中考数学一轮复习 专题练习9 圆2 浙教版

1、圆 （2） 班级 姓名 学号 一、选择题1.已知两圆的半径分别为和（其中t3），圆心距为2t，则两圆的位置关系是（ ）A相交 B相离 C外切 D内切2.已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（）A2 B4 C6 D83.已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于（ ）A B C D4.相交两圆的公共弦长为16cm，若两圆的半径长分别为10cm和17cm，则这两圆的圆心距为( )A. 7cm B. 16cm或7cm C. 21cm或9cm D. 27cm5.已知，如图与的度数之差为20°，弦AB与CD

2、交于点E，CEB=60°，则CAB等于（ ）A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°6.如图是一块ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（） A cm2 B 2cm2 C 4cm2 D 8cm27.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为O的直径，弦ABCD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( ) A12.5寸 B13寸 C25寸

3、D26寸8.如图，三个半径为的圆两两外切，且ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么ABC的周长是（ ）A12+6B12+12C18+12D18+69.如图，已知ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M对于如下五个结论：FMC=45°；AE+AF=AB； ；2BM2=BEBA；四边形AEMF为矩形其中正确结论的个数是（ ）A2个 B3个 C4个 D5个10.如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3

4、的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A BCD二、填空题11.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则C= 度12.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为 13.如图，在ABC中，已知ACB=130°，BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 14.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 m

5、m15. 如图，边长为4的正方形ABCD内接于O，点E是AB上的一动点（不与A、B重合），点F是BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且EOF=90°，有下列结论：AE=BF； OGH是等腰直角三角形；四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；GBH周长的最小值为. 其中正确的是_.（把你认为正确结论的序号都填上）. 三、解答题16.如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O于点E(1) 求证：AC平分DAB；(2) 连接BE交AC于点F，若cosCAD，求的值17.如图，在ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，ABDAC

6、B. (1)求证：AB是圆的切线； (2)若点E是BC上一点，已知BE4 ,tanAEB，ABBC23，求圆的直径18.如图，在RtABC中，ACB=90°，BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆（1）求证：AB为O的切线；（2）如果tanCAO=，求cosB的值19.如图，AB是O的直径，AD是O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分FAB交O于点C，过点C作CEDF，垂足为点E（1）求证：CE是O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求O的半径20.如图，CD是O的弦，AB是直径，且CDAB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长

7、线于E（1）求证：DA平分CDO；（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：=3.1， =1.4， =1.7）21.如图1，以ABC的边AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且EDAC（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，C=75°，CD=2，求O的半径和BF的长22.如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交O于点F，连接AE、DE、DF（1）证明：E=C；（2）若E=55°，求BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，

8、cosB=，E是的中点，求EGED的值23.如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，ABC=60°，AB=6，O是射线BD上一点，O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M过M作EFBD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上（1）求证：BO=2OM（2）设EFHE，当矩形EFGH的面积为24时，求O的半径（3）当HE或HG与O相切时，求出所有满足条件的BO的长24.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过

9、点P作PQBD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0t）（1）如图1，连接DQ平分BDC时，t的值为 ；（2）如图2，连接CM，若CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；如图3，在运动过程中，当QM与O相切时，求t的值；并判断此时PM与O是否也相切？说明理由答案详解一、选择题【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆锥的母线的长

10、度）求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2r解出r的值即可【解答】解：设圆锥的底面半径为r圆锥的侧面展开扇形的半径为12，它的侧面展开图的圆心角是120°，弧长=8，即圆锥底面的周长是8，8=2r，解得，r=4，底面圆的直径为8故选D3.已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于（ ）A B C D【答案】A。【考点】正多边形和圆。【分析】利用正三角形的边长与它的内切圆和外接圆的半径之间的关系求解：等边三角形的一边上的高的倍为它的内切圆的半径，等边三角形的一边上的高的倍为它的外接圆的半径，而高又为边长的倍。a，r，R（为等边三

