五年级上册奥数试题-第2讲巧求周长与面积.(含答案)

1、第四讲巧求周长与面积教学目标：1 .掌握巧求周长与面积的基本方法；2 .理解并掌握割补、平移等数学思想方法。巧求周长A B C D【例1】（“希望杯”第一试）右图中的阴影部分 BCGF是 正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米， 则长方形 ADHE的周长是 厘米。【分析】 由于图中阴影部分 BCGF是个正方形，其四条 边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽。FH AC的和应为长方形 ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形 ADHE的长与宽之和。所以长方形 ADHE的周长为: （18 24） 2 84 厘米。【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三 个

2、正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形 区域甲，和 L形区域乙和丙。甲的边长为 4厘米，乙的边 长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的 1.5倍，那 么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？【分析】 乙的周长实际上是正方形 AHJE的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、 向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD的周长。由于 AE 4 1.5 6,AD 6 1.5 9,所以丙的周长为 9 4 36厘米，EF AE AF 6 4 2 （厘米）。【例3】用若干个边长都是 2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是 244厘米,

3、 那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】 大平行四边形上、下两边的长为（244 2 2） 2 120厘米，观察上边，每 6厘米有两个平行四边形的边， 所以共有小平行四边形 120 6 2 40个，三角形的数量与小平行 四边形的数量相等，也是 40个。拓展用若干个边长都是 2厘米的平行四边形与三角形 （如右图）拼接成一个大的平行四边形,已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？分析大平行四边形上、下两边的长为 （236 2 2） 2 116厘米，观察上边，每 6厘米有两 个平行四边形的边，116 6 19L 2 ,所以有三角形 19 2 38个，小平行四边形38

4、1 39 个。【例4】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成白大长方形 （如图）的面积是45平方厘 米，求这个大长方形的周长。【分析】拓展分析【例5】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的 5 4 1.25倍。每个小长方形的面积为 45 9 5平方厘米，所以1.25宽 宽 5,所以宽为2厘米, 长为2.5厘米。大长方形的周长为 （2.5 4 2 2,5） 2 29厘米。右图的长方形被分割成 5个正方形，已知原长方形的面积为 120平方厘米，求原长方形的长与宽。大正方形边长的2倍等于小正方形边长的 3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正

5、方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5 2.25倍，所以小正方形面积为 120 （2.25 2 3） 16平方厘米，所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为 6厘米，原长方形的长为 4 3 12厘米，宽为4 6 10厘米。（希望杯培训题） 如右图所示，在一个正方形上先截去宽 11 分米的长方形，再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比 原正方形减少301平方分米。原正方形的边长是 分米。11【分析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是 301 11 7 378平方分米，这个 长方形的长等于原正方形的边长，宽为 11 7 18

6、分米，所 以原正方形边长为： 378 18 21分米。四升五竞赛班第四讲教师版 Page44巧求面积:【例6】如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问大矩形的面积是多少平方厘米？36 C16B20E3012GF【分析】通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为 20平方厘米的两个长方形的宽相等，即 BC相等，不妨假设 BC 2厘米，可以算得：AC 8厘米，CD 10厘米。于是可以算得：GC 36 8 4.5厘米，BE 30 10 3厘米， EF 12 8 1.5厘米。于是大长方形的长为 10 8 18厘米，宽为4.5 2 3 1.5

7、 11厘 米，因此大长方形的面积为18 11 198平方厘米。【例7】【分析】一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平；方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方：米？：小正方形的面积为：30 30 900平方米。用增加的 k面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形卜。的面积和，为： 9900 900 9000平方米。而增加30的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的.面积为9000 2 4500平方米。长方形的宽为 30米，那么长为：4500 30 150米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为150 1

8、50 22500（平方米）【例8】 长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？【分析】 从图形我们可以看出，AiB的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形 ABCD周长的一半，可以看出若以 A1B和BCi为边能构成大正方形 AiBCiEi （如右图b所示），其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的， 两个正方形的面积刚好是 290平方厘米的一半。这样我们容易求出：大正方形 AiBCiEi的边长为30 2 15厘米，面积为：15 i5 225平方厘米，正方形

