定积分在高考中的常见题型

1、定积分在高考中的常见题型解法贵州省印江一中(555200)王代鸿定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算，也是微积 分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看， 定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分 的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。一、利用微积分基本定理求定积分1、微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F (x) f(x),那么bf(X)dx F(a) F(b).这个结论叫做微积分基本a定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。2、例题讲义一 一 e 1例1、计算乂- 2x)dx1 x解：因为(lnx x2) - 2xx,e

2、,1所以 1( 2x)dx =( in x x ) |： (In e e ) (In 1 1 ) ex【解题关键】：计算bf(X)dx的关键是找到满足F (x) f(x)的函数 aF(x)。跟踪训练：1计算02(ex cosx)dx二、利用定积分的几何意义求定积分。1、定积分的几何意义：设函数 y=f(x)在a,b上y=f(x)非负、连续，由直线 x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形面积bS= a f (X)dx2、例题讲义：例2、求由曲线y 2五1 ,直线y x2及y轴所围成的图形的面积S等于=解：联立方程组(如图所示)五1解得x 4x 1y 3S=S AOBSffi边梯

3、形 OBCES曲边,W BCD11 ,、4,、=-1 1Wx DdxWx 1) (x 1)dx20212 212 21 24=-(-xx)|o(-x-x2x)12332【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形， 再求面积和例 3、求：，4-(x 2)2dx 的值解：令 y 4 (x 2)2(y 0) 则有 y2 4 (x 2)2(y 0) 及(x 2)2 y2 4( y 0)右图所以 4,1-(x 2)2dx 1% a 20，2【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点求其定积分练习：由直线x 1, x=2,曲线y 1及x轴所围图形的面积为（） 2xa 15

4、17- 1A.B.C.In 2D.2 In 2442三、利用变换被积函数求定积分1、从积分变量X分割的几何图形较多，不容易求其定积分时，就变 换被积函数求其定积分。2、例题讲义例4、求抛物线y2 2x与y】解：方法1分割如右图如图所示联立方程组2y 2x 九”曰 x 2 f x 8解得八或 ，x 4直线所围成的图形的面积。y广区一y x 4y 2 y 4=182方法2：由y2 2x得x ）,由y x 4得x y 44y2所以 S= 2（y 4 -）dy 18 -22【解题关键】：改变被积函数求面积比分割求面积简单四、定积分与几何概型知识的交叉应用例5、如图，四边形OACB是AB=1,AD2的矩形，阴影部分是由直线x=1与抛物线y2 2x围成的区V !X.y 一.44域，在矩形ABCD内(含边界)任意取点，则这点取自阴影部分(含边界)的概率是多少？解：如图所示本题是古典概型【解题关键】：求曲边梯形OACBD 面积练习：设区区域D (x,y)|0 x 2, 1 y 3 ，在区域D 内任取一点，则此点落