 2( 4a 2 2a 2) ( 3a 1) 2即 a2 2a3 0，解得 1 a 3 xy 1 ( x y) 2 ( x2 y2) 2 12 ( 3a 1) ( 4a 2a 2) 1 ( 5a2 4a1)2 5 ( a 2 ) 2 9251022当 a 29；当 a 3 时有最大值 165 时， xy 有最小值10 9 x 16y108（福建某校自主招生）已知方程( ax 1)2 a2( 1x2) （ a 1）的两个实数根x1、x2 满足 x1x2，求证： 1 x1 0x2 1证明：将原