11、角形的一边上的高）。r：a：R=。故选A。4.相交两圆的公共弦长为16cm，若两圆的半径长分别为10cm和17cm，则这两圆的圆心距为( )A. 7cm B. 16cm或7cm C. 21cm或9cm D. 27cm【答案】C。【考点】圆与圆的位置关系，弦径定理，勾股定理。【分析】设O1的半径为r=10，2的半径为R=17，公共弦为AB，两圆的圆心的连线与公共弦的交点为C；那么根据弦径定理，AC=BC=8，且出现两个直角三角形：O1AC和O2AC。利用勾股定理可求出O1C和O2C，就可求出O1O2： 在RtO1AC中，O1C=， 同理，在RtO2AC中，O2C=6。 O1O2=O1C+O2C=

12、15+6=21（cm）， 或O1O2=O2C-O1C=15-6=9（cm）。故选C。5.已知，如图与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，CEB=60°，则CAB等于（ ）A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°【答案】D。【考点】圆周角定理，三角形的外角性质。【分析】根据圆周角定理，可得：AC=10°；根据三角形外角的性质，可得CEB=A+C=60°；联立两式可求得A的度数：弧BC与弧AD的度数之差为20°，两弧所对圆心角相差20°。AC=10°。CEB是AEC的外角，A

13、+C=CEB=60°，2A=70°，即A=35°。故选D。6.如图是一块ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（） A cm2 B 2cm2 C 4cm2 D 8cm2【解答】 解：如图1所示，SABC=r（AB+BC+AC）=21r，过点A作ADBC交BC的延长线于点D，如图2，设CD=x，由勾股定理得：在RtABD中，AD2=AB2BD2=400（7+x）2，在RtACD中，AD2=AC2x2=225x2，400（7+x）2=225x2，解得：x=9，AD=12，SABC=×7&#

14、215;12=42，21r=42，r=2，该圆的最大面积为：S=r2=22=4（cm2），7.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为O的直径，弦ABCD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( ) A12.5寸 B13寸 C25寸 D26寸【解答】 解：根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知 (寸)，在RtAOE中，即 ，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.8.如图，三个半径为的圆两两外切，且ABC的每一边都与其中的两个圆相切，

15、那么ABC的周长是（ ）A12+6B12+12C18+12D18+6【解答】 解：如图，连接AO、OP、PB、OE、PF、ON；根据相切两圆性质得出OP=PN=ON=2，ONP是等边三角形，OPN=PON=ONP=60°，根据切线性质得出OEAB，PFAB，OEPF，OE=PF，四边形OEFP是矩形，OPAB，同理PNBC，ONAC，则OPN=ABC=60°，PON=BAC=60°根据切线长定理ABP=ABC=30°，EAO=30°，在RtAOE中，EAO=30°，OE=；则AE=3，同理可得BF=3；由于O、P外切，所以OP=2；故

16、AB=AE+EF+BF=6+2，根据切线长定理可得，AB=BC=AC，因此ABC的周长为：18+6故选：D9.如图，已知ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M对于如下五个结论：FMC=45°；AE+AF=AB； ；2BM2=BEBA；四边形AEMF为矩形其中正确结论的个数是（ ）A2个 B3个 C4个 D5个【答案】C。【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的性质。【分析】连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得ADBC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，

17、得四边形AEMF是矩形。根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得FMC=45°，正确；根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；连接FD，可以证明EDF是等腰直角三角形，则中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；正确。所以共4个正确。故选C。10.如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2

18、C2D2E2F2的各边相切，按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A BCD【解答】 解：连结OE1，OD1，OD2，如图，六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，E1OD1=60°，E1OD1为等边三角形，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，OD2E1D1，OD2=E1D1=×2，正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=故选D二、

19、填空题11.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则C= 度【考点】切线的性质；平行四边形的性质【分析】连接OD，只要证明AOD是等腰直角三角形即可推出A=45°，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题【解答】解；连接ODCD是O切线，ODCD，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABOD，AOD=90°，OA=OD，A=ADO=45°，C=A=45°故答案为4512.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为 【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质【分析】设圆

