《趣探杨辉三角的性质》优秀教学设计

1、趣探杨辉三角的性质（人教 A 版选修 2-3 第一章第 1.3.2节探究与发现）一、教材分析1内容和内容解析一、内容：本节课是人教A 版选修 2-3 第一章后的“探究与发现”。杨辉三角蕴涵了丰富的数字规律和数学思想方法，是一个特殊的数阵。 本节课通过设置层层问题，引导学生探究杨辉三角中的数字规律，巩固排列组合知识，并欣赏分形及斐波那契数列等有趣的数学内容。二、内容解析：本节课是人教 A 版选修 2-3 第一章第 1.3.2 节的拓展课，杨辉三角蕴涵了丰富的数字规律和数学思想方法， 是一个特殊的数阵。 探究杨辉三角中的数字规律， 有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数，进行组合数的

2、计算和变形有重要的作用。对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。同时，通过欣赏分形及斐波那契数列等有趣的数学内容，学生可以由此发现数学之美，产生对数学的学习兴趣。另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察与归纳等探究方法，体验数学发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。目标和教学重难点解析一、课堂教学目标（ 1）了解数阵概念，会用组合数表示杨辉三角中的数；（ 2）了解杨辉三角中所蕴含的规律，提高观察和分析问题，运用联系及类比的观点看待问题，从而解决问题的能力；（ 3）归纳出杨辉三角及一般数阵的研究方法，养成发现问题、探究知识、建构

3、知识的学习习惯。二、教学重点及难点解析（一）教学难点通过从不同的角度研究杨辉三角，得到杨辉三角的性质，并最终总结出一般数阵的研究方法。（二）教学难点将杨辉三角的规律用组合数来进行总结。教学问题诊断分析高二学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解。学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，利用适时地问题引导就能建立起知识之间的相互联系，解决相关问题 . 但是，他们对于规律的归纳还有一定的困难，需要适当地引导。因此，在教学过程中需要重点解决：（ 1）探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律；（ 2）培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。教学支持条件分析因为发现

4、杨辉三角中的部分数字规律有一定的难度，本节课采用的是以学生自主探究为主，教师引导探究为辅的探究课类型。为了让学生感受数学的趣味性，本节课具体采用的课前自主探究与课堂合作交流相结合的探究方式。探究时采用个人在课前先探究后课堂合作互动的方式，重点在于发现数阵中的规律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成建构知识的目的。同时也使不同层次的学生都学有所获，让学生体会发现和创造的成就感，发展学生的创造性思维.多媒体辅助教学的应用，可节省时间，增大信息量，增强直观形象性。提倡学习方式的多样化，本节课从“情境引入发现数字规律利用组合数表述结论证明结论” ，始终坚持让学生主动参与，亲身实践。在学生

5、合作、师生互动中，学生真正成为知识的发现者和研究者。在这样的课堂中，不仅学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及到的数学思想得以领会。教学过程设计一、创设情境，激发情感师：我们已经学过二项式定理，现在我们将二项式系数排成一个数阵，请看：第 0 行1第 1 行11第 2 行C 20C 21C 22第 3 行C30 C31 C32 C33第 4 行C40 C41C 42C43 C44第 5 行C50 C51 C52 C53 C54 C55第 6 行C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66第 n 1行C n0 1 Cn11 Cn2 1 C nr11 C nr

6、1 Cnn 12 C nn 11第 n 行C n0 C n1 C n2 C n3 C nr 1 C nr C nn 2 C nn 1 C nn师：经过对表格中的数据整理后，我们得到一张形如三角形的非常优美的表。这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就出现了，我们把它叫做“杨辉三角”。杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合的性质有关，杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于实践。设计意图：通过对杨辉的介绍，让学生了解中国古代数学的伟大成就，增强学生的爱国情感。师：现在，我们

