第1章1.1(二)

1、Illi-： I IKS'I第1章解三角形:-芝§1.1正弦定理(二)2能根据【明目标、知重点】1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题 条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、 三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的 三角形问题.填要点记疑点1正弦定理的常见变形:a+ b + c(1)sin A : sin B : sin C= a : b ： c;a b cy 一一cr(2)= 2R;si n A sin B sin C sin A+ sin B+sin C (3)a= 2Rsin A, b = 2Esjn_B, c= 2Rsin_C；abc(4)s

2、in A =店，sin B = R，sin C = 2R.2三角形面积公式的推广111(1)S= 2abs in C= 2bcsin A = 2cas in B.(2)S= 2r(a + b + c)(r为三角形内切圆半径).探要点究所然情境导学我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的 解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事?探究点一三角形面积公式的拓展 思考1 ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha, hb, hc，那么它们如何用已知边和角表示？ 答 ha= bsi n C = csin B, hb= csin A = asi n

3、C, hc= as in B= bs in A.思考2将思考1中得到的结论代入三角形面积公式S= ah,可以推导出怎样的三角形面积公式?斥111答 S= absin C, S= qbcsin A, S= acsin B.例1 在 ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c,且B = 30° c = 2石,b = 2,求 ABC的面积S.解由正弦定理得sin C= csn旦/3sin 30又 Ob, C= 60°或 C= 120°.1当 C = 60。时，A= 90° S= 2bc= 23;1当 C = 120°时，A = 30°

4、S= 2bcsin A=V3.:. ABC的面积S为23或寸3.反思与感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件， 转化为求两边或两边之积及其夹以避角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用.另外也要注意三个内角的取值范围, 免由三角函数值求角时出现增根错误.13跟踪训练1在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且cos A=1, a= 2, c= 332求角C和 ABC的面积.1解在 ABC 中，cos A= 3, sin A=警，且A为锐角,由r亡得sin C= sin A sin Ca/ c<a, 0<C<A<n, /. C=：,A + B+

5、 C = n, sin B= si n(A+ C) = sin Acos C + cos Asin C =池X亚+ 1 x= 2 +迄323231 亚 abc= qacsin B = 1 + 4 .6，探究点二正弦定理在实际生活中的应用65°解过点D作DE / AC交BC于E,AB = ADsin / ADB = 1 000sn135 = 1 002(m).sin/ABDsin 30在 Rt ABC 中，BC= ABsin 35 = 1 000德sin 35 是 811(m).答山的高度约为811 m.反思与感悟 运用正弦定理解决实际问题中与高度有关的问题时,通常都根据题意，从实际问

6、题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.跟踪训练2一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔 B在北偏东60°行驶4 h后,船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°这时船与灯塔间的距离为km.答案30/2解析如图,由已知条件,得 AC= 60 km , / BAC = 30°/ ACB = 180° (90。 15°)= 105° , / ABC = 45°.由正弦定理BC = AC無磐=30问km）.探究点三利用正弦定理判断三角形的形状例3仁ABC中，已知亦=cosB=盂，试判断

7、ABC的形状.解令誌=k，由正弦定理，得:a= ksin A, b = ksin B, c= ksin C,例2如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为求山的高度BC.（精确到1 m）因为 / DAC = 20° 所以 / ADE = 160°于是 / ADB = 360° 160° 65°= 135°.又/ BAD = 35° 20°= 15°,所以 / ABD = 30°.在 ABD中，由正弦定

8、理,sin A sin B sin C代入已知条件，得cosB=翫,即 tan A= tan B = tan C.又A, B, C (0, n,所以A= B = C,从而 ABC为正三角形.在转化为角的关系后， 常常反思与感悟 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化, 利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明等.且 a、b 为 ABC跟踪训练3 已知方程X2- (bcos A)x + acos B= 0的两根之积等于两根之和,的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.解设方程的两根为Xi、X2 ,fxi + X2= bcos A,由根与系数的关系得1xiX

9、2 = acos B, bcos A = acos B.由正弦定理得 2Rsin Bcos A= 2Rsin Acos B, sin Acos B- cos Asin B= 0, sin(A B) = 0./ A、B为 ABC的内角,0<A< n, 0<B<n, n< B<n. A B= 0,1 卩 A= B.故 ABC为等腰三角形.探究点四正弦定理在几何中的应用在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，如图所示，用正弦定理证明:AB = BD AC= DC，证明设/ BAD = a, / BDA =3, / CDA = 180° 3a,C在 ABD

10、和 ACD中分别运用正弦定理,AB sin 3得 BD = sin aAC = sin(180。 3)DC =sin aC又 sin(180 3 = sin 35所以AB AC -AB BDBD = DC，即 Ac = Dq.然后灵活运用正ABAC由正弦疋理'得sin/ BCA = sin/ ABC，sin / ABC= ACSin/ BCA 9sin 30 °9AB10.反思与感悟 平面几何中的有关计算或证明问题常转化为三角形中的问题, 弦定理和其它定理加以解决.跟踪训练4 如图所示，在梯形ABCD中，AD / BC, AB = 5, AC = 9,/ BCA = 30&#

