第71圆的切线与弦长问题

1、班级:姓名:评价分：%Byezrur 2016届高三一轮复习71课时 圆的切线与弦长问题一.【三维目标】心.1. 知识与技能：复习直线与圆的位置关系中的切线和弦长问题2. 过程与方法：探究合作式学习3. 情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.二【.重难点】：込“1. 重点：圆的切线和弦长问题2难点：圆的切线和弦长问题三. 【小测试】：心四. 【问题导学】：心1. 解决有关弦长问题的两种方法是什么？2过圆上一点求圆的切线的方法是什么？过圆外一点求圆的切线的方法是什么？五.【例题探究】：叫7.题型一：圆的切线与弦长问题例1.(1)过点(3, 1)作圆(X- 2)2+ (y 2)2= 4的弦，其中

2、最短弦的长为 .(2) 过原点0作圆X2+ y2 6x 8y+ 20= 0的两条切线，设切点分别为P, Q,则线段PQ的长为(3)直线|1： y=x+ a和l2： y= x+ b将单位圆C: x2+ y2= 1分成长度相等的四段 弧，贝 U a2+ b2=.例2.已知圆0: X2+ y2 = 4和点M(1, a).(1) 若过点M有且只有一条直线与圆0相切，求实数a的值，并求出切线方程.若a = U2，过点M作圆O的两条弦AC, BD互相垂直，求|AC| + |BD|的最大值.1Byezrur 2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：六.【作业】：f ,1在平面直角坐标系xOy中，直线X+

3、2y 3= 0被圆(x 2)2 + (y+ 1)2= 4截得的 弦长为.2. 圆 x2 + y2 4= 0 与圆 X2 + y2 4x+ 4y 12 = 0 的公共弦长为.3. 直线y= 2x+ 1被圆x2 + y2= 1截得的弦长为.4. 已知直线 I: y= kx+ 1，圆 C： (x 1)2 + (y+ 1)2= 12.(1) 试证明：不论k为何实数，直线I和圆C总有两个交点；(2) 求直线I被圆C截得的最短弦长.5.已知点 M(3, 1),直线 ax y+ 4= 0及圆(x 1)2 + (y 2)2= 4.(1)求过M点的圆的切线方程；若直线ax y+4 = 0与圆相切，求a的值；若直

4、线ax y+4 = 0与圆相交于A, B两点，且弦AB的长为23,求a的值.371课时 圆的切线与弦长问题一.【三维目标】,1. 知识与技能：复习直线与圆的位置关系中的切线和弦长问题2. 过程与方法：探究合作式学习3. 情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.二【.重难点】：心1.重点：圆的切线和弦长问题2难点：圆的切线和弦长问题三【小测试】：氐四.【问题导学】：丄j1. 解决有关弦长问题的两种方法是什么？(1)几何法，直线被圆截得的半弦长2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形,即 r2=甘 + d2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于X的一元二次方程,由根与系数的关系即可求

5、得弦长AB| /1+k2 X1 X2|yj (X1 + X2)2 - 4X1X2或 |AB|=1 + 却1 -y2|=寸 1 + 閑(y1 + y2)2-4y1y2.2.过圆上一点求圆的切线的方法是什么？过圆外一点求圆的切线的方法是什么？1；，由点斜式方程x=Xo.(1)过圆上一点(X0, yo)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k,由垂直关系知切线斜率为-可求切线方程.若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程(2)过圆外一点(X0，yo)的圆的切线方程的求法kx- y+ yo- kxo= 0.当斜率存在时，设为k，切线方程为y-yo= k(X-Xo)，即由圆心到直线的距离等于半径，即

6、可得出切线方程当斜率不存在时要加以验证.易错防范1过圆外一点的圆的切线一定有两条，千万不要遗漏.特别当算出的k值只有一个时，结合图形检验，一定不要忽视斜率不存在的情况.2. 讨论两个圆的位置关系时，特别是在讨论两个圆相交的公共弦问题时，要 %Byezrur 2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：注意必须是在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才 是公共弦所在的直线方程.五.【例题探究】心题型一：圆的切线与弦长问题例1.(1)过点(3, 1)作圆(X 2)2+ (y 2)2= 4的弦，其中最短弦的长为设P(3, 1),圆心C(2, 2),则|PCl = yf2，由题意知最短的

7、弦过P(3, 1)且与PC垂直，所以最短弦长为2寸2? 一(迄)2 =厶/2.过原点0作圆X2+ y2 6x 8y+ 20= 0的两条切线，设切点分别为 P, Q,则 线段PQ的长为.解析(2)将圆的方程化为标准方程为(X 3)2 + (y 4)2 = 5,则圆心为(3, 4),半径长为由题意可设切线的方程为y= kx,则圆心(3, 4)到直线y= kx的距离等于半径长皈 即2丨=75,解得k=1或k= y,则切线的方程为y=gx或y= x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4,2), (5, 22)此即为P,Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ| = 4.(3) 直线l1： y=