7、能不能回忆一下二项式系数的相关性质？生 1：表中每个数都是组合数，第n 行的第 m1 个数是 Cnmn!m !。m! n生 2：杨辉三角具有对称性、等距性（对称美），即C nmC nn m 。生 3：若 n 为偶数，则中间项的二项式系数最大；若n 为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。生 4：第 n 行的和，即 Cn0C n1Cnn2n 。生 5：偶数项和奇数项的二项式系数和为C n0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn52n 1 。设计意图：通过教师提问，学生回答的方式，让学生回顾前面所学杨辉三角的内容，既起到承上的作用，又为接下来的研究做好铺垫 . 其中，杨辉恒等式能够让学生更容易发现和证明规律，

8、而用组合数表示杨辉三角，能够让学生更容易总结出规律，是本节课研究的关键。二、主动发现，主动发展师：刚才，同学们其实是从横向角度得到了杨辉三角的一些性质与规律。苏轼有一句诗说得好，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这句诗告诉我们需要从不同的角度看待一项事物。我们研究杨辉三角时，是不是也可以从其他角度出发。生 1：从两侧看，三角形的两条斜边上都是数字1。生 2：从相邻两行看，每个数都等于它肩上的两个数字相加，也就是CnrCnr 1Cnr1 。师：回答得很好！那你能不能证明一下呢？生 2：左式CnrCnr 1 =n!n!r 1)!n!( nr1)n! rn!( n1)=右式r !(n r )! (

9、r1)!( nr !( nr 1)!r !( n r1)!师：做得很好！还有没有其他发现？生 3：如图1，从斜向看，第二斜线上的数构成等差数列，ann 。生 4：如图2，从斜向看，第三斜线上的每一个数与其前一个数的差成等差数列，ann(n1) 。2师：这就是我们学过的三角形数。图1图2图3师：还有没发现？同学们可以小组互相合作寻找规律。生 5： 11 的 n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等即杨辉三角是11 的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。生 6：把斜行中第 7 行之前的数字相加得 1+1+1+1+1+1+1=6把斜行中第7 行之前的数字相加得1+2

10、+3+4+5=15把斜行中第7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行中第7 行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行中第7 行之前的数字相加得1+5=6把斜行中第7 行之前的数字相加得1图 4将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的，如图4。师：根据你们发现的规律，大家猜想下列数列的前若干项的和：1 1 1 1（第 1 条斜线）1 2 3 Cn11 （第 2 条斜线）1 3 6 Cn21 （第 3 条斜线）1 4 10 Cn31 （第 4 条斜线）生 6： Cn1 ， Cn2 ， Cn3 ， Cn4 。师：回答得很好！你们有没发现什么规律呢？生

11、6： CrrCrr1Crr2C nr1Cnr1 （第 r+1条斜线）师：你们能不能证明这个猜想呢？生 6： CrrCrr1C rr11Crr1Crr21 ,Crr21Crr2Crr31 ，如此类推，即得 Cnr 1 。设计意图：学生从数字表示的杨辉三角中寻找规律，从组合数表示的杨辉三角中总结规律，并加以证明。这体现了 “观察归纳猜想证明” 的数学研究理念， 并且通过小组合作的方式， 既能降低探究的难度，也能培养学生的合作意识，提高学生的学习兴趣。师：同学们观察得很认真！但是我告诉你们还有其他规律？图7图8生 7：可以发现这些数字为 1，1， 2， 3， 5， 8， 13， 21 ，从第 3 项

12、起每一项都是前两项之和。师：你们能不能归纳出这些数字的规律呢？生 7：a11,a11,anan 1an 2 (n3)师：很好！这就是著名的斐波那契数列。斐波那契在 1902 年提出了一个有趣的问题： “假定每对大兔每月生产一对小兔，而每对小兔过一个月能完全长成大兔，问一年里面由一对大兔能繁殖出多少对大兔来。 ”我们感兴趣的是大兔的对数组成的数列，原来有大兔一对，设为U 0 =1，一个月后一对小兔出生，但是大兔还是一对，U1=1，2个月后小兔长大，而大兔又生了一对小兔，U 2=2这样下去，U 3 =3， U4 =5 而假设第 n 个月后大兔U n对， n1个后大兔为U n 1 对，那么第 n1个

