中考圆知识点总结复习.

1、初中圆复习一、圆的概念集合形式的概念：1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是： 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都

2、相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr2、点在圆上dr3、点在圆外dr点 C 在圆内；点 B 在圆上；点 A 在圆外；AdrOBd三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；Crd=rrdd四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr ；外切（图 2）有一个交点dRr ；相交（图 3）有两个交点Rrd R r ；内切（图 4）有一个交点dRr ；内含（图 5）无交点dRr ；dddRrRrRr图 1图 2图 3ddrRrR图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分

3、弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3个结论，即： AB是直径 AB CD CE DE 弧 BC 弧 BD 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O 中， AB CDCD弧 AC 弧BDOAB六、圆心角定理AOECDB圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦

4、心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE ； ABDE ；OCOF； 弧BA弧BDEFODACB七、圆周角定理C1、圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角AOB2ACBBOA2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角CDDCBOA推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 O

5、 中， AB 是直径或C90C90 AB是直径CBAO推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或C90CBAO注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O 中，四边 ABCD 是内接四边形 CBAD 180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理CBD1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MNOA

6、 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O的切线AEO2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 M A 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理B切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。PO即： PA 、 PB 是的两条切线 PA PB ； PO平分BPAA十一、圆幂定理1、相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相

7、交于点 P ，BOPA PBPC PDP推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径CC所成的两条线段的比例中项。即：在 O 中，直径 AB CD ，BEAO CE2AEBED2、切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线A PA2PC PBD3、割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条POC割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图） 。即：在 O 中， PB 、 PE 是割线PC PBPD PENDAEB十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公

8、共弦。A如图： O1O2 垂直平分 AB 。O1O2即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点B O1O2 垂直平分 AB十三、圆的公切线AB两圆公切线长的计算公式：C（1）公切线长： Rt O1O2C 中， AB2CO 2O O 2CO2；O1O21122（2）外公切线长： CO2 是半径之差；内公切线长： CO2 是半径之和十四、 圆内正多边形的计算（1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD 中进行： OD : BD : OB1: 3:2；CBCOOOBDAAEDBA（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行， OE : AE : OA1:1:

9、2 ：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行， AB : OB : OA1:3 : 2 .A十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ln R ；OSl180（2）扇形面积公式：n R21BSlR3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图ADD1S表 S侧2S底 = 2 rh 2 r 2母线长B底面圆周长C1C（2）圆柱的体积： Vr 2hB13、圆锥侧面展开图（1） S表 S侧 S底 =Rrr 2O（2）圆锥的体积： V1r 2hR3CArB十六、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是

10、三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2） ABC中， C=90°， AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= abc。2（3）S =ra bc，其中 a， b， c 是边长， r 是内切圆的半径。ABC 1()AD2（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。O如图， BC切 O于点 B，AB为弦， ABC叫弦切角， ABC=D。CB练习题1 若 O 的半径为4cm，点 A 到圆心 O 的距离为3cm，那么点A 与 O 的位置关系是()A 点 A 在圆内B 点 A 在圆上c点 A 在圆外D 不能确定2 已知 O 的半径为5, 弦 AB 的弦心距

11、为3, 则 AB 的长是3 如图， MN 是半径为1 的 O 的直径，点A 在 O 上， AMN=30 °， B 为 AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则求PA+PB 的最小值ABBoMNPOAECD 图2_4 如图 2，已知 BD 是 O 的直径， O 的弦 AC BD 于点 E，若 AOD=60°，则 DBC 的度数为5与直线L 相切于已知点的圆的圆心的轨迹是_6已知直角三角形的两直角边长分别为5 和 12，则它的外接圆半径R=_，内切圆半径r=_ 7 O 的半径为 6， O 的一条弦 AB 为 63 ，以 3 为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是8PA、

12、 PB 是 O 的切线，切点是 A 、B， APB=50°，过 A 作 O 直径 AC，连接 CB，则 PBC =_9如图 4， AB 是 O 的直径，弦AC、 BD 相交于 P，则 CD AB 等于A sinBPCB cosBPCCtanBPCD cotBPC图4图510如图 5，点 P 为弦 AB 上一点，连结OP，过 PC 作 PCOP， PC 交 O 于 C，若 AP=4， PB=2，则PC 的长是A2B2C22D311圆的最大的弦长为12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么A d<6 cmB 6 cm<d<12 cmCd 6 cmD d&

13、gt;12 cm12如图 6，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，P 为切点，设AB=12 ，则两圆构成圆环面积为_图6图713如图 7，PE 是 O 的切线， E 为切点，PAB、PCD 是割线，AB=35，CD =50，ACDB=1 2，则 PA=_ 14如图8， AB 是 O 的直径，点D 在 AB 的延长线上，且BD =OB ，点 C 在 O 上， CAB =30 °，求证： DC 是 O 的切线图 815.如图， AB 既是 C 的切线也是 D 的切线， C 与 D 相外切， C 的半径 r=2 ， D 的半径 R=6，求四边形 ABCD 的面积。D

14、CBA16如图10， BC 是 O 的直径， A 是弦 BD 延长线上一点，切线(1) AC 是 O 的切线 (2) 若 AD DB=3 2，AC=15 ，求 ODE平分AC于的直径 (12 分 )E，求证：图1017如图11， AB是 O的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD AB，垂足为E，且PC2=PE· PO (1)求证： PC 是 O 的切线； (2)若 OEEA =1 2， PA=6，求 O 的半径； (3) 求 sinPCA 的值 (12 分)图1118如图，O 的两条割线AB、 AC分别交圆O 于D、 B、 E、 C，弦DF/AC交BC于C（ 1）求证：AC FGB

