数形结合在不等式中的应用杜欣

1、数形结合解与不等式有关的问题清华中学数学组杜欣一、教学内容分析：在数学发展的进程中 , 形和数常常结合在一起 , 在内容上互相联系 , 在方法上互相渗透 , 在一定的条件下互相转化，故而数形结合是我们在解题应用中常用的数学思想方法。 数形结合思想是解答数学问题的一种常用方法与技巧， 数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、 生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。通过对图形的认识，数形结合的转化， 可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体。数形结合的思想方法将抽象的代数问题给以形象化的原型， 训练人们思维形象化的思维品质； 将复杂的代数问题赋予灵活变

2、通的形式， 从而给人们思维灵活性的思维迁移训练， 这正是反映了数形结合的思维方法解决数形之间问题的有效途径所在。不等式揭示了现实世界中广泛存在的量与量之间的不等关系。 用数形结合解决不等式问题的优越性在于将图形性质的问题转化为数量关系的问题或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题 , 使复杂问题简单化 , 抽象问题具体化 , 化难为易 , 获得简便易行的方案。本节为高三的一节复习课， 学生在之前的学习中已经能够基本掌握高中数学知识的结构框架， 数学思想方法也在日常的教学中多有渗透，然而学生对于如何正确运用数学思想方法学习数学或解题还有诸多疑惑。本节课将从不等式的解法、不等式的证明以及关于最值问

3、题等知识进行比较归类，分析探讨数形结合在不等式中的应用， 旨在教学中使学生能够领悟数学思想方法的妙用，纳入到自己的知识结构中去，变成自己的财富。二、三维目标：1 、通过本节教学旨在使学生理解用数形结合的思想方法解决不等式及求参1数的取值范围使不等成立的问题。2 、在用数形结合的思想方法解题过程中，通过研究不等式的基础理论、解不等式、和不等式的应用等问题， 深化数学知识间的融汇贯通， 从而提高分析问题解决题的能力。3 、在解决问题的过程中，形成和发展理性思维，提高学生数学素质及创新意识，通过领悟数形结合在不等式中的应用，从而发展出数形结合在其他知识点中的广泛应用。三、教学重点：解不等式 , 就是

4、要对不等式进行同解变形 , 使之变为与原不等式同解的最简不等式。不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力， 发展学生思维提出了较高的教学要求，结合图形研究 , 可以避免复杂的讨论 , 化繁为简。四、教学难点：用数形结合的思想解决不等式相关问题虽然可以化繁为简，但是在实际应用时学生很难找到切入点， 关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化， 几何问题代数化。 在教学中通过实例讲解以及联系使得学生能够应用数形结合的方法解决不等式的相关问题。五、课时安排： 1课时六、典例解析：类型一：解不等式得x 的取值范围：（2013. 江西文 .6 ）下列选项中，使不等式x12成立的

5、 x的取值范围是例 1xx（）, 11,0 0,1 1,选题立意： 作为第一道例题，本题的解决方式并不唯一，先让学生自行解决，学生不难想到用特值法， 代数法以及数形结合的方法。 让学生对比以后显然特值较快，其次数形，最后才是代数。让学生比较自然的觉得数形的可取之处。审题破题：若用一般的代数法解此不等式， 既要分类还要分步， 显得步骤繁琐。2观察所给不等式，都是由基础函数组成， 图像是熟悉的， 故而可联想通过作图的方法得到未知数取值范围。 特别地，需提醒学生在作草图的过程中不应忽略对特殊点的描绘。解 ：由基本初等函数的图像分析之，若要满足此不等式，只需满足x1即可，故而选 A。变式训练1 ： 用

6、 min a,b,c表 示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 ， 设f xmin 2x , x 2,10 x , x0 ，则 f x 的最大值为（）答案6选题立意： 相比例题此变式训练不能用特值法，故而数形结合成了解此题的最佳方法，学生稍加提醒便能想到此法，并能进一步感受数形结合带来的方便与直接。审题破题：画出 y2x ， y x 2， y 10x 的图象，如图所示，观察图象，可知当 0x2 时， f(x) 2x，当 2<x4 时， f(x) x2，当 x>4 时， f(x) 10x，f(x) 的最大值在 x4 时取得，为 6.例2：（ 2010年 新课标全国卷 8 ）设

