狭义相对论对弹性碰撞的应用-黄鹏辉

1、狭义相对论对弹性碰撞的应用黄鹏辉中国北京QQ 号和邮箱644537151 ,QQ 群69657010摘要根据狭义相对论,自然界只有两类粒子:一种是以光速运动的,例如光子;一种是以亚光速运动的,例如电子。本文研究了与这两类粒子相应的两种弹性碰撞:光子-电子弹性碰撞被称为“光子性康普顿效应”,并得到了一个新的更一般的光子性康普顿效应公式和一个相应的电子临界速度,用以更好地解释吴有训(Y. H. Woo 的实验结果。电子-电子弹性碰撞被称为“电子性康普顿效应”,并预测了一个电子性康普顿效应峰和一个相应的电子临界速度。这些结论和预测可能在狭义相对论、弹性碰撞理论、化学分析电子能谱(ESCA和凝聚态物理

2、方面具有重要影响。1光子-电子弹性碰撞:光子性康普顿效应当X 射线与物质中的松散束缚电子碰撞并被散射后,散射X 射线波长变长的现象被称为康普顿效应,它最早是由A. H. Compton 在1923年发现并做出解释的1, 2。康普顿应用狭义相对论得到了一个很简单但是很著名的公式:cos 1(cm h-0= (1.1 其中是入射X 射线的波长,是散射X 射线的波长,为散射角,m 0为电子的静止质量,h 为普朗克常数,c 为光速。随后,一些不同的实验表明,公式(1.1在实验误差范围内是正确的3, 4。康普顿效应为量子理论和狭义相对论提供了强烈的证据,因为此效应的理论解释要求我们把X 射线作为光子处理

3、,而不是作为波处理,并且应用到了电子的相对论性能量和动量。根据量子理论,光子的能量和动量正比于其频率,碰撞后,光子频率变低,波长变长。这种波长变长不依赖于入射X 射线的波长或者散射材料,只依赖于入射X 射线与散射X 射线之间形成的角度。散射角越大,波长变化就越大。康普顿的实验结果显示在图1中。结果表明:X射线被电子散射后,除了入射频率外(左边峰,还产生了一个新的频率(右边峰。A. H. Compton因为他的实验和对实验结果的理论解释获得了1927年的诺贝尔物理学奖。 图1 康普顿的实验结果2为了获得充分的实验证据,A. H. Compton的中国学生和合作者吴有训完成了一系列实验,并且得到了

4、许多有价值的结果5, 6。特别是吴有训的那张来自许多不同散射元素的光谱表,它为康普顿效应提供了重要支持7。图2和图3显示了吴有训的实验结果。 图2 吴有训的实验结果6 图3 吴有训的实验结果-15种元素的X射线散射光谱7比较图1中康普顿的实验结果和图2、图3中吴有训的实验结果,很显然,图2、图3中有3个峰,但图1中只有2个峰。在吴有训的实验结果中,右边的峰是波长变长的康普顿峰,中间是波长不变峰,左边是波长变短峰,类似于康普顿发现的反康普顿效应,因此我称之为反康普顿峰。现在我们来分析康普顿的解释,即公式(1.1。因为对于所有除 = 0的散射角,都有1-cos > 0,我们总是能够得到 &g

5、t; 0,所以,公式(1.1能够很好地解释康普顿峰。然而,中间的波长不变峰和左边的反康普顿峰所需要的条件是 = 0和 < 0,公式(1.1看来不能解释这两个峰。也就是说,公式(1.1不能完全解释三个峰,是不完备的,我们缺少一种合适的理论来同时解释三个峰。为了找到这个合适的理论,让我们考虑一种光子-电子碰撞的普遍情形,假设电子在碰撞前具有一个沿任意方向运动的初始速度,如图4所示。取入射X 射线的方向为X 轴正向,入射X 光子的频率为f 1,散射后频率变为f 1,散射光子与X 轴正向成角(散射角。电子的初速为u 2,与此相应的质量为m 2,电子的初速u 2与X 轴正向成角。碰撞后,电子速度由

