(完整版)勾股定理的逆定理_习题训练(含答案)

1、4Education intelligently快乐学习 健康成长启智教育细节决定未来-1 -勾股定理的逆定理、基础巩固1满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 : 2 : 3B.三边长的平方之比为 1 : 2 : 3C.三边长之比为 3 : 4 : 5D.三内角之比为 3 : 4 : 52如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD , AD / BC ,斜腰DC的长为10 cm, / D=120°则该零件另一腰AB的长是cm （结果不取近似值）A 1)图 18 2-4A FD图 18 - 2-6S1、S2、S3,且 S1=4, S2=8，则

2、3如图18-2-5,以Rt ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为AB的长为.14如图18-2-6,已知正方形 ABCD的边长为4, E为AB中点，F为AD上的一点，且 AF= AD，试4判断 EFC的形状5一个零件的形状如图 18-2- 7,按规定这个零件中/ A与/ BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4 , AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗?图 18-2- 76已知 ABC的三边分别为 k2- 1, 2k, k2+1 （ k> 1）,求证： ABC是直角三角形Education intelligently快乐学习 健康成长启智

3、教育Education intelligently快乐学习健康成长、综合应用7已知a、b、c是Rt ABC的三 边长， AiBiCi的三边长分别是 2a、2b、2c,那么 AiBiCi是直角三角形吗？为什么？8已知：如图i8- 2-8，在 ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=ADBD.求证： ABC是直角三角形细节决定未来-3 -图 i8 2-89如图i8-2 - 9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 A ( 3, i), B (2, 4), OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论 iO.阅读下列解题过程：已知a、b、c ABC的三边，且满足a2c2- b2c2=a4

4、- b4,试判断 ABC的形状解：/ a2c2- b2c2=a4 b4, (A) / c2(a2- b2)=(a2+b2)(a2- b2), (B) /. c2=a2+b2, (C).A ABC 是直角三角形 问：上述解题"过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 ;错误的原因是 r； 本题的正确结论是 ii已知：在 ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c,满足a2+b2+c2+338=i0a+24b+26c试判断 ABC的形状启智教育12.已知：如图 18-2 10,四边形 ABCD , AD / BC , AB=4 , BC=6, CD=5 , AD=3.

5、求：四边形 ABCD的面积.图 18 2 10启智教育Education intelligently快乐学习 健康成长参考答案一、基础巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2解：过D点作DE / AB交BC于E,则 DEC是直角三角形四边形ABED是矩形， AB=DE./ D=120，/ CDE=30 .又在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半， CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= 102

6、 52 5、3 cm.- AB= . 102 525.3 cm.3. 思路分析： 因为 ABC是Rt ，所以 BC2+AC2=AB2,即S+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB 2,所以AB= . S12 2 3.答案：2.34. 思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解： E 为 AB 中点， BE=2.- CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. ce2+ef2=cf2, EFC是以/ CEF为直角的直角三角形.5. 分析：要检验这个零件是否符合要求

7、，只要判断ADB和厶DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在 ABD 中，AB2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2,所以 ABD 为直角三角形，/ A =90°.在厶BDC中,BD2+DC 2=52+122=25+144=169=13 2=BC2.所以 BDC是直角三角形，/ CDB =90 .细节决定未来-5 -启智教育Education intelligently快乐E学习健康成长因此这个零件符合要求6思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可证明： k2+i>k2 1,k2+i 2k=(k - 1)2&g

8、t;0,即 k2+1>2k ,二 k2+1 是最长边. (k2 1)2+(2k )2=k4 2k2+i+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2, ABC是直角三角形.二、综合应用7思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形(例2已证).8思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可证明： ac2=ad2+cd2, bc2=cd2+bd2, AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD - BD+BD 2=(AD+BD ) 2=AB 2. ABC是直角三角形.9思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、

9、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 OAB是否是直角三角形即可.解： OA2=OAi2+AiA2=32+12=10,OB2=OB i2+B iB2=22+42=20,AB 2=AC 2+BC2=12+32=10,- oa2+ab 2=ob2 oab是以OB为斜边的等腰直角三角形10. 思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b这种可能，当a=b时厶ABC是等腰三角形：厶ABC是等腰三角形或 直角三角形.11. 思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为

10、0,则都为0; (3)已知a、b、c,利用 勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：由已知可得 a2 10a+25+b2 24b+144+c 2 26c+169=0,配方并化简得,(a 5)2+(b 12)2+(c 13)2=0. (a 5)20,(- 12)20,(- 13)2 为.细节决定未来-7 -启智教育Education intelligently快乐学习 健康成长a 5=0,b 12=0,c 13=0. 解得 a=5,b=12,c=13.又 a2+b2=169=c2, ABC是直角三角形.12. 思路分析：(1 )作DE / AB，连结BD，则可以证明 ABD EDB (ASA );(2)DE=AB=4 , BE=AD=3 , EC=EB =3; (3)在 DEC 中，3、4、5 为勾股数， DEC 为直角三角形,DE丄BC ; (4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解解：作 DE / AB，连结BD，则可以证明 ABDEDB (ASA ), DE=AB=4 , BE=AD=3./ BC=6, EC=EB=3.T DE2+CE2=32+42=