9、CDDiG与正方形 ADEAi的面积之和为：290 2 i45 （平方厘米）。长方形ABCD与长方形EDDE的面积相等。所以，长方形ABCD的面积为：（225 i45） 2 40 （平方厘米）。巩固用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积 是多少平方厘米？分析做辅助线，如右下图，小正方形I的面积为44 28 i6,所以a 4, b 28 4 7,原正方形面积为 7 7 49 （平方厘米）。【例9】 如图，正方形ABCD的边长是5 , E , F分别是AB和BC 的中点，求四边形 BFGE的面积。【分析】 如下图，利用割补

10、法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是5 5 5 5,而阴影部分面积等于i个小正方形面积，所以也是 5。综合应用:【例10 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外 作小正三角形，得到一个六角形。再将这个六角形的六个 “角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为 边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图 形。如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积。【分析】 题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形（如图a）,由已知，图中最小的小正三角形的面积是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图a进行分割

11、，得到图bo从图b可以看出，一个大正三角形中包 含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。由此可以求出，一个大正三角形中包含 9 9 81个小 正三角形，在图a中，除了一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有 小三角形的个数为：9 9 3 9 12 120个，而每个小正 三角形的面积为1平方厘米，所以图a中图形的面积为120平方厘米。【例11】（“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形 EFGH ,中间阴影为正方形。 已知甲、乙、丙、 丁四个长方形面积的和是 32平方厘米，四边形ABCD的面积 是20平方厘米，求甲、乙、丙、

12、丁四个长方形周长的总和。【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。大正方形的面积等于四边形ABCD的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即20 32 2 36平方厘米,所以大正方形边长为 6厘米，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为 6 4 2 48厘米。【例12】（2006年“希望杯”第二试）如右图，用标号为1 , 2, 3 , 4 , 5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18, 14,则标号为5的正方形的面积是多少？【分析】 如果标号为5的正方形的边长是 a ,那

13、么1号比2号大a , 2号比3号大a ,所以1号比3号大2a ,又因为2号和3号的边长之和是14, 1号和2号的边长之和是18,所以1号比3号大18 14 4,即2a 4, a 2 ,标号为 5的正方形的面积是 224。（希望杯培训题）小军用编号为1, 2, 3, 4, 5的大小不同的正方形拼出一个长方形,如右图所示，则中间阴影部分正方形的周长 是多少厘米？分析 因为正方形1的边长 正方形2的边长 正 方形3的边长 30厘米， 正方形1的边长 正方形2的边长 22厘米，所以正方形3的 边长 30 22 8 （厘米），正方形5的边长2正方形3的边长 22厘米，所以正方形5的边长 22 8 2 6

14、厘米，周长为6 4 24厘米。22厘米30厘米拓展一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？ABDEFCABGH分析为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示（如图）。设最小的正方形边长为 x厘米，又因为小正方形 A的边长为7厘米，小正方形 B的边长 为4厘米，所以小正方形 C的边长可以表示为7 x （厘米），小正方形D的边长可以表 示为7 x x 7 2x （厘米），小正方形E的边长可以表示为7 x 4 11 x （厘米）， 小正

15、方形F的边长可以表示为11 x 4 15 x （厘米），小正方形G的边长可以表示为 15 x 4 19 x （厘米），小正方形 H的边长可以表示为 7 x 7 14 x （厘米），观 察大长方形可知：小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：（7 2x） （7 x） （14 x） （15 x） （19 x）,解得x 1。从而可得小正 方形C、D、E、F、G、H的边长分别为 8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘 米、15厘米。大长方形的长为：18 15 33 （厘米），宽为：14 18 32 （厘米），大长方形的面积为：33 32 1056 （平方厘米）。【例

16、13 220平方米，那么小有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差正方形试验田的面积是多少平方米？0.50.50.55【分析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图a）,将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图b）。由于两个正方形的周长相差 40米，从而它们的每边相差 40 4 10米，即图b中的长 方形的宽是10米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为：220 10 22 （米）。由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，

