第83课时曲线与方程轨迹问题

1、二中Woir2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：1583课时曲线与方程，求轨迹方程一.【三维目标】心.1. 知识与技能：复习求轨迹方程的常用方法2. 过程与方法：探究合作式学习3. 情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.二【.重难点】：1. 重点：解决求轨迹方程的常用方法2. 难点：相关点法求轨迹方程三.【小测试】：心 四.【问题导学】：0.1. 什么是方程的曲线？什么是曲线的方程?五. I例题探究】：心题型一：直接法求轨迹方程例1.已知动圆过定点A(4, 0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程.y/0S例2.在平面直角坐标系xOy中，点P(a, b)(a>

2、;b>0)为动点，Fi, F2分别为2 2椭圆乍+1的左、右焦点.已知 Fi PF2为等腰三角形.a b求椭圆的离心率e；设直线PF2与椭圆相交于A, B两点，M是直线PF2上的点，满足AM BM =2，求点M的轨迹方程.二中Woir2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：题型二:定义法求轨迹方程例1.已知圆M:（X+ 1）2 + y2= 1,圆N:（X 1）2 + y2 = 9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.例2.在 ABC中，|BC| = 4, ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|CD|= 2亚求顶点A的轨迹方程.rXAX0Ffl0D C X题

3、型三:相关点法求轨迹方程2222X例1.如图，动圆Ci: X + y = t，1<t<3,与椭圆C2： 6 +y2= 1相交于A，B，C，D四点.点A1, A分别为C2的左,Y7/右顶点.求直线AAi与直线A2B交点M的轨迹方程.2 2例2.已知F1, F2分别为椭圆C: ： +彳=1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则 PF1F2的重心G的轨迹方程为(X2y_A.36+27二 1(y 0) 9x22C.+ 3y2= 1(yM 0)4X22B.6+y2=1(yM 0)/ 2D . X2 + ¥ = 1(yM 0)二中Woir2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：六.

4、【作业】心1. 如图所示，一圆形纸片的圆心为 0, F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把 纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设CD与OM交于点P,:砂C.抛物线 D .圆丿则点P的轨迹是()A .椭圆B .双曲线2. 已知点P是直线2x y+ 3= 0上的一个动点，定点 M( 1, 2), Q是线段PM延长线上的一点，且|PM| = |MQ|,则Q点的轨迹方程是()A . 2x+y+ 1 = 0 B . 2x y 5 = 0C . 2x y 1 = 0 D . 2x y+ 5 = 03.设圆C与圆x+ (y 3) = 1外切，与直线y = 0相切，则C的圆心轨迹为()A .抛物

5、线B.双曲线C.椭圆D .圆4.已知M( 2, 0), N(2, 0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点 P的轨 迹方程为()A . X2+ y2 = 2 B. X2+ y2= 4 C. x2 + y2= 2(xm 坐)D. x2 + y2= 4(x ±)5.已知点A(1, 0),直线I:尸2x 4,点R是直线I上的一点，若RA= AP,贝U 点P的轨迹方程为()A. y= 2xB. y= 2xC . y= 2x 8D . y= 2x + 46. 平面直角坐标系中，已知两点 A(3, 1), B( 1, 3),若点C满足0C=入0A+MB(O为原点)，其中刀，入2 R，且入+；2

6、=1,则点C的轨迹是()A .直线B .椭圆C.圆D .双曲线7. 动点P在直线x= 1上运动，0为坐标原点.以0P为直角边，点0为直角顶点作等腰直角三角形OPQ,则动点Q的轨迹是()A .圆B .两条平行直线C.抛物线D .双曲线00)D . y2&已知两点M( 2, 0), N(2, 0),点P为坐标平面内的动点,足|MN| |MP|+ MN - NP = O,则动点P(X, y)的轨迹方程为(2 2 2A . y = 8xB . y = 8x C . y = 4x=4x9.与圆C1：(X+ 3)2 + y2= 1外切，且与圆C2： (x 3)2 + y2= 81内切的动圆圆心P的

7、轨迹方程为二中Woir2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：10.已知圆 Ci: (x+ 3)2 + 卜 1 和圆 C2：(X 3)2 + y2= 9,动圆M同时与圆Ci及圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为11.动圆过点(1, 0),且与直线x= 1相切，则动圆的圆心的 轨迹方程为.12. 已知 ABC的顶点B(0, 0), C(5, 0), AB边上的中线长|CD匸3,则顶点 A的轨迹方程为.13. 已知O O方程为X2+ y2 = 4,过M(4, 0)的直线与O O交于A, B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为14.已知两定点A( 2, 0), B(1, 0),如果动点P满足|PA