6、u 2变为u 2,相应的质量变为m 2,电子速度u 2与X 轴正向成角。为便于计算,统一取X 轴正向为角度基准,反时针方向为正。 11碰撞前碰撞后图4 在实验室坐标系下光子-电子弹性碰撞根据能量守恒定律,我们有221221c m f h c m hf +=+ (1.2由X 和Y 方向的动量守恒得到两个方程cos u m cos c /f h (cos u m c /hf 221221+=+ (1.3sin u m sin c /f h (sin u m 22122+= (1.4(1.3和(1.4可以被写成c /hf cos c /f h (cos u m cos u m 112222+= (1

7、.5 sin c /f h (sin u m sin u m 12222= (1.6(1.52 + (1.62cos cos u m c /f h (2c /f h c /f h u m u m 22122cos u m c /hf (2cos c /hf (c /f h (2sin sin u m c /f h (222111221+ (1.7其中两项可以被合并cos(u m c /f h (2c /f h c /f h u m u m 2212212221222222222+=cos u m c /hf (2cos c /hf (c /f h (222111+ (1.8从(1.2得到c /

8、f h -c /hf c m c m 1122+= (1.9(1.922112212122122212222222c /f f h 2m f 2h m 2hf c /f h c /f h c m c m += (1.10根据质量公式22202/c u 1/m m = 和 22202/c u 1/m m =2222220222u m c m c m += (1.112222220222u m c m c m +=把(1.11代入(1.10中211221212212221222222222c /f f h 2m f 2h m 2hf c /f h c /f h u m u m += (1.12(1

9、.12 - (1.8cos(u m c /f h (2c /f f h 2f f (2hm 022*+=cos u m c /hf (2cos c /hf (c /f h (222111+ (1.13(1.13式两边都除以2hf 1f 1/c 2cos f c/u m (cos h cos(f /c u m (h f /c -f c/(c m 0122122112+= (1.14因为 = c/f ,所以cos u m (cos h cos(u m (h -(c m 0122122112+= (1.15 根据1 和1分类整理(1.15式12122cos(u c cos u c cos 1(h/m

10、 = (1.16 得到cos u c cos 1(h/m cos u c cos(u c 221221+= (1.17 和cos u c cos 1(h/m u cos u c cos(cos 2212211+= (1.18 应用下面两个公式2/sin(2/sin(2cos(cos = (1.192/(sin 2cos 12= (1.20有2/sin(h/m (2/sin(u cos u c 2/sin(22122+= (1.21(1.21式是比(1.1式更一般性的公式,它可以解释吴有训实验结果中所有三个峰。(1.21式表明,真正的光子-电子碰撞是相当复杂的,波长的改变与电子初速度、角度、电子

11、质量、入射光子波长和散射角有关。(1.21式中存在两种特殊情况:(I 当 = 0时, = 0,这就是没有发生碰撞的透射光子。(II 当u 2 = 0时,电子的相应质量为m 2 = m 0,这就得到了(1.1式。下面让我们根据(1.21式来讨论吴有训实验的一般性结果: 1 对中间峰,波长没有改变,1 = 1,它要求02/sin(h/m (2/sin(u 212=+ (1.22因为对任意散射角都有02/sin(,为了保证(1.22式成立,必须确保02/sin(。这样从(1.22式就能够得到一个电子的临界速度u c :2/(sin h 2/(sin c m 2/sin(hc u 22221220c

12、+=(1.23这意味着,当一个入射光子与一个满足条件02/sin(和u 2 = u c 的电子碰撞时,光子的波长将不会改变。2 对右边的康普顿峰,波长变长, > 0 ,1 > 1,它要求02/sin(h/m (2/sin(u 212>+ (1.24这就是说,当一个入射光子与一个符合条件02/sin(>,或02/sin(但u 2 < u c的电子碰撞时,光子的波长将变长。当然,康普顿公式(1.1就属于这种情况。3 对左边的反康普顿峰,波长变短, < 0 ,1 < 1,它要求02/sin(h/m (2/sin(u 212<+ (1.25这意味着,当一

13、个入射光子与一个满足条件02/sin(和u 2 > u c 的电子碰撞时,光子的波长将变短。比较2和3中的条件,因为2中多了一个条件02/sin(>,2中的条件要比3中的条件更容易满足。因此,对任意散射材料,右边的康普顿峰总是要比左边的反康普顿峰更强些,这个结论符合吴有训的实验结果。为了简化和检验(1.21和(1.23式,我们可以设计一个可行的实验:来自加速器的一束电子穿过磁场并进入一个狭缝以过滤速度,然后与一束X 射线迎头正面直线碰撞,同时X 射线谱仪在不同的角度探测散射X 射线。实验设备的安排显示在图5中。 图5 X 射线与来自加速器的电子束碰撞在这种情况下,电子的初始角度是1