8、x+ a和l2： y= x+ b将单位圆C： x2+ y2 = 1分成长度相等的四段 弧，则a2n丁2解析由题意知，直线11截圆所得的劣弧长为2，则圆心到直线11的距离为专,即lal 即说二2理则a2= 1.2 2 2同理可得b = 1,则a + b = 2.答案 2例2.已知圆0: X2+ 4和点M(1, a) (1)若过点M有且只有一条直线与圆0相切，求实数a的值，并求出切线方程.若a = 2，过点M作圆O的两条弦AC, BD互相垂直，求|AC| + |BD|的最 大值.解(1)由条件知点M在圆O上， 所以 1 + a2= 4,则 a=±3.当a=/3时，点M为(1,寸3),kO

9、M = /3, k切=-普， 此时切线方程为y3= (x 1).即 x+/3y4 = 0,当 a= J3时，点 M 为(1,/3), kOM=73, k切=当. 此时切线方程为y+ J3=(x1).即 X/3y4 = 0.所以所求的切线方程为x + a3y 4= 0或X d3y 4= 0.设O到直线AC, BD的距离分别为di, d2(di, d2>0), 则 d2 + d2= OM2 = 3.又有 |AC|= 24 d, |BD|= 2p4 d2,所以 |AC| + |BD|= 2寸4 d2 + 24 d2.则(|AC| + |BD|)2= 4X (4 d1+ 4 d2 + 2p4 d

10、1 寸4=4X 5 + 16 4 (d1+ d2)+ d2d2=4X (5+ 24 + d%2)因为 2d1d2<d1+ £ = 3,所以 d2d2<罗， 当且仅当d1 = d2=当时取等号，所以4 + d?d2w2,5Byezrur 2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：所以(AC| + |BD|)2<4X $+ 2X2卜40.所以 |AC| + |BD|W 2你,即|AC 1+ |BD|的最大值为2何.六.【作业】：心_2 21.在平面直角坐标系xOy中，直线X+ 2y- 3= 0被圆(x- 2) + (y+ 1) = 4截得的 弦长为.解析 易知圆心坐标为

11、(2, - 1),半径r = 2,所以圆心到直线的距离为d =|2+ 2X (-1)- 3| 塑V5= 5，所以弦长I = 2寸r2- d2=噜. 答案誓2. 圆 X2 + y2- 4= 0 与圆 X2 + y2-4x+ 4y- 12 = 0 的公共弦长为. 2 2 jx + y 4= 0, 解析由1_得X- y+ 2= 0.lx + y 4x+ 4y 12= 0,又圆X2 + y2= 4的圆心到直线x-y+ 2= 0的距离为 靠=迄.由勾股定理得弦长的一半为寸门=12,所以，所求弦长为血答案/23. 直线y= 2x+ 1被圆x2 + y2= 1截得的弦长为.解析离为圆X2 + y2= 1的圆

12、心0(0, 0),半径r = 1.圆心0到直线y= 2x+ 1的距 d22+(- 1) 2 =鲁，故弦长为刃兀/ = /1-5 =誓'答案4/554. 已知直线 l: y= kx+1，圆 C： (X-1) +(y+1) = 12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；2 2(2)求直线I被圆C截得的最短弦长.kx+ 1,法一 (1)证明由r 22L (x 1) 2+(y+ 1) 2= 12,消去 y得(k2+ 1)x2 (2 4k)x 7= 0,因为= (2 4k)2 + 28(k2 + 1)>0,所以不论k为何实数，直线I和圆C总有两个交点.解 设直线与圆交于

13、 A(xi, yi), B(x2, y2)两点,则直线I被圆C截得的弦长|AB|=7 1 + k2 Xi- X2|=2 ， 令 t=4+t-3，则 tk2 4k+ (t 3) = 0,3当t= 0时，k= 4,当tM0时，因为k R,所以= 16 4t(t 3)>0,解得一Kt<4,且 t工0,故t=1+3的最大值为4,此时|AB最小为2需.法二(1)证明圆心C(1, 1)到直线I的距离d=护马，圆C的半径R=V1 + k2逅 R2 d2= 12 +F=11k：+k+ 8，而在 S= 11k2 4k+ 8 中,Y 1 + k1 + k9 = ( 4)2 4X 11X 8<0,

14、故11k2 4k+ 8>0对k R恒成立，所以R2孑>0,即dvR,所以不论k为何实数，直线I和圆C总有两个交点.(2)解 由平面几何知识,2知|AB|= 2低-d2 = 2- 4k+11k，下同法一.法三(1)证明因为不论k为何实数，直线I总过点P(0,1),而|PC|/5<37%Byezrur 2016届高三一轮复习班级:姓名:评价分：=R,所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线I总经过圆C 内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.解由平面几何知识知过圆内定点 P(0,1)的弦，只有和PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0, 1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|= 12-5即直线l被圆C截得的最短弦长为2/7.5.已知点 M(3, 1),直线 ax y+ 4= 0及圆(x 1)2 + (y 2)2= 4.(1)求过M点的圆的切线方程；若直线ax y+4 = 0与圆相切，求a的值;若直线ax-y+4 = 0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2/3,求a的值.解 (1)圆心C(1，2)，半径 U 2，当直线的斜率不存在时，方程为x= 3.由圆心C(1，2)到直线x= 3的距离d = 3 1= 2= r知, 此时，直线与圆相切.