导数的不等式恒成立问题(共6页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上导数的应用【考查重点与常见题型】题型一运用导数证明不等式问题例1设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 21且x>0时，ex>x22ax1. (1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2

2、)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当a>ln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R上是增加的于是当a>ln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)>0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1. 已知f(x)xln x. (1)求g(x)(kR)的单调区间； (2)证明：当x1时，2xef(x)恒成立解：(1)g(x)

3、ln x，令g(x)0得xk.x>0，当k0时，g(x)>0.函数g(x)的增区间为(0，)，无减区间；当k>0时g(x)>0得x>k；g(x)<0得0<x<k，增区间为(k，)，减区间为(0，k)(2)证明：设h(x)xln x2xe(x1)，令h(x)ln x10得xe，h(x)，h(x)的变化情况如下：x1(1，e)e(e，)h(x)10h(x)e20故h(x)0.即f(x)2xe.题型二利用导数研究恒成立问题例2已知函数f(x)ln x.(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值

4、；(3)若f(x)<x2在(1，)上恒成立，求a的取值范围解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)，且f(x).a>0，f(x)>0，故f(x)在(0，)上是增加的(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是增加的，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是减少的，f(x)minf(e)1，a(舍去)若e<a<1，令f(x)0得xa，当1<x<a时，f(x)<0，f(x)在(1，a)上是减少的；当a<x<e时，

5、f(x)>0，f(x)在(a，e)上是增加的，f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.(3)f(x)<x2，ln x<x2.又x>0，a>xln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)时，h(x)<0，h(x)在(1，)上是减少的h(x)<h(1)2<0，即g(x)<0，g(x)在(1，)上也是减少的g(x)<g(1)1，当a1时，f(x)<x2在(1，)上恒成立 已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_答案4，)解析当

6、x(0,1时不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0,1，g(x)，g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2. (1)解f(x)12ax.1分由已知条件得即解得4分(2)证明因为f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.8分当0

7、<x<1时，g(x)>0，当x>1时，g(x)<0.所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，)上是减少的10分而g(1)0，故当x>0时，g(x)0，即f(x)2x2.12分一、选择题(每小题5分，共20分)1 已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根4a24×3(a6)>0，即a23a18>0.a>6或a<3.2 曲线yf(x)ex在点(2

8、，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B2e2 Ce2 D.答案D解析点(2，e2)在曲线上，切线的斜率kf(2)e2，切线的方程为ye2e2(x2)，即e2xye20.与两坐标轴的交点坐标为(0，e2)，(1,0)，S×1×e2.3 已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数，则m的取值范围是()Am>2 Bm2Cm<2 Dm2答案B解析依题意知，x>0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)1>0恒成立，m0成立，当>0时，则m280，2m<0，综上，m的取值范围是m2.4 某公司生产某种

9、产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是RR(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150 C200 D300答案D解析由题意得，总成本函数为CC(x)20 000100x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大二、填空题(每小题5分，共15分)5 设P为曲线C：yf(x)x2x1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1,3，则点P纵坐标的取值范围是_答案解析设P(a，a2a1)，则f(x)2a11,3，0a2.而g(a)a2a12，当a时，g(a)min.当a2时，

10、g(a)max3，故P点纵坐标的取值范围是.6 在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)答案d解析截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为，则kbh2，又h2d2b2，kb(d2b2)kb3kd2b，3kb2kd2，令0，得b2，bd或bd(舍去)hd.7 已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_答案13解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即3×42a×20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图像开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.三、解答题(共22分)8 (10分)设函数f(x)ax33x2 (aR)，且x2是yf(x)的极值点(1)求实数a的值，并求函数的单调区间；(2)求函数g(x)ex·f(x)的单调区间解(1)f(x)3ax26x3x(ax2)，因为x2是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1.经验证，当a1时，x