17、从而小正方形的边长 为：（22 10） 2 6 （米）。所以小正方形的面积为：6 6 36 （平方米）。附加题:【附1】 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5平方米，请问锯下的长方形玻璃 条的面积等于多少？【分析】 我们先按题目中的条件画出示意图（如图a）,我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为5平方米，它的长和宽相差0.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图 （如图b）。图b是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和， 中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即0.5米。所以中间的小正方形的面积为0.5 0.5 0.2

18、5平方米，那么大正方形的面积为5 4 0.25 20.25平方米。因为4.5 4.5 20.25,所以大正方形的边长等于4.5米。所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：（4.5 0.5） 2 2.5米，即原正方形的边长为2.5米。又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.5 0.5 1.25平方米。【附2】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合（如右图），已知露在外面的部分中，红色面积是 20,黄色面积是12,绿色面积是8,那么正方形盒的底面积是多少？【分析】黄色纸片

19、露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，由于三块纸 片的大小一样，把黄色纸片向左移动，在这个移动过程中，黄色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出部分增加的 面积，它们露出部分的面积和不变，为 8 12 20。当黄色纸片 移动到正方形盒的最左边时，如右下图所示，可知此时黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分的面积相等，所以黄色纸片露出部分面积为20 2 10,绿色纸片露出面积也为 10。右下图中，由于红色部分面积是绿色部分面积的20 10 2倍,【附3】 右图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。所以黄色部分面积是空白部分面积的 2倍。所以空白部分的面积 为10 2 5,正

20、方形盒的底面积为 20 10 10 5 45。解答此 题的关键是让黄色纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。【分析】 如右下图所示，可知阴影部分面积与空白部分面积之差即为小长方形OPMN的面积,为3 2 6平方厘米，所以阴影部分面积为（100 6） 2 53平方厘米。巩固练习1.右图中正方形的边长为 3厘米，每边被3等分，求图中所有正方形周长的和。【分析】分类进行统计：边长为1厘米的正方形的周长的和是：1 4 (3 3) 36 (厘米),边长为2厘米的正方形周长的和是：2 4 (2 2) 32(厘米)，边长为3厘米的正方形周长是：3 4 (1 1) 12(厘米)，图中所有正方形周长的和是：36

21、32 12 80(厘米)。2.用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示。已知外面大正方形的周长是264厘米，里面小正方形的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是 厘米，宽 是 厘米。【分析】外面大正方形的边长为 264 4 66厘米，里面小正方形的边长为以看出，长方形的宽为 (66 30) 2 18厘米，长方形的长为3.右图的长方形被分割成5个正方形，已知每个大正方形比每个小正方形面积大 5平方厘米，求原长方形的面积。30厘米，从图中可大正方形边长的2倍等于小正方形边长的 3倍,所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍,大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5

22、2.25倍，小正方形面积为5 (2.25 1) 4平方厘米，原长方形的面积为4 3 (45) 2 30平方厘米。1厘米，且小长方4厘米，宽为2厘米。所4.有大、小两个长方形(右图)，对应边的距离均为 已知两个长方形之间部分的面积是 16平方厘米， 形的长是宽的2倍，求大长方形的面积。【分析】 如图，由于已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘米，而4个角上的小正方形面积均为 1平方厘米，所以划分出来的四个新长方形的面积之和为16 4 12平方厘米，这四个新长方形的宽均为1厘米，长则分别为原来的小长方形的四条边， 所以原来的小长方形的长、宽之和为12 1 2 6厘米。由于小长方形的长是宽的2倍，所以长为以大长方形的长为6厘米，宽为4厘米，面积为6 4 24平方厘米。四升五竞赛123班第四讲教师版Page 45竞技跳水比赛主要包括跳台和跳板，比赛时运动员要完成规定和自选动作，最后以两种动作 的总分决定名次。2 0 0 8年北京奥运会设男、女个人1。米跳台和3米跳板，以及男、女双人 1。米跳台和3米跳板共8个项目。比赛在北京奥林匹克公园的国家游泳中心举行。跳水池面积为2 5米X 2 5米，池深5. 4米。跳水的男子个人和双人项目各需完成6个动作，女子个人和双人项目各需完成5个动作。跳板比赛中，女子包括5个不同组别无难度系数限制的动作，男子则包括6个无难