8、|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在X轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为2羽.则圆心P的轨迹方程为.2 2拿+yM 1上的任意一点，F1, F2是它的两个焦点,16.P为坐标原点，OQ= PF1 + PF2,则动点Q的轨迹方程是17.设F(1, 0), M点在X轴上，P点在y轴上，且MN = 2MP, PM丄PF,当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.18.已知点C(1,0),点A,B是O O:x2 + y2 = 9上任意两个不同的点，且满足AC -BC =0,设P为弦AB的中点.(1) 求点P的轨迹T的方程；(2) 试探究在轨迹

9、T上是否存在这样的点：它到直线x= 1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点 的坐标；若不存在，说明理由.二中Woir2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：83课时曲线与方程，求轨迹方程一.【三维目标】*7 .1. 知识与技能：复习求轨迹方程的常用方法2. 过程与方法：探究合作式学习3. 情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.二【.重难点】：心1. 重点：解决求轨迹方程的常用方法2. 难点：相关点法求轨迹方程三.【小测试】咗 四.【问题导学】I心1什么是方程的曲线？什么是曲线的方程?五.【例题探究】心_题型一：直接法求轨迹方程例1.已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得弦M

10、N的长为8.试求动圆圆心的解 如图，设动圆圆心为Oi（x, y）.轨迹C的方程.由题意，|OiA|= |OiM|，当Oi不在y轴上时，过Oi作OiH丄MN交MN于H,贝U H朋是MN的中点. |0iM|=7x2 + 4，又 |OiA| = U (X4) 2+ y2,7 (X 4) 2+ y2 =7X2 + 4，化简得 y2 = 8x(xm0).当Oi在y轴上时，Oi与O重合，点Oi的坐标（0，0）也满足方程y2= 8x, 动圆圆心的轨迹C的方程为y2 = 8x.规律方法直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化

11、简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则%Woir 2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.例2.在平面直角坐标系xOy中，点P(a, b)(a>b>0)为动点，F1, F2分别为2 2椭圆拿+複=1的左、右焦点.已知 F1PF2为等腰三角形.(1) 求椭圆的离心率e； 设直线PF2与椭圆相交于A, B两点，M是直线PF2上的点，满足AM BM=2,求点M的轨迹方程.解(1)设 Fi( C, 0), F2(c, 0)(00).由题意，可得 |PF2匸 |FiF2|,即寸(a c) 2+ b

12、2 = 2c,整理得 2(|； + f 1 = 0,得!= 1(舍去)或1= 2-所以e= 2由(1)知 a= 2c, b/3c,可得椭圆方程为3x2 + 4y2= 12c2,直线PF?的方程为 y= W(x c).得方程组的解r=0,ly1 = V 3c,85c，I3/3yr 5 c.A, B两点的坐标满足方程组Hf2,消去y并整理，得5x2 8cx= ly=y3 (x c).不妨设 A(5c, 353cJ, B(0,73© .设点M的坐标为(x, y),则AM =L 8c，y晳c，BM = (x, y+ V3c).由 y=/3(x C),得 c=X 誓y.口二中Woir 2016

13、届高三一轮复习班级:姓名:评价分：于是AM =（Wa 3j5y5x，5y 353xJ BM =（X, V3%）,由AM BM= 2,退 V3x= 2,（8yJ33 ） 念；5xJ x+ I5y-丿化简得 18x2 16/3xy 15 = 0.、Q18x2 15V3将y=両3r代入c=x3-y，E10x2 + 5 亠得c=飞厂> 0.所以x>0.因此，点 M的轨迹方程是18x2 16/3xy 15= 0(x>0).题型二:定义法求轨迹方程例1.已知圆M:(X+ 1)2 + y2= 1,圆N: (x 1)2 + y2 = 9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

14、求C的方程.解 由已知得圆M的圆心为M( 1, 0)，半径ri= 1;圆N的圆心为N(1, 0)，半径r2 = 3.设圆P的圆心为P(X, y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以 |PM|+ |PN|= (R+1)+ (r2 R) = r1 + r2 = 4.由椭圆的定义可知，曲线 C是以M , N为左，右焦点，长半轴长为2,短半2 2轴长为V3的椭圆(左顶点除外)，其方程为-4 +卷=1(XM 2).规律方法(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2) 关键：理解解析几何中有关曲线的

15、定义是解题关键.(3) 利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.口二中Woir 2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：例2.在 ABC中，|BC匸4, ABC的内切圆切BC于D点，且|BD| |CD|= 2,求顶点A的轨迹方程.解 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐 标系，E、F分别为两个切点.则|BE|=|BD|, |CD|=|CF|,|AE|= |AF|. AB| |AC匸2匹点A的轨迹为以B, C的焦点的双曲线的右支 屮0)且a=V2, c= 2,2 2轨迹方程为号2 = 1(x&g