15、C CG ；（ 2）若 CF AE求证： ABC 为等腰三角形BDGF·OAEC19.如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB 与点 E，点 P 在 O 上， 1= C，（ 1）求证： CB PD；（ 2）若 BC=3， sinP= 3 ，求 O 的直径。520如图， ABC 内接于 O， AB 是 O 的直径， PA 是过 A 点的直线，PAC B（ l）求证： PA 是 O 的切线；（ 2）如果弦 CD 交 AB 于 E， CD 的延长线交PCPA 于 F， AC 8， CE： ED 6： 5， AE： EB 2： 3，求 AB 的长和 ECB 的正切值AE BODF21如图，

16、在Rt ABC 中， B 90°， A 的平分线交BC 于点 D ， E 为 AB 上的一点， DE DC ，以 D为圆心， DB 长为半径作 D ，A求证：（ l ）AC 是 D 的切线；E（ 2） AB EB ACBDC22如图， AB 是 O 的直径，以OA 为直径的O1 ；与 O 的弦 AC 相交于 D ， DE OC，垂足为 E（ l）求证： AD DC ；（ 2）求证： DE 是 O1 的切线；（ 3）如果 OE EC，请判断四边形 O1 OED 是什么四边形，并证明你的结论CDAEBOO1考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准

17、确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系 .1. 运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例 1】 已知：如图所示，在 ABO中， AOB=90°， B=25°，以 O为圆心， OA长为半径的圆交 AB于 D，求弧 AD的度数 .【例 2】 如图， A、B、C 是 O上的三点， AOC=100°，则 ABC的度数为 （）.30 °.45 °.50 ° .60°2. 利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系【例 3】 已知 O的半径为3cm， A 为线段 OM的中点，当OA满足：（

18、1）当 OA=1cm时，点 M与 O的位置关系是.（ 2）当 OA=1.5cm时，点 M与 O的位置关系是.（ 3）当 OA=3cm时，点 M与 O的位置关系是.【例 4】 O的半径为 4，圆心 O到直线 l 的距离为3，则直线l 与 O的位置关系是（） .相交.相切.相离.无法确定【例 5】 两圆的半径分别为3cm 和 4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是_.3. 正多边形和圆的有关计算【例 6】 已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.4. 运用弧长及扇形面积公式进行有关计算【例 7】 如图，矩形ABCD中， BC=2，DC=4，以 AB 为直径的半圆O与 D

19、C相切于点E，则阴影部分的面积为（结果保留） .5. 运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算【例8】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是.考点二：圆中计算与证明的常见类型1. 利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.【例 1】 在 O中，弦 CD与直径 AB相交于点P，夹角为 30°，且分直径为1 5 两部分， AB=6，则弦 CD的长为.2.4.4.22. 利用“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，

20、在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.【例 2】 如图，在 O的内接 ABC中， CD是 AB边上的高，求证：ACD=OCB.3. 利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.【例 3】 如图，四边形 ABCD为圆内接四边形， E 为 DA延长线上一点，若 C 45°，AB 2 ，则点 B 到 AE的距离为 _.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（ 1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（ 2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（ 3）

21、经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例 4】 如图， O的直径 AB=4， ABC=30°， BC=4 3 ， D是线段 BC的中点 .（ 1）试判断点 D 与 O的位置关系，并说明理由 .（ 2）过点 D作 DEAC，垂足为点 E，求证：直线 DE是 O的切线 .【例 5】 如图，已知 O为正方形 ABCD对角线上一点，以 O为圆心， OA的长为半径的 O与 BC相切于 M，与 AB、 AD分别相交于 E、 F，求证 CD与 O相切 .【例 6】 如图，半圆 O 为 ABC的外接半圆， AC为直径， D 为劣弧 上一动点， P 在 CB的延长线上，且有 BAP= B

22、DA.求证： AP是半圆 O的切线 .【课堂巩固练习】一 .选择题：1. O的半径为 R，点 P 到圆心 O的距离为 d，并且 d R，则 P 点A.在 O内或圆周上B.在 O外C.在圆周上D.在 O外或圆周上2.由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5，最小距离为 1，则圆的半径为A 、2或3B、 3C、 4D、2 或43.如图， O中，ABDC是圆内接四边形， BOC=110°，则 BDC的度数是A.110 °B.70 °C.55 °D.125 °4.在 O中，弦 AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB 的度数等于A.30 ° B.1

23、20 °C.150 °D.60 °5.直线上有一点到圆心O的距离等于 O的半径，则直线与 O的位置关系是、相离、相切、相切或相交、相交6、如图，切O于，交 O于点、A，若 PA 5， PB B，则的长是、10、5、52、53OP7如图，某城市公园的雕塑是由3 个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为BCA 23B.33C.22 D.3222228、已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x2 17x+35=0 的两根， 则两圆有条切线。A、 1条B、2条 C 、3条 D 、4条9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm，则梯形的腰长为、10、如图， O1 和 O2 相交于 A、 B 两点，且A O1、A O2 分别是两圆的切线，A是切点，若O1 的半径 r=3 ， O2 的半径 R=4，则公共弦A