20、的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积（扇形BOCE的面积BOC的面积）进行计算即可【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为x，则OF=x5，由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，即x2=（x5）2+（5）2，解得，x=5，则BOF=60°，BOC=120°，则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积（扇形BOCE的面积BOC的面积）=10×5+×10×5=75，故答案为：7513.如图，在ABC中，已知ACB=130°，BAC=20

21、6;，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为2【分析】如图，作CEAB于E，在RTBCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD【解答】解：如图，作CEAB于EB=180°AACB=180°20°130°=30°，在RTBCE中，CEB=90°，B=30°，BC=2，CE=BC=1，BE=CE=，CEBD，DE=EB，BD=2EB=2故答案为214.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm【分析】根据已知条

22、件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论【解答】解：如图，设圆心为O，连接AO，CO，直线l是它的对称轴，CM=30，AN=40，CM2+OM2=AN2+ON2，302+OM2=402+（70OM）2，解得：OM=40，OC=50，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm故答案为：5015. 如图，边长为4的正方形ABCD内接于O，点E是AB上的一动点（不与A、B重合），点F是BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且EOF=90°，有下列结论：AE=BF； OGH是等腰直角三角形；四边形OGBH的面积随着点E位置

23、的变化而变化；GBH周长的最小值为. 其中正确的是_.（把你认为正确结论的序号都填上）. 【考点】正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的面积，三角形的周长，动点问题，最值问题【分析】连接OA，OB，如图16-1，根据正方形的性质，知AOB=90°=EOF，又BOE共用，故可得AOE=BOF，再根据圆心角定理可得AE=BF；故正确； 连接OB，OC，如图16-2，证明OGBOHC，可得OG=OH，即可得出OGH是等腰直角三角形；故正确；如图16-3，过点O作OMBC，ONAB，易证得OGNOHM，因此可得出SOGN=SOHM，故不管点E的位置如何变化

24、，四边形OGBH的面积不变；故错误；过点B作B关于OF的对称点P（易知点P在O上），连接PH，则PH=BH；过点B作B关于OE的对称点Q（易知点Q在O上），连接QG，则QG=BG；连接PQ，易证明PQ过圆心O，则PQ=4，故错误.【解答】解：连接OA，OB，如图1，根据正方形的性质，知AOB=90°=EOF，AOB-BOE =EOF-BOE，即AOE=BOF，根据相等的圆心角所对的弧相等，可得AE=BF；故正确； 连接OB，OC，如图2，则OB=OC， 由知AE=BF ABCD为正方形，AB=BC AB=BC AB-AE=BC-BF 即BE=CF BOG=COH 又OBG+OBC=9

25、0°，OCH+OBC=90°， OBG =OCH 在OGB和OHC中， OBG =OCHBOG=COHOB=OCOGBOHC，OG=OH，又EOF=90°OGH是等腰直角三角形；故正确；如图3，过点O作OMBC，ONAB， 又正方形ABCD内接于O，OM=ON由知，OG=OH， 在RtOGN和RtOHM中， OG=OH， OM=ONRtOGNRtOHM，SOGN=SOHM，又四边形BMOG公共不管点E的位置如何变化，四边形OGBH的面积不变；故错误；过点B作B关于OF的对称点P（易知点P在O上），连接PH，则PH=BH；过点B作B关于OE的对称点Q（易知点Q在O上

26、），连接QG，则QG=BG；连接PQ，易证明PQ过圆心O，PQ=4，故错误.综上，正确，错误.故答案为：.三、解答题16.如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O于点E(1) 求证：AC平分DAB；(2) 连接BE交AC于点F，若cosCAD，求的值【考点】切线的性质；考查了切线的 性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系的应用【答案】 (1) 略；(2)【解析】（1）证明：连接OC，则OCCD，又ADCD，ADOC，CADOCA，又OAOC，OCAOAC，CADCAO，AC平分DAB（2）解：连接BE交OC于点H，易证OCB