16、t;2).题型三:相关点法求轨迹方程y2例 1.如图，动圆 C1: X由得y2=x29 (x2 9).2又点A(X0, y0)在椭圆C上，故y2= 1 x0.2将代入得£ y2= 1(x< 3, y< 0).+ y2 = t2, 1<t<3,与椭圆 C2： 9 +卜1相交于A, B, C, D四点.点A1, A分别为C2的左,右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.2解 由椭圆 C2： x + y2= 1,知 A1( 3, 0), A2(3, 0).设点A的坐标为(X0, y0);由曲线的对称性，得 B(X0, y0),设点M的坐标为(X, y),直

17、线AA1的方程为y=3(x+3).Vo直线A2B的方程为尸xo3(x-3).a二中Woir 2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：2 x 9因此点M的轨迹方程为y = 1(xv 3, yv0).规律方法(1)一是本题的轨迹方程中，要求XV 3, yv 0,所以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘.二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程.相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(X，y)随另一动点Q(x', y)的运动而有规律地运动，而且动点 Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将X)y，表示成关于X，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求

18、出动点P的轨迹方程.2 222唸+沪 1(yM0) b9 9x2C.9x例2.已知F1, F2分别为椭圆C: "4 + = 1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动 点，则 PF1F2的重心G的轨迹方程为()4x2.+ y = 1(yM 0)22 4y+ 3y = 1(yM 0) D. x +寸=1(y 0)/ 2解析G(x，依题意知 Fi( 1，0)，F2(1, 0)，设 P(xo, yo)，,X0 1+ 1x=3y),由三角形重心坐标关系可得彳3ly血Ly 3即I xg 3x，代入x2+弓=1,"3y,4 3得重心G的轨迹方程为 竽+ 3y2= 1(yM 0).答案 C六.【

19、作业】心1.如图所示，一圆形纸片的圆心为 0，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把 纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()班级:姓名:评价分：A .椭圆 B .双曲线 C.抛物线 D .圆解析 （1 ）由条件知|PM|=|PF|.JHC|PO| + |PF|= |PO| + |PM |= |OM 匸 R> |OF|.P点的轨迹是以O, F为焦点的椭圆.2.已知点P是直线2x y+ 3= 0上的一个动点，定点 M（ 1, 2）, Q是线段PM 延长线上的一点，且|PM| = |MQ|,则Q点的轨迹方程是（）A . 2x+y+ 1 = 0

20、B . 2x y 5 = 0C. 2x y 1 = 0 D . 2x y+ 5 = 0解析 由题意知，M为PQ中点，设Q（x, y），则P为（-2-x, 4-y）,代入2x y+ 3 = 0 得 2x y+ 5 = 0.答案 D3设圆C与圆x2 + （y 3）2 = 1外切，与直线y = 0相切，则C的圆心轨迹为（）A .抛物线B .双曲线C.椭圆D .圆解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y= 0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点（0，3）的距离为r +1,也就是说，圆心C到点（0，3）的距离比到直线y= 0的距离大1,故点C到点（0, 3）的距离和它到直线y= 1的距离相等，符合抛物

21、线的特征，故点 C的轨迹为抛物线.答案 A4.已知M（ 2, 0）, N（2, 0）,则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点 P的轨 迹方程为（）A . X2+ y2 = 2 B. X2+ y2= 4 C. x2 + y2= 2（xm 坐）D. x2 + y2= 4（xm 吃）解析 MN的中点为原点O,易知|OP| = |MN| = 2,P的轨迹是以原点O为圆心，以r = 2为半径的圆，除去与x轴的两个交点.答案 D5. 已知点A（1, 0）,直线I: y= 2x 4,点R是直线I上的一点，若RA= AP,贝U 点P的轨迹方程为（）19%Woir 2016届高三一轮复习A. y= 2xB. y=

22、 2xC . y= 2x 8D . y= 2x + 4解析设P（x,x+ X1 丁 =1,y）, R（xi, yi），由RA= AP知，点A是线段RP的中点，二X1 = 2 x, 即4 y+ y1y1= y.丁=°,点R(xi，yi)在直线 y= 2x4 上,yi = 2xi 4，.一y= 2(2 x) 4，即卩 y= 2x.答案 B6. 平面直角坐标系中，已知两点 A（3，1），B（ 1, 3），若点C满足0C= ?iOA+：22OB（O为原点），其中入，入2 R,则点C的轨迹是（）A .直线B .椭圆C.圆D .双曲线解析 设C(x, y)，因为0C= ?10A+力Ob,所以(x