7、偶函数满足f x x3 8 x 0 ，则f x2 0 的解集为（）A., 24,B.,04,C.,06,D., 22,选题立意：此题相较例 1 加入了一些函数的性质， 也是需要熟悉函数的一些基本性质：单调性，奇偶性，周期性等，还要理解函数的一些平移变化规则，是对数形结合的另一重考察。审题破题： 考题依旧是给了一个初等函数的平移形式，只需作图得f x0 的解集，在此基础上将解集中的x 替换成 x2 ，解得答案B。3变式训练 1： 已知 f(x) 是定义在 ( 3,3) 上的奇函数，当 0<x<3 时， f(x) 的图象如图所示， 那么不等式 f(x) ·cos x<0

8、 的解集是 _答案,10,1,322选题立意： 此题较之前的习题，又提出了对抽象函数的考察。在细节上函数与 y 轴的空心点又考察了奇函数 f 0 0 的特性，对于培养学生谨慎细致的思考有帮助。审题破题： 根据对称性画出f(x) 在( 3，0) 上的图象如图，结合y cos x 在( 3,0) ，(0,3) 上函数值的正负， 易知不等式 f(x)cos x<0的解集是,10,1,322log2x, x0，则满足不等式 f f x 1变式训练 2：已知函数 f xx, x02的 x 取值范围是（）A. 1,4B.1,2C. 4,D. 2,选题立意：回归具体函数， 但多重函数相套须得学生真正理

9、解函数的基本定义概念，定义域与值域的相对性也对学生提出了挑战。审题破题： 同样是初等函数，不同的是解不等式ff x1 需从外到内，可举例让学生体会，解两次不等式即可得C。4类型二、解不等式求参数取值范围：例 1：（2013 年 全国 2 卷 12 ）若存在正数 x 使 2x xa1成立，则a 的取值范围是（）A.,B2,C0,D1,选题立意：解参数取值范围与求解x 取值范围不同， 学生须注意到要解参数取值范围一般得要对原不等式变形。审题破题： 原不等式只需稍作变形就可化作两个初等函数的不等式：因为 2x0 ，则可将原不等式两边同除2x，得 x a12x，在坐标2x系中作出函数 f (x)x a

10、 ，g x 2x 的图像，分析之，只须 a1 即可，所以选 D。变式训练：（2013 全国理 1 卷 11 ）已知函数 f xx22x, x0 ，ln( x 1), x0若 f xax，则 a 的取值范围是 _答案 2,0选题立意：该变式除了涉及绝对值的翻折变换以外， 还有培养学生缜密思维的分类思想，使得学生在体会数形结合解不等式的方便之外，更是能感受到与其他数学思想的结合应用。审题破题： 函数 y|f(x)| 的图象如图当 a0 时， |f(x)| ax 显然成立当 a>0 时，只需在 x>0 时，ln(x 1) ax 成立比较对数函数与一次函数yax 的增长速度5显然不存在 a

11、>0 使 ln(x 1) ax 在 x>0 上恒成立当 a<0 时，只需在 x<0 时， x22xax 成立。即 ax2 成立， a 2。例 2：设有函数 f xax24x 和 g x4 x 1，已知 x 4,0 时3恒有 f(x) g(x) ，求实数 a 的取值范围选题立意： 在求参的时候，除了要会适当变形，还应考虑函数本身蕴含的几何意义， 可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围。审题破题 x 4,0 时恒有 f(x) g(x) ，可以转化为 x 4,0时，函数 f(x) 的图象都在函数 g(x) 的图象下方或者两

