用构造法求数列的通项公式

1、用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列-等差数列等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一 些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通 项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1： ( 06年福建高考题)数列：an中4=1, an .1 = 2an侧an = ()A . 2n B . 2n 1 C . 2n -1D . 2n 1解法 1: an 1 =2an 1又 a11 = 2&1 是首项为2公比为2的等比数列an 2 2n 2n,. an =2n -1 ,所以选 C解法2归纳总结：若数列满足 an 1 二 pan q

2、(p T,q 为常数)，则令 an 1y = p(an ')来构造等比数列，并利用对应项相等求'的值，求通 项公式。例 2:数列 & '中，a 1,a2 = 3, an 2 = 3an 1 -2an，贝U an 二。角牛.an 2 -ani =2(an i - an)a2 -a2 . fan-anji 为首项为2公比也为2的等比数列。an - an=,(n >)n>1时显然n=1时满足上式小结：先构造 二-a.等比数列，再用叠加法，等比数列求和求出通项 公式，例3:已知数列 仁中ai =5,a2 = 2, an =2an 3an?(n _ 3)求这个

3、数列的 通项公式。解：；an 二 2an _i - 3a_2又ai a? =7an an J形成首项为 乙 公比为3的等比数列，则 a. a.=7 3n，又 an -3弘二 -(an-3%/),a2 -3ai - -I3 ,-3an形成了一个首项为一I3，公比为一I的等比 数列则 an -3an4 =(T3)i)2 3 4an =7 3n4 -13 (T)n小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。例4 :设数列；a的前项和为Sn,若2an-2n=Sn成立，求证:匕- n -2nJ 是等比数列。(2)求这个数列的通项公式证明：(1)当 n =1

4、,b a1 -2 = (b -山a 2又 b an -2n =(b -1) Snb an1 -2n1 =(b_1) Sn1一b an 1 - b an " 2 = (b " 1) an 1当 b = 2时，有 an 2an - 2n又 a214 =1-9n -n 2n4'为首项为1，公比为2的等比数列，小结：本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。例 5:数列'an满足 a1 = 3, an2an 32n 1，则 an 口A. (3n-1) 2n B . (6n-3) 2

5、n4 C . 3(2n-1) 2n 1 D . (3n - 2) 2解：；an2an 3 2n 1r 弄号 3二色4构成了一个首项这3，公差为3的等差数列，,22an =2 2(3n )=(6n3) 2nJ 所以选 B。2小结：构造等比数列，注意形，当n，n J时，变为開。例6：已知函数f (x) =( x 、.2)2,(x 一0)，又数列况沖6=2，其前n项 和为Sn，(n N )，对所有大于1的自然数n都有Sn = f(Sn)，求数列n / 的通项公式。解：f(X)乂 X 、2)2,Sn = f(Sn» =(、. Sn.2)2 ：/S；是首项为2，公差为2的等差数列。Sn 二 2

6、 (n-!)、2 = 2n,. Sn = 2n2。n 亠 2 时，an = Sn - Sn = 2 n -2(n -1)=4n-2且当n=1时，ai=2=4 1-2符合条件-通项公式为an =4n -2例7：(2006山东高考题)已知ai = 2，点(an, an i)在函数f (xH x2 x的图象上，其中n二1,2,3,求数列d 1的通项公式。解：；f(X)= X2 2x又(an,anJ在函数图象上"lg(an是首项为lg3公比为2的等比数列 小结：前一个题构造出.Sn为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造 归an 1 /为等比数列，再利用对数性质求

7、解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我 们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为 纽带，架起函数与数列的桥梁，揭示它们之间内在联系，从而有效地解 决数列问题。例 8 :(2007 天津高考题)已知数列满足印=2耳1 = Q L (2 - )公，(N*)其中 0，求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式, 从而为求£n 1的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。解：an 1 Van J (2 - )2n,(n N*, 0)an1 2、n1 an2、n ”nr -( )n -( ) 1-。扎扎扎扎所以瞎-(2)n1

8、- an-(-)n 珂色-Jo九丸儿九丸人所以-(2)n为等差数列，其首项为0，公差为1；j /.I例 9:数列"an '中，若 aj =2， an -1，则 a4 =1 + 3anA. B . 16 C . 8D .-191554解:an1 3anan 1anan又1=1丄;是首项为丄公差3的等差数列。ai 2 a/2a422 所以选A6 4-519变式题型：数列 d冲，ai=2,ani2习，求an =1 +3an解:2an1 3an11 3an3 1 1= r *an 12an2 2 a.卡一3是首项为-I公比为1的等比数列小结:an q二f (an)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系，相互渗透，最后融合到一起