常微分方程习题(2)(20210112091250)

1、dy1厶2.1，并求满足初始条件：x=0,y=l的特解.解：对原式进行变量分离得dy = 2xdx.两边同时积分彳寻in卜卜f + c.U卩y = eg，把x = Q y = 1代入得 一 I故它的特解殛=£匚2. y x + (x + l)y = 0,y井求满足初始条件：x=O,y=l的特解. 解：对原式进行变量分离得：c + ln x + icix = My,当y H OfN*,两边同时积分得in -v +1 = + t即丫 = x+1 y'当y = 0时显然也是原方程的解 当x = 0,y = l时，代入式子得c = l,故特解是y =l + ln|l +a|）_ 1+

2、ydx xy + xy解：原式可化为：2 2g注 一Lr显然少"故分离变g得亠办Lpdx dx y x+x yi+y r两边枳分得丄In I + y' = In忖-丄la 1 +# 0)即(1 + 才)(1 + 劝5 2 2故原方程的解为Q + V )(1+ x > ®4:(1 + x)yJx + (l - y)xdy = 0解:tllv = osju = 0是方程的解，当变量分ldx = dY = 0 XV*两边积分In X + x + In y - y = c.Bpln xy +x y = c 故原方程的解为In I对=x-y = c;y = 0;x =

3、05 ： (y + xdy + (y x)tZr = Os dy y X * Vt/yeiudx y + X X dxdx则"+乂仝 =变量分离，得:-'；+1如=丄厶dx " + 1+ 1X两边积分得：aretfu + * ln(l + 况?)= In|x| + c 6： x = y + Jx2-h解；令2L = w = M + X竺二则原方程化为:Xdxdx<Zv"X a 况)，分离变量得：1 </n = sgnx tZx两边积分得:arc sin n = sgnx In|x| + e代回原*变量，得arc sin = sgn x ln|x

4、| + c 另外，= 乂2也是方程的解。7： tfydx ctfxdy = O解 s 变量分离，W： ctfydy = tfxdx 网边积分得dn|sin y = ln|cosx| + c.y *3.t8 竺=_R dxy解：变量分离，得斗，=一丄丘3 +。y3e9 : x( In X tn ydx = O角牟： 方程可变为:In t/v tZx = OA： -V令 =,贝 I有:chc d In uXX1 + In li代回原变量得：cy = 1 + Ing空十、 dx匕解：变量分离r'心=R dx两边积分e" = e" +dy x-y矿E解：变虽分离dy = ”

5、& 两边积分得:e" = e+c"务(M解:令V + y N八贝y色.也+ Idx dx原方程可变为$1 + 1dx #变虽分离得: 一dr =厶两边积分acgr = -V + C 厂+ 1代回变虽得：rt«yg(x + y)x + cdy 112 dx (x+y)-dx令A+v = /.则空-h原方程可变为空-A + l° dxdx rdx变虽分离片和"两边积分"心+,代回变虽 X+ y- areig(x + y) x + c13 竺=2-y-1dx X - 2y +1解：方程纽x-y_1 = 0,x_2y + l = 0;

6、的解抵=,y =-令;v = x-丄,y = y +丄,则有空33 dX X-2Y令L = u.则方程可化为：X丝=2一2U + 2(rXdX变量分离1-2C/dx X- y-2解：令y = 5=f,则 d = i_少，dx dx原方程化为一=丄，变量分离(一7M - 7厶dx t - 7两边积分f"-7z = -lx + c代回变量一(Xy+5)-7(x-y + 5) = -7% + c=(大 +1)2 +(4y + l)" + 3xy +1 dx15.解：方程化炷“+2x + l + l6v2+8v+l+8xv+l = (x+4v + l)2 + 2dxVVg+g,则关

7、衣求导紬+畔普所以掳-+?4dx分离变量乔#"两边积分徐"（彳+? +即） = 6*是dy _)-2"原方程的解。16.c/x 2xy +兀夕dy_ (/)'-2a-6/ _3(y)-2A|,令3解：dx y2xy+x- dx则原方程化为chi 3“ 2 -6x"dx 2xu + X"齊-6X'2- + 1X40则= + .T.所以兰兰7 + X虫.，A«-X 办 dx2； + 1dx dx 2； + I= iO; = 3 = -2M 方程的W。B!V=3a<?=-2aM方程的解。V-Z-6*W-L 变fi分离=

8、 两边积分的 t-3)t + 2r«九.z'-z-a X即33n“y+2Wxk艾冈为卩=3谶-2咆含在通解中当206扎故原方程 的解为3川尸+ 2刘=讥dy2x' + 3xy + Xdy _ x(2宀 3)2+1)dy2 _ 2宀3屮+17 dx 3xy + 2y -y解：原方程化为"y）畑2+2尸_1）" dx- 3x-+2y-F->i.ni du 2v + 3u +1dv 3v + 2" -1V"=y;贝 IJ令二为解为"令7十-s+l,方程组从而方程Q）化为4则有(2)y 1,1,17 - rfv . dt

9、 Efi . dt 2 + 3zdt 2 2;令 wdzdzdz 3 + 2/dz 3 + 2z当2-2r =Offt» r即r = ±h是方程（2）的解。得y，-2或）"=-大2是原方程的解 2-宀砒分离变量彳恃"如两边积分附+宀另外r=x2-2,或,2=_天2,包含在其通解中，故原方程的解为r+_v=（r-x+2）V1&证明方程-= = /（Q）经变换= 化为变量分离方程，并由此求解下列方程 y （ix（y（i + x-y-）dx = xdy/a、xdy _2 + x-y-（2）丁 = r"ry dx 2-x-y-du证明：因为cy

10、 = u，关于X求导导得y + x=奚所以x¥ = M-y dx dxdx dx得丄学_l = f(ti).=!.(f(u)+I) = l(uf(u)+u)y dxdx = y(f(u)+l) xx故此方程为此方程为雉c解:当x=0y = 0是原方程的解，当xy工Os时，方程化为学i + x'y' y dxJ令xy = u,则方程化为竺=丄（211 +）,变量分离得- = -dxdx X2u + u X两边同时积分得7= cxl即一= cxly = o也包含在此通解中。1 + 2xy + 2故原方程的解为上一=C x1 X = 0. x'y'+2分离变

11、量得口1血=丄2两边积分得11】上=解令xy = u,则原方程化为史=丄（“士M + rf） =丄上 dx X 2-a"X 2-m"4"学+Q,这也就是方程的解。4J f xdt = 1.x H 0.试求函螂（X）的一般表达式19.已知 f（x）ojf(x)dt = -解：设f(x)存则原方程化为0y两边求导得W畔;*皿"踪;斗十;两边积分得“R#；;所以y = ±备XI把) = ± -= 代入 “Wf"=- yl2x + C 0y± f-= i阿cit = ±j2x + c;土(J2x + c -逐)=±J2x + f得c = 0,所以y = ±j=J2x20求具有性质x(f) + xG)x(t+s)一兀x")的函数x(t),已知彳(0)存在。x(0) + x(0)2x(0)解J令t=s