23、,x= 3入瓜, 即1y=入+ 3瓜,ry+3xJ 卄, 解得又刀+ ?2= 1 ,3y xI 2右，y)= ?1(3, 1) + 欽一1, 3),所以歸+ 3yx= 1,即 x+2y= 5,所以点C的轨迹为直线，故选A.答案 A7. 动点P在直线x= 1上运动，0为坐标原点.以0P为直角边，点0为直角顶点作等腰直角三角形0PQ,则动点Q的轨迹是（）A .圆B .两条平行直线C.抛物线D .双曲线解析设 Q(x, y), P(1 , yo),由题意知|OP匸|OQ|,且 OPOQ= 0,22 2jx + y = 1 + y0,x+ y0y= 0,y0= y代入得 x2 + y2 = 1 + (

24、 x,化简即1,.y=±，表示两条平行直线，故选 B.答案 B&已知两点M( 2, 0), N(2, 0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN| - |MP|+ MN - NP = 0,则动点P(X, y)的轨迹方程为()4xy), NP= (x 2,2 2 2A . y = 8xB . y= 8x C. y = 4x解析 设点P的坐标为(x, y)，则MN = (4, 0), MP = (x+ 2,y)|M|N|= 4, |mP|=P (x+ 2)2 + y2, MN NP= 4(x 2). 根据已知条件得4寸(x+ 2) 2+ y2 = 4(2 x).整理得y2= 8x.

25、A点P的轨迹方程为y2= 8x.答案 B9.与圆Ci: (x+ 3)2 + y2= 1外切，且与圆C2： (x 3)2 + y2= 81内切的动圆圆心P的轨迹方程为设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PCi|=r + 1, |PC2匸9 r所以|PCi|+ |P C2|= 10> |CiC2|,即P在以C1( 3, 0), C2(3 , 0)为焦点，长轴长为10的椭圆上,二中Woir2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：2 2得点P的轨迹方程为25+16= 1.2 2答案(1)A务+聶二110.已知圆Ci： (x+ 3)解析 设动圆的圆心坐标为(x, y)，贝U圆心到点(i,

26、 0)的距离与到直线x= i的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 答案 y = 4x12.已知 ABC的顶点B(O, 0), C(5, 0), AB边上的中线长|CD匸3,则顶点 A + y2= 1和圆C2： (x 3)2+ y2= 9,动圆M同时与圆Ci及圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为解析(1)如图所示，设动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得 |MCi|ACi|= |MA|,IMC2I|BC2|=|MB|,因为 |MA|= |MB|,所以 |MCi| |ACi|= |MC2| |BC2|,即 |MC2| |MCi|= |BC2| ACi|

27、= 2,所以点M到两定点Ci, C2的距离的差是常数且小于|CiC2|.根据双曲线的定义，得动点 M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与Ci的距离小),其中 a= 1, c= 3,则 b2= 8.2故点M的轨迹方程为x2 8 = 1(x< 1).y2 = 4x.11.动圆过点(1 , 0)，且与直线x = 1相切，则动圆的圆心的轨迹方程 为的轨迹方程为解析 法一直接法.设A（x, y），则D（2, 2）jCDK5：+4=3,化简得（X10）2 + y2 = 36,由于A, B, C三点构成三角形,A不能落在X轴上，即尸0.定义法.如图所示，设 A（X,点，过A作AE/ CD交X轴

28、于E.|CD|= 3,.|AE匸 6,23|BE|= 10,则 E(10, 0).顶点A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即（X 10）2 + 卜36,又A, B,C三点构成三角形， A点的纵坐标yM0,故顶点A的轨迹方程为（X 10）2+y2= 36(yM 0).答案 (X 10)2 + y2 = 36(yM 0)13.已知O O方程为X2 + y2= 4,过M(4, 0)的直线与O O交于A, B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在OO内的部分,解析 根据垂径定理知：OP丄PM ,以OM为直径的圆的方程为（X 2）2 + 卜4,它与O O的交点为（1,

29、7;3），结合图形可知所求轨迹方程为（X 2）2 + y2 = 4（0<XV 1）.答案(X2)2 + y2= 4(0 W XV 1) 14.已知两定点A（ 2, 0）, B（1, 0）,如果动点P满足|PA|= 2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为.解析 设 P(x, y)，由 |RA|= 2|PB|,得yj (x+ 2) 2+ y2 = 2寸(X- 1) 2 + y2,2 2 2 23x + 3y - 12x= 0,即 x+ y 4x= 0.P的轨迹为以（2, 0）为圆心，半径为2的圆.即轨迹所包围的面积等于4n答案4n15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为2©.则圆心P的轨迹方程为解析 设P（x，y），圆P的半径为r.222222由题设 y + 2= r , x + 3= r，从而 y + 2= x + 3.故P点的轨迹方程为y2-x2= 1.答案 y2- x2= 122-X b2= 1上的任意一点，F1, F2是它的两个焦点,16, PO为坐标