高中数学选修1-1第三章课件3.3.4生活中的优化问题举例人教A版

1、、如何判断函数函数的单调性?设函数y=f（x）在 某个区间内可导,f# (x)>0 f(x)为增函数f'(x)<0f(x)为减函数1、如何求函数的极值与最值?求函数极值的步 般（D确定定义域（2）求导数（x）（3）求（x）=0的根（4）列表（5）判断求心）在闭区间国b 上的最值的步骤：求取）在区间（a，b）内极值； 将y=f（x）的各极值与爼）、Kb）比较，从而确定函数的最值。笛活彳经彳遇到求利润眾丈. 用蚪眾塔.数率眾鳥尊问龜，这 些问 <<<<<）优祀问聂,通过谕 面的拷习，我们扣道，导超是求 翁範最丈（小丿值的吋力工具， 凉节我们运用导数

2、，解决一也或 活$的优祀问4L例1:海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图341所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？图341I1rI II11111111分析：已知版心的面 积，你能否设出版心的 高，求出版心的宽，处 而列出海报四周的面晦 来？, J128解:设版心的高为兀g则版心的宽为 白面积为m,此时四周空oO你还有其他解法 吗？例如用基本 不等式行不2 /于是宽为 "二X当jv s（0,16）0寸，s （乂）< 0； 当

3、乂 e （16,+oo）B寸, s （x） > 0.因此，=16是函数S（力）的极小值点，也是最小值点所以当 版心高为16dm,宽为时8dm,能使四周空白面积最小。例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则(1) 对消费者而言，选择哪一种更合算呢?(2) 对制造商而言，哪一种的利润更大？规格(L)21.250.6价格(元)5.14.52.5某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8才2分，其中厂是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售加啲饮料，制造商可获利02分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮

4、料的利润何时最大，何时最小呢？r3解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是0.8tt( - r2) (0 < r < 6)令r(r) = 0.87r(r2 - 2r) = 0,得r = 2r(0, 2)fS减函数2(2, 60+-1.07k增函数/从图中可以看岀：1、当半径为2c加时，利润最小，这时/vO,2、当半径为6c加时，利润最大。下文请看课本P111伤（3怡删歛秫狀锻（?）側就軸辅刪（3）则帖【韻删下文请看课本P111忌ffifsa墾1薔liffl呈解：存储量=磁道数X每磁道的比特数设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽 度必须大于m,且最外面的磁道不存储人行信

5、息，所以 磁道最多可达 匕，又由于每条磁道上的比特数相 m同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即 2 7TK每条磁道上的比特数可达到一 .所以，磁道总存储量m n mn(1)它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可 以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求/(x)的最大值计算f(J = O,f (厂)一(R厂)，rrvn令f （厂）=0解得Rr =2当r < 时，/ (r) > 0;当厂理时，/ (r)< 0, 因此，当厂=£时，磁道具有最大的存储量，最大 存储量为由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的 基本思路是：上述解决优化问题的过程是一

6、个典型的数学建模过 程。X图 3-13Ill多少时，箱子的容积最大?最大容积是多少?1 :在边长为60cm的正方形铁皮 的四角切去相等的正方形，再把 它的边沿虚线折起（如图），做成一 个无盖的方底箱子，箱底边长为 解:设箱底边长为X,则箱高h=（60x）/2 箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).Vx) = 60x-x2 = 0，解得 x=0(舍去),x=40.且 V(40)= 16000. 2由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子 的容积很小，因此,16000是最大值.答:当x=40cm时，箱子容积最尢最大容积16000cm3.2:圆

7、柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应 怎样选取，才能使所用的材料最省？解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2nrh+2nr2 由V=nr2h,得h =厶厕V岔 2VS(r) = 2r +2妙2 = 2卄.7irr7VlyV令SV) = -+4r = 0，解得厂=彳看，从而力=p，即 S由于S (r)只有一个极值，所以它是最小值.答:当罐的高与底直径相等时，所用的材料最省.=1练习3如图，在二次函数 f(x)=4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这个矩形的 最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2),则 A(x, 4x-x2).从而 |A

8、B|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 ABCD 的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).2/52 /3Sr(x) = 6x2-24x + 16.令S'=0,潯严2+晋，兀2 =2-十. 皿(0,2),所以当“2-宇时,S(叽严呼2斤 彳932 /3因此当点B为(2-冷-,0)时，矩形的最大面积是；练习4:已知x,y为正实数，且x22x+4y2=0,求x y的最大值.解:由 x2-2x+4y2=0 得:(x-1)2+4y2=1.设x = l + cos0=|sin6>,由X,y为正实数得:0 V 0 V龙1 2/. x

9、y = (l + cos&)sin&2设/*(0)=丄(l + cos&)sin0 1 2 1 广(0) = sin? 0+(1+cos0) cos0 = (cos0+l)(cos 一 -).2 21 -jr令/'(&) = O5cos 0 = 一1或 cos 9 = 一又 02 /3/(f)=誓，又 f(O)=f(TT)=O, /. /(0)_ =誉3 oo故当X=pJ=y时,(野)唤二¥i i2练习5：证明不等式：lnx + -4(x-l)2>l + (l-x)3(x>0).x 23证：设 f(x)inx + 丄一+(兀一1)2 + ：(兀一1)'(兀>0)XS贝 0/,(x) = i-4-(x-l) + 2(x-l)2=(x-l)3.,X XX令广(兀)=0，结合X>0得X=1而Ovx<d时/<o；x&g