14、80度, =,我们有2/sin(h/m (2/sin(u cos u c 2/sin(22122+= (1.262/sin(h/m (2/sin(-u u c 2/sin(22122+= (1.27u -(h/m u c cos 11222+=(1.28一个简化的临界速度就是222120c c /1h / m 1u +=(1.29显然,我们能够从(1.28 和 (1.29式得到结论:如果我们控制来自加速器电子束的初始速度,当u 2 = u c 时, = 0,将产生一个单一的波长不变峰;当u 2 < u c 时, < 0,将产生一个单一的波长变长的康普顿峰;当u 2 > u c

15、 时, > 0,将产生一个单一的波长变短的反康普顿峰。如果我们知道了入射X 射线的波长1,临界速度u c 就能够从(1.29式计算出来。例如,康普顿实验中的入射X 射线的波长为1 = 0.711A ,2,临界速度就是u c = 1.02 x 107m/s 。对于这个临界速度,可能大型的加速器都不必要。如果我们在这样的实验中调节电子束或X 射线的角度,我们将不得不用(1.23式计算电子的临界速度。在这样的加速器实验中我们也可能遇到一些困难,例如,哪里是光子-电子的碰撞位置?在两个狭缝之间的散射X 射线的密度分布怎样?2电子-电子弹性碰撞:电子性康普顿效应如果我们在康普顿实验中用一个电子束替

16、换入射X 射线,那么将得到什么结果?这个主意就象德布罗意物质波的观念。因此,我称之为电子性康普顿效应。电子性康普顿效应可以当成一种电子-电子弹性碰撞,并采用与光子性康普顿效应一样的方式来处理。对照图4,这里的差别在于入射粒子是电子而不是光子,所以散射粒子也同样是电子。碰撞前入射电子的初始速度是u 1,质量为m 1,碰撞后,电子速度变为u 1,质量变为m 1。根据能量守恒定律,我们有22212221c m c m c m c m +=+ (2.1 由X 和Y 方向的动量守恒得到两个方程cos u m cos u m cos u m u m 22112211+=+ (2.2 sin u m sin

17、 u m sin u m 221122+= (2.3 (2.2 和 (2.3 可以写成11112222u m cos u m cos u m cos u m += (2.4 sin u m sin u m sin u m 112222= (2.5 (2.42 + (2.52cos cos u m u m 2u m u m u m u m 22112121212122222222+= cos u m u m 2cos u m u m 2sin sin u m u m 2221111112211+ (2.6其中两项可以被合并cos(u m u m 2u m u m u m u m 22112121

18、212122222222+= cos u m u m 2cos u m u m 222111111+ (2.7 (2.1式可以写成c m -c m c m c m 1122+= (2.8 (2.82211212221221221222222c m m 2c m 2m c m 2m c m c m c m c m += (2.9 根据220/c u 1/m m =,我们有2222022u m c m c m += (2.10(2.10式应用到m 2,m 2,m 1,m 1并分别代入(2.9式,我们得到2112212212121212122222202222c m m 2c m m 2c m 2m

19、 u m u m u m c m 2u m += (2.11 (2.11 - (2.7cos(u m u m 2c m m 2c m m 2c m 2m c m 202211211221221220+= cos u m u m 2cos u m u m 222111111+ (2.12 (2.12式两边都除以2m 1m 1c 2cos c m uu m cos c u u cos(c m u u m 1m m m m m m m 0210+= (2.13令 = u/c ,这样201/m m =,(2.13式将变成221222122212121+=cos 11cos 21222111+ (2.1