11、176; / ADB = 45° 求 BD 的长.解 在 ABC 中，AB= 5, AC = 9, / BCA = 30°/ AD / BC, / BAD = 180° / ABC,9于是 sin / BAD = sin/ABC=而同理，在 ABD 中，AB = 5, sin / BAD =寿,ABBD/ ADB = 45° 由正弦定理：sin / BDA = sin / BAD，解得BD =瞬故BD的长为警当堂测查疑缺B= 60 ° 则角 C =1在 ABC 中，AC = V6, BC = 2,答案 75°解析由正弦定理得sin A

12、= sin 60 ， sin A = ¥ BC = 2<AC = 76, A为锐角. A = 45°. C= 75°2.在 ABC中，若sin C2si n A sin B a : b : c= 1 : 3 : 5，贝U解析由条件得a=雜=115.3.' ABC 中，AB=百，AC= 1,B= 30 °求' ABC的面积.解由正弦定理得sin 30 -sin C sin C = ¥1- sin A=- sin C.53同理可得sin B = 5sin C.1 .3 .2sin A- sin B 2x 5sin C 5sin

13、 Csin Csin C 0°C<180°, C = 60° 或 120°(1) 当 C= 60。时，A = 90 ° - BC = 2，此时，S'abc = (2) 当 C= 120。时，A = 30 ° Saabc= $x 1 x sin 30 =3.呈重点、现规律 1已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况可能无解,当正弦值大于1或小于0时，这时三也可能一解或两解. 首先求出另一边的对角的正弦值, 角形解的情况为无解； 当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有 一个值还

14、是二个值.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或 “角”之间的关系式.40分钟课时作业一、基础过关1.已知 ABC的面积为百且b= 2, c= 2，则/ A的度数为答案 60°或120°解析 S= bcsin A=新 2 x 2 x sin A = 3, sin A导， A= 60。或 120° 2 .海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60。的视角，从B岛望C解析在ABC中，C= 18060° 75°= 45°BC

15、 AB由正弦定理得而=snC，BC10sin 60 ° sin 45解得 BC= 5/6 (n mile).3甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是km.解析由题意知,AB= 24X 1 = 6(km), / BAS= 30° / ASB= 75° 30° = 45°由正弦定理，得BS= ABsin / BAS 6sin 30sin/ASB = sin 45 =

16、3网创4.在 ABC 中,a = 2bcos C,则这个三角形的形状一定是三角形.答案等腰解析由正弦定理：sin A= 2sin Bcos C, / si n(B + C)= 2s in Bcos C, / sin Bcos C+ cos Bsin C= 2sin Bcos C,sin(B C)= 0, B = C.5在 ABC中，B= 60 °最大边与最小边之比为 （73+ 1） : 2，则最大角的值为答案75°解析设C为最大角，贝y A为最小角，贝y A+ C= 120°sin C sin (120。一 A)a sin A =sin Asin 120 cos

17、A cos 120 sin Asin A占 cos A 1 V312 sin A + 222= +_= +二snA= 1. tan A = 1, A= 45° C =75°6. 在 ABC 中，/ A= 60° a= 4*3, b= 4/2,则/ B 的度数为 答案 45°解析由正弦定理聶=爲，得sin B捷/ a>b, A>B.B 只有一解. B = 45°.7. 不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a= 5, b = 4, A= 120(2)a= 9, b = 10, A = 60(3) c= 50, b= 72, C=

18、135 °.解（忖吐bsin 120 =5X逅B为锐角，所以三角形有一解.(2)sin B = as in 60 二乎乂申=,而爭<呼<1，所以当B为锐角时,满足 sin B =的角有 60°<B<90°,9故对应的钝角 B有90°<B<120°,也满足A+ B<180°,故三角形有两解./ c<b, C<B，所以B+ 0180 °,故三角形无解.三角形.二、能力提升8. 在 ABC 中, cosb=亦，则 ABC的形状是答案等腰或直角解析在ABC 中， cos B= c

19、os A， acos A = bcos B,由正弦定理，得 2Rsin Acos A = 2Rsin Bcos B, sin 2A= sin 2B. 2A = 2B 或 2A+ 2B = 180°, A = B 或 A+ B= 90°.故 ABC为等腰三角形或直角三角形.9在 ABC 中，若 tan A= 3，C= 150° BC= 1,则 AB =解析/ tan A= 3，AC (0 °, 180°, / sin A =邨.310BC AB由正弦定理知而=snC，.A” BCsi n C 1 X sin 150 °10.AB =sin An_10.A ABC 中，A = n，BC = 3,则 ABC 的周长为3（用含/ B的三角函数式表示）.答案6sin£ + n* 3解析在ABC中，由正弦定理得語b£，2化简得AC= 2 羽si n B,AB化简得AB= 2V3si门佇-B)所以三角形的周长为 3+AC+ AB = 3+ 3sin B+ 3si门佇一B)= 3 + 3sin B+ 3cos B=6si n + n)+ 3.11.如图所示，设 A、B两点在河的两岸，一