12、图象有交点。解 f(x) g(x) ，即 ax24x4 x1，3变形得x24x4 x 1a ，3令 yx 24xy4 x1a3变形得 x2 2y24 y0 ，即表示以 ( 2,0)为圆心， 2 为半径的圆的上半圆；4表示斜率为 3，纵截距为 1a 的平行直线系设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：64y3xb(b 0) ，| 83b|，则圆心 ( 2,0) 到 AT 的距离为 d5| 83b|2由52 得， b6 或 3( 舍去 ) 当 1a6 即 a 5 时， f(x) g(x) 变式训练 ： 解不等式32xx 2ax选题立意 ：本题虽不是求参的取值范围，但要求解 x 的取值范围却离不开

13、对参数取值的分类讨论，是对例题的延伸。审题破题： 这里出现了参数 a, 讨论起来会很困难 , 而用图像法则十分简洁 . y3 2xx2的图像是 x1 2y24 ，是此圆的上半部 , 再令 y=a-x, 这是斜率为 -1的平行直线束 , 它在 y 轴上的截距为 a, 不难从图中看出 :1) 当 a1时, 解为 x1,3 ;2) 当-1<a 3 时, 解为 xa,3 ;3)当3a 221 时 , 解为 x,其中 ,为方程 x 1 2a x 24的两根：1 1 aa22a 7 ,1 1 aa 22a 7224）当5）当221时，解为 x 12 ；221时，解集为 .题型三数形结合解决有明显几何

14、意义的式子( 概念 ) 问题7例 1：已知函数f xax2bx1(a， R且a>0)有两个零点，其中一bb个零点在区间 (1,2)内，则 a1的取值范围为 _选题立意 ：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：bn(1) 可看做 (a ，b) 、(m， n) 连线的斜率；am(2)am2bn 2 可看做(a，b)、，n)之间的距离；(m(3)a2b2c2 可看做a、 、为直角三角形的三边；bc(4)x 可看做 f(x)图象的对称轴为 xabf axf b2 ：只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型

15、，就能使得学生能够熟练运用数形结合的思想方法解决不等式的问题。答案 (2,1)b审题破题先根据图象确定 a，b 满足的条件，然后利用 a1的几何意义：两点 (a ，b) ，( 1,0) 连线斜率求范围。因为 a>0，所以二次函数 f(x)的图象开口向上又 f(0) 1，所以要使函数 f(x) 的一个零点在区间 (1,2)内，a0a>0，则有 f 10 ，即 ab1<0，f 204a2b1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子ba1表示平面区域内的点P(a，b) 与点 Q(1,0) 连线的斜率101，直线 的斜率而直线 QA的斜率 k00( 1)4a

16、2b1为 2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P， Q8连线的斜率的取值范围为( 2,1) x2y10，变式训练 :1已知点 P(x ，y) 的坐标 x，y 满足 则 |x| y10，x2y26x9 的取值范围是 _选题立意： 例题的延伸，主要考察学生的迁移应用能力。答案2,16审题破题：画出可行域如图，所求的 x2y26x9 ( x3) 2y2 是点Q(3,0) 到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x 0) 的距离 d 的平方，最大值为 QA 2162 d 230 1( 2)2212( 1)2取值范围是 2,16变式训练 2：如果实数 x,y 满足等式

17、x 2 2y23求 y 的最大值 .x审题破题: 此题如果用纯代数方法来解并非易事, 考虑方程x2 2y23 表示的几何意义可知, 此方程表示以点 (2,0)为圆心 ,3 为半径的圆 , 而 y 则表示这个圆上的点 (x,y) 和原点连线的斜x2 2率 ,于是问题转化为在圆 xy23 上求一点 , 使这点与原点所确定的直线斜率 ky 为最大 . 作图可知 , 当直线和圆上方相切于点Px3 , 即 y 的最大值为 3 .时,k 取到最大值 , 此时 k=x七、教学反思：以上通过几个例子 , 大体说明了数形结合在不等式教学中的应用 . 在数学教学中 , 应抓住数形结合的解题契机 :(1) 在审题时与解题前 ,9运用数形结合的思想