13、月时，原来的U n 对大兔又生出了U n 对小兔，所以第 n2 个月大兔有 U n 2 =U n + U n 1 ，所以具有这样的规律。师：同学们，生活中还有很多和斐波那契数列有关的，你们知道吗？生：斐波那契数列与植物花瓣的关系。3百合和蝴蝶花5 蓝花、耧 l óu 斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛gèn 花8翠雀花13金盏和玫瑰21紫宛34、 55、 89雏菊师：根据斐波那契数列可以画出一条漂亮的螺旋线。根据这个螺旋线，我们可以欣赏到很多漂亮的风景。设计意图：对杨辉三角中部分学生没有发现的性质，教师做简单补充，既让学生了解到杨辉三角中更多的秘密，又让学生学会从不同的角度看待问题

14、。同时，图片及视频形式的资料直观地展现数学之美，增加学生对数学的热爱之情。三、联系生活，知识拓展师：刚才我们研究了杨辉三角的性质，现在我们来看一个问题：在游乐场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内跌落， 碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落， 碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？生：这样解释：钢珠从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加。于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是：这样

15、落入中间区域的概率大，两边的概率小。设计意图：联系生活，以生活的游戏为例，让学生感受数学的应用价值，进一步提升对杨辉三角的认识。四、链接高考，能力提升【例 1】 如图，它满足第n 行首尾两数均为n，表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行第 2 个数是_.1223434774511141156162525166生： an 1ann( n 2)an 1an n ，得 an 1 a22 3n 1( n1)(n2)2n2n2得 an2【例 2】 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有 n 个数且两端的数均为1( n 2 )，每个数是它下一行左右相邻两数的和，

16、如1=1+1 ， 1=1+1 ， 1=1+1 ，n1222363412则第 10行第 4个数 (从左往右数 )为（）1111A B.C.D.1260840504360生：三角形数阵可改写为11112C102C111113C203C213C2211114C304C314C324C33111115C405C415C425C435C44因此第 n 行的第 k 个数 (从左往右数 )为1(kn, n 2, n N , k N ) ，则第13 =k 110 行第 4 个数为nCn 110C91 。840设计意图：以历年高考题为例，将归纳猜想与证明的思想方法应用到解题中，进一步提升学生解决数阵问题的能力。

17、五、探究小结，深化认识生 1：运用了联系、类比的观点看问题；锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。生 2：运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；学会从多角度看问题:“横看成岭侧成峰，远近高低各不同” 。设计意图：本环节通过教师的引导，让学生总结本节课的收获，并由教师进行必要补充。将收获分为两层境界。首先，是知识上的收获，即杨辉三角的秘密；其次，是方法上的收获，通过对杨辉三角的研究，得到了对一般数阵的研究思路，从观察横行、斜行、竖行、折线，局部，整体等角度进行研究。六、布置作业【课堂作业】（1）课本第37 页习题 1.3 A组：第 7 题；（ 2）探究题：杨辉三角中还没被发现的规律。【

18、设计意图】课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对杨辉三角性质的认识探究题则是为培养学生运用数学的意识，感受数学的实用性和人文性。七、板书设计趣谈杨辉三角的性质三、相关性质的证明一、二项式系数的性质1.对称性2.增减性3.二项式系数的和二、杨辉三角的性质1.2.3.二、教学实践心得一、定位准确，设计合理“杨辉三角中的一些秘密”是“探究与发现”栏目中的阅读材料，本节课重点定位在探究，在探究中去发现，采用了自主探究与合作交流相结合的探究方式。探究时采用先思考后合作互动的方式，因为重点在于发现规律。课堂中始终让学生主动参与，亲身实践，在生生合作、师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和研究者，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生体会再发现、再创造的过程，发展学生的创造性思维，从而培养学生观察问题、发现问题的能力。二、关注本质，渗透数学思想本节课从数学的思想方法出发，课堂教学充分体现了思维是数学学习本质这一根本问题，始终在数学思想方法的渗透上下功夫，指导学生从四个不同的