一阶偏微分方程的特征线法

1、一阶偏微分方程的特征线法魏雪蕊(绍兴文理学院 数学系 , 浙江 绍兴 312000摘 要 :介绍了一阶偏微分方程特征线法的由 来、 几何意义及求解的基本思想 .关键词 :一阶偏微分方程 ; 特征方程 ; 特征线中图分类号 :G642. 41 文献标识码 :A 文章编号 :1008-293X(2010 07-0095-030 引言在大多数常微分方程和偏微分方程教程中 1-5 , 一阶偏微分方程通常受到简单的处理 , 原因之一是具 有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、 热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程 . 实际 上 , 一阶偏微分方程在流体力学、 空气动力学和其它工程技术等领域有

2、着广泛的应用 . 例如在种群分析中 , 个体 (不必是生物体 , 如生产的产品如灯泡、 晶体管、 食品或更一般的任一类似的物品的集合 根据统计样 本随着时间的变化会变得不合格 , 因此研究起来有着实际意义 6 . 利用特征方程转化成常微分方程组是求 解一阶偏微分方程的常用方法 1-2, 7-10 , 我们称其为特征线法 . 但一般教材中只给出了特征方程与特征线 的定义 , 并没有讲明这样定义与求解的根据 , 学生看到的只是生硬的定义 , 不明就里 , 实际教学效果并不 好 . 本文指明特征方程与特征线的由来 , 以及特征线的几何意义 , 可以帮助学生更好掌握此法 .1 一阶偏微分方程的特征线法

3、的定义与几何意义1. 1 一阶变系数线性偏微分方程a(x , y u x +b (x , y u y +c(x , y u =f (x , y , u =u(x , y (1 其中 a, b , c 和 f 是给定的 x 和 y 的 C 1函数 .定义 1 称 d x =a (x , y , y (0 =c,a(x , y ! 0为式 (1 的特征方程 , 特征方程的解为式 (1 的特征线 .为简单起见 , 对于一阶常系数线性偏微分方程au x +bu y +cu =f (x , y , u =u(x , y , a 2+b 2>0,u x =0= (y ,(2 其中 a, b 和 c

4、是给定的常数 , f (x , y 为连续函数 , (y 连续可微 . 事实上 au x +bu y =u x i +u y j a i +b j = u a i +b j . au x +bu y 即为 u 在向量 a i +b j 方向的方向导数 . 对 xy -平面引入新坐标系 , 使新坐标轴之一指向 a i +b j 方向 , 则 au x +bu y 沿此新坐标轴关于另一个坐标轴的偏导数为零 , 这样即可简化方程 , 转化成为常 微分方程 .方程 (2 的特征线为 y =a +c, 沿特征线 y =y (x , t , u =u(x , y (x , c 满足如下常微分方程第 30卷

5、 第 7期 2010年 3月 绍 兴 文 理 学 院 学 报 JOURNAL OF S HAOXING UNIVERSITY Vol. 30No. 7Mar. 2010收稿日期 :2009-12-29( , , , , . :d x =+d x=+a=f -cu,u x =0=u (0, c = (c ,求解得到 u =u(x , c , 将 c =y -a代入 , 消去参数 c, 得到原问题的解 u =u(x , y .对于更一般的变系数一阶偏微分方程a(x , y u x +b(x , y u y = u a(x , y i +b(x , y j ,令 g (x , y =a(x , y

6、i +b (x , y j , 则 g(x , y 是平面上的向量场 . 把 g (x , y 看作 xy -平面上流体流 . 特征线的几何意义 :g (x , y u 是 u 沿向量 g (x , y 的切线方向的方向导数 , 取与 g(x , y 的切线平行的直线 , 即满足切线为 d x =a(x , y 的曲线作为新坐标线 . 在曲线上的每 (x 0, y 0 点 , 向量 g (x 0, y 0 =a (x 0, y 0 i +b(x 0, y 0 j 都与曲线相切 , 沿此坐标线关于另一个坐标轴的变量的偏导数为零 , 转化为常 微分方程求解 .例 1 求解下列 Cauchy 问题2