27、E，可知OCACAD，COSHCF，设HC4,FC5，则FH3又AEFCHF，设EF3x，则AF5x，AE4x，OH2x BHHE3x3 OBOC2x4在OBH中，（2x）2（3x3）2（2x4）2化简得：9x22x70，解得：x（另一负值舍去） 17.如图，在ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，ABDACB. (1)求证：AB是圆的切线； (2)若点E是BC上一点，已知BE4 ,tanAEB，ABBC23，求圆的直径【知识点】与圆有关的位置关系切线的判定、锐角三角函数三角函数的求法【思路分析】(1)根据ABDACB和ACBDBC 90°可得ABC90°，然后根据切线的

28、判定定理可判断AB是圆的切线；(2) 根据BE4 ,tanAEB先求出AB的长，再根据ABBC23求出BC的长，即得直径.【解答】(1)证明：BC是直径，BDC90°,ACBDBC 90°.又ABDACB,ABDDBC90°,ABBC.又点B在圆上，AB是圆的切线(2)解：在RtAEB中，tanAEB，即ABBE×4ABBC23，BCAB×10.圆的直径为10.18.如图，在RtABC中，ACB=90°，BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆（1）求证：AB为O的切线；（2）如果tanCAO=，求cosB的

29、值【分析】（1）如图作OMAB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题【解答】解：（1）如图作OMAB于M，OA平分CAB，OCAC，OMAB，OC=OM，AB是O的切线，（2）设BM=x，OB=y，则y2x2=1 ，cosB=，=，x2+3x=y2+y ，由可以得到：y=3x1，（3x1）2x2=1，x=，y=，cosB=19.如图，AB是O的直径，AD是O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分FAB交O于点C，过点C作CEDF，垂足为点E（1）求证：CE是O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求O的半径【考点】切线的判定；

30、角平分线的性质【分析】（1）证明：连接CO，证得OCA=CAE，由平行线的判定得到OCFD，再证得OCCE，即可证得结论；（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到BCA=90°，再证得ABCACE，根据相似三角形的性质即可证得结论【解答】（1）证明：连接CO，OA=OC，OCA=OAC，AC平分FAB，OCA=CAE，OCFD，CEDF，OCCE，CE是O的切线；（2）证明：连接BC，在RtACE中，AC=，AB是O的直径，BCA=90°，BCA=CEA，CAE=CAB，ABCACE，=，AB=5，AO=2.5，即O的半径为2.520.如图，CD是O的弦，AB是直径，且CDA

31、B，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E（1）求证：DA平分CDO；（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：=3.1， =1.4， =1.7）【考点】切线的性质；弧长的计算【分析】（1）只要证明CDA=DAO，DAO=ADO即可（2）首先证明=，再证明DOB=60°得BOD是等边三角形，由此即可解决问题【解答】证明：（1）CDAB，CDA=BAD，又OA=OD，ADO=BAD，ADO=CDA，DA平分CDO（2）如图，连接BD，AB是直径，ADB=90°，AC=CD，CAD=CDA，又CDAB，CDA=BAD，CDA=BAD=

32、CAD，=，又AOB=180°，DOB=60°，OD=OB，DOB是等边三角形，BD=OB=AB=6，=，AC=BD=6，BE切O于B，BEAB，DBE=ABEABD=30°，CDAB，BECE，DE=BD=3，BE=BD×cosDBE=6×=3，的长=2，图中阴影部分周长之和为2=4+9+3=4×3.1+9+3×1.7=26.521.如图1，以ABC的边AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且EDAC（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，C=75

33、6;，CD=2，求O的半径和BF的长【考点】切线的性质【分析】（1）连接OE，根据切线性质得OEDE，与已知中的EDAC得平行，由此得1=C，再根据同圆的半径相等得1=B，可得出三角形为等腰三角形；（2）通过作辅助线构建矩形OGDE，再设与半径有关系的边OG=x，通过AB=AC列等量关系式，可求得结论【解答】解：（1）ABC是等腰三角形，理由是：如图1，连接OE，DE是O的切线，OEDE，EDAC，ACOE，1=C，OB=OE，1=B，B=C，ABC是等腰三角形；（2）如图2，过点O作OGAC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，ABC是等腰三角形，B=C=75°，A=180