20、4方程(2.14求解太复杂,不能提供给我们任何直接的结论。我们不得不应用数学简化方法来求得一些特殊解。首先,让我们考虑物质中的松散束缚电子情况,就象康普顿先生曾经做过的那样。在这种情况下,2 = 0,1122=,所以(2.14式变成cos 1111101121212121+= (2.15cos 11111(11212121+=+ (2.1611cos 11211121+= (2.17从(2.17式可以求得一个解2212211211cos 11(cos 11(2+= (2.18(2.18式意味着,对应于光子性康普顿效应中的康普顿峰,在电子性康普顿效应中,一个相似的散射电子峰将在(2.18式确定的

21、散射电子速度1处产生。特别要指出的是,当 = 90 或 270度时,我们有1 = 0,这意味着在垂直于入射电子束的方向我们不能观察到峰的出现。这是一个令人惊奇的结果。当然它只是对物质中的松散束缚电子而言,可是物质中不光只有松散束缚电子,应该还有其他速度的电子,因此实验结果可能还不是完全没有峰的情况,但是不太好预测,只能靠实验来检验。其次,让我们考虑散射电子速度保持不变的情况。在这种情况下,1 = 1,(2.14式变成cos 11cos cos(1102122212121222121+= (2.19cos cos(11cos 1(222211= (2.20cos cos(cos 1(112112

22、22= (2.212212212222cos cos(1(cos 1(1= (2.22 22122122122cos 1(cos cos(1(cos 1(+= (2.23 应用公式(1.19 和 (1.20,我们得到2/(sin 2/(sin 1(2/(sin 22122122122+= (2.24 2/(sin 2/(sin 2/(sin 2/(sin 2221222122+= (2.25注意 sin 2 ( / 2 sin 2 ( / 2 = sin( / 2 + sin( / 2 sin( / 2 sin( / 2 = 2 sin( cos 2 cos( sin = sin( sin 2

23、 2 2 2 (2.26 因此 22 = 1 2 sin 2 ( / 2 2 sin 2 ( / 2 + 1 sin( sin (2.27 最后将得到一个物质中电子的临界速度 c = 1 sin( / 2 sin ( / 2 + 1 sin( sin 2 2 (2.28 (2.28式意味着，当入射电子与物质中速度为c的电子碰撞时，散射电子速度将与入 射电子速度相同，也就是说，1 = 1。 与光子性康普顿效应中的中间峰和反康普顿峰类似， 我们能不能观察到满足两个条件 2 = c 和 2 > c的两个峰呢？这应该通过实验来检验。然而，光子性康普顿效应和电子性 康普顿效应之间存在着一个差别：入

24、射X射线是某些元素的离散特征线，但入射电子的速 度却可能是我们想要的任何速度。这种差别将导致什么发生呢？ 正如光子性康普顿效应一样，我们也可以设计一个如图 5 所示的类似实验，确保来自 加速器的两个电子束面对面直线迎头碰撞。在这种情况下， =，临界速度(2.28式将简 化为 c = 1 (2.29 如果来自加速器的两个电子束以某个角度碰撞， 我们还得使用(2.28式计算临界速度。 可能电子性康普顿效应实验要比光子性康普顿效应实验面临更多的问题，比如：(I 怎么能够知道散射电子究竟是来自入射电子，还是物质中的反冲电子？(II 上面的处理过 程没有考虑到电磁相互作用效应，在电子性康普顿效应中，我们

25、要不要考虑电磁相互作用 呢？(III 电子-电子的碰撞位置和两个狭缝之间的散射电子的密度分布怎样？等等。 3 讨论 本文中所得到的结论都是基于狭义相对论的， 所有这些结论都需要有一些新的精密实 验来检验，并且这些检验内容将成为狭义相对论强烈的实验性证据。因为新的理论是基于 吴有训的实验结果，吴有训实验应该用更多的元素来重复，特别是对重元素。在吴有训的 实验结果中仍然存在一些疑问，例如，随着原子序数增加，为何左右两个峰都变得越来越 弱，而同时中间峰却变得越来越强？ 11 这些结论也将为光子-电子相互作用和电子-电子相互作用提供一般性的数学基础。例 如，光电效应本质上其实正是光子性康普顿效应中的康普顿峰，并且(1.21式可能成为由 Kai M. Siegbahn 开发的化学分析电子能谱(ESCA方法的数学基础8， 也许我们可以基于电 子性康普顿效应开发出一种新的类似于 ESCA 的技术。 1 A. H. Compton, A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements, Phys. Rev. Vol. 21, p. 483, 19