7、u t =u x -xu , x #R , t >0u t =0=2x exp22. x #R解 d t=-2 x (0 =c , 解 x (t, c =-2t +c 为方程的特征线 , 其中 c 为常数 .沿着特征线 x =x (t, c , u =u(x (t, c , t 满足如下常微分方程 d t =+d t =-2=-2u ,u(x (0, t , 0 =u(c, 0 =2c exp2 2 ,的解为u (x (t, c , t =2c exp 8 t 2-2ct + 2 2 .将 c =x + 2 t 代入上式 , 得到解 u(x , t =2(x +2t exp ( 2 2

8、.1. 2 高维的一阶线性偏微分方程以三维一阶线性偏微分方程为例 :a(x , y , z u x +b(x , y , z u y +c(x , y , z u z +d (x , y , z u =f (x , y , z , u =u(x , y , z , (3 其中 a, b , c, d 和 f 是给定的 C 1函数 .定义 2 称d t =a(x (t , y (t , z (t ,d t=b(x (t , y (t , z (t ,d t=c(x (t , y (t , z (t 为方程 (3 的特征方程组 , 特征方程组的解为 (3 的特征曲线 . 定义 2 称a (x (t

9、 , y (t , z (t =b (x (t , y (t , z (t =c(x (t , y (t , z (t (假设 a(x , y , z ! 0, b (x (t , y (t , z (t ! 0, c(x (t , y (t , z (t ! 0为方程 (3 的特征方程组 , 特征方程组的解为 (3 的特征曲线 .方程 (3 特征线的几何意义 :由特征方程组的解依赖于两个任意常数 , 设为 和 ! , 解可写作 y =y (x ; , ! , z =z (x ; , ! . 对固定的 和 ! , 随着 x 变化 , 由点 (x , y (x ; , ! , z (x ; ,

10、! 绘出的曲线是特征曲 线 . 设 =A(x , y , z , ! =B (x , y , z , 其中 A, B 为某函数 . 特征曲线是两曲面的交线 , 做坐标变换 , 使特 (x ,绍兴文 理学院学报 (自然科学 第 30卷分方程 .定义 2中与常微分方程课程中特征方程定义一致 7-9, 这样将一阶偏微分方程转化为常微分方程组 处理 . 一阶偏微分方程理论上局部可转化为一阶常微分方程组 .例 2 9求解初值问题x +y +z =0,当 z =1时 , f =xy ,的通解 , 这里 a, b 为常数 .解 特征方程 =z, 得到 x -y =c 1, 2y -ln z =c 2.偏微分

11、方程的通解为 f = (-, 2-ln z .又当 z =1, f =xy , 得到 f = (x -y , 2y =xy , 变量代换 , 整理得到f =4(2y -ln z 2 (- +2(2y -ln z 2.对于一阶拟线性偏微分方程 , 特征线法同样适用 .参考文献 :1 姜礼尚 . 数学物理方程讲义 M . 北京 :高等教育出版社 , 1996.2 纳克莱 H 亚斯马 . 偏微分方程教程 M . 北京 :机械工业出版社 , 2005.3 陈祖墀 . 偏微分方程 M . 合肥 :中国科学技术大学出版社 , 2002.4 Harold Levine. 偏微分方程 M . 葛显良 , 译

12、. 北京 :高等教育出版社 , 2007.5 (美 约翰 . 偏微分方程 M . 朱汝金 , 译 . 北京 :科学出版社 , 1986.6 Bleekcer David. 基础偏微分方程 M . 北京 :高等教育出版社 , 2006.7 王高雄 . 常微分方程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1983.8 管志成 . 常微分方程与偏微分方程 M . 杭州 :杭州大学出版社 , 2001.9 丁同仁 . 常微分方程教程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1991.10 姜礼尚 . 应用偏微分方程讲义 M . 北京 :高等教育出版社 , 2008.Method of Characterist

13、ics of theFirst-order Partial Differential EquationsWei Xuerui(Department of Mathematics, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang, 312000Abstract:By the characteristic equation, the first-order partial differential equations translate into the syste m of ordi nary differential equations. This is called the method of characteristics. The present paper introduces the origin, the geo metr