34、6;75°75°=30°，设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=x，DG=0E=2x，根据AC=AB得：4x=x+2x+2，x=1，0E=OB=2，在直角OEF中，EOF=A=30°，cos30=，OF=2÷=，BF=2，O的半径为222.如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交O于点F，连接AE、DE、DF（1）证明：E=C；（2）若E=55°，求BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EGED的值【考点】圆的综合题【分析】（1

35、）直接利用圆周角定理得出ADBC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出E=C；（2）利用圆内接四边形的性质得出AFD=180°E，进而得出BDF=C+CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出AEGDEA，求出答案即可【解答】（1）证明：连接AD，AB是O的直径，ADB=90°，即ADBC，CD=BD，AD垂直平分BC，AB=AC，B=C，又B=E，E=C；（2）解：四边形AEDF是O的内接四边形，AFD=180°E，又CFD=180°AFD，CFD=E=55°，又E=C=55°

36、，BDF=C+CFD=110°；（3）解：连接OE，CFD=E=C，FD=CD=BD=4，在RtABD中，cosB=，BD=4，AB=6，E是的中点，AB是O的直径，AOE=90°，AO=OE=3，AE=3，E是的中点，ADE=EAB，AEGDEA，=，即EGED=AE2=1823.如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，ABC=60°，AB=6，O是射线BD上一点，O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M过M作EFBD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上

37、（1）求证：BO=2OM（2）设EFHE，当矩形EFGH的面积为24时，求O的半径（3）当HE或HG与O相切时，求出所有满足条件的BO的长【考点】圆的综合题【分析】（1）设O切AB于点P，连接OP，由切线的性质可知OPB=90°先由菱形的性质求得OBP的度数，然后依据含30°直角三角形的性质证明即可；（2）设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q先依据特殊锐角三角函数值求得BD的长，设O的半径为r，则OB=2r，MB=3r当点E在AB上时在RtBEM中，依据特殊锐角三角函数值可得到EM的长（用含r的式子表示），由图形的对称性可得到EF、ND、BM的长（用含r的式子表示，从

38、而得到MN=186r，接下来依据矩形的面积列方程求解即可；当点E在AD边上时BM=3r，则MD=183r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；（3）先根据题意画出符合题意的图形，如图4所示，点E在AD上时，可求得DM=r，BM=3r，然后依据BM+MD=18，列方程求解即可；如图5所示；依据图形的对称性可知得到OB=BD；如图6所示，可证明D与O重合，从而可求得OB的长；如图7所示：先求得DM=r，OMB=3r，由BMDM=DB列方程求解即可【解答】解：（1）如图1所示：设O切AB于点P，连接OP，则OPB=90°四边形ABCD为菱形，ABD=ABC=30°OB=2OPO

39、P=OM，BO=2OP=2OM（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q四边形ABCD是菱形，ACBDBD=2BQ=2ABcosABQ=AB=18设O的半径为r，则OB=2r，MB=3rEFHE，点E，F，G，H均在菱形的边上如图2所示，当点E在AB上时在RtBEM中，EM=BMtanEBM=r由对称性得：EF=2EM=2r，ND=BM=3rMN=186rS矩形EFGH=EFMN=2r（186r）=24解得：r1=1，r2=2当r=1时，EFHE，r=1时，不合题意舍当r=2时，EFHE，O的半径为2BM=3r=6如图3所示：当点E在AD边上时BM=3r，则MD=183r由对称性可知：NB=MD=6MB=3r=186=12解得：r=4综上所述，O的半径为2或4（3）解设GH交BD于点N，O的半径为r，则BO=2r当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与O相切如图4所示，点E在AD上时HE与O相切，ME=r，DM=r3r+r=18解得：r=93OB=186如图5所示；由图形的对称性得：ON=OM，BN=DMOB=BD