平面向量的数量积1

1、全国名校高考数学复习优质专题，学案汇编（附详解）平面向量的数量积A级 基础演练（时间：30分钟 满分：55分）一、选择题（每小题5分，共20分）1若向量a= (3, m), b= (2, 1), a b= 0,则实数m的值为().B.3C. 2D. 6解析由 a b= 3X2 + mx( 1) = 0,解得 m= 6.答案 D2.（优质试题 江西六所重点中学联考）已知|a| = 6, |b| = 3, a b= 12, 则向量a在向量b方向上的投影是C. 2解析设a与b的夹角为0,a b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而a b 2C0S =丽=3,|a|cos 9= 6X3 丿

2、=-4.答案 A3.（优质试题广东）若向量a, b, c满足a / b,且a丄c,则c （a+ 2b）).C. 2解析 由 a /b及 alc,得 blc,贝J c (a + 2b) = ca + 2c b= 0.答案 D4. （优质试题 天津）已知 ABC为等边三角形，AB= 2.设点P, Q满3足AP= :Ab, AQ=（1 ；）AC,疋 R若BQ CP= 2,贝J 入等于().a.2J ±10 C. 2b1±2B . 23i2V2 D.-y解析 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，贝J B(2,0)，C(1, /3)，由 AP= :Ab,得 P(2

3、 人 0)，由 aQ= (1；)AC,得 0(1-人3(1 /)，所以BQ CP=( X-1,73(1 ；)(2 入311,V3)= (x+1)(2 入一1)/3xV3(1 ；)= 2 解得入 =2.答案 A二、填空题（每小题5分，共10分）5.（优质试题北京）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则dE CB的值为；DE dC的最大值为解析 以AB, AD为基向量，设AE= 2ab（0用1）,则DE=AE AD=XB AD, CB = AD，所以 DE Cb = (?AB AD) (AD)=?AB AD + AD2 = xx0+1 = 1.又龙=AB，所以 dE DC = (:

4、AB aD) aB= 22AdD aB= XX1 -0=疋 1,即dE dC的最大值为 i.答案11EF C6.（优质试题 渭南）如图，在矩形ABCD中，AB = V2, D若aB诽=边，则aE bF的值是BC = 2,点E为BC的中点，点F在边CD上，解析 以A点为原点，AB所在直线为x轴，ADA所在直线为y轴建立直角坐标系xOy,则aB=（72,0), aE=(迈，1),设 F(t,2)，则 AiF= (t,2).*-aB AF=J2t=V2,t= 1,所以aE bF=,1)(1 V2, 2)=V2.答案/2 三、解答题（共25分）7. (12分)设向量 a, b满足|a|=|b|= 1

5、及|3a 2b|=術.(1)求a, b夹角的大小；求|3a+b|的值.解 (1)设 a 与 b 夹角为 0, (3a 2b)2 = 7,即 9|a|2 + 4|b|2 12a b= 7, 而 |a|= |b|= 1,111二 a b= 2,二 |a|b|cos 0= 3, 即卩 cos 0= 3,全国名校高考数学复习优质专题，学案汇编(附详解)n又0 0, n. a, b的夹角为3.(3a+ b)2= 9|a|2 + 6a b+ |b|2 = 9+ 3+ 1 = 13, |3a + b|=Vi3.8 (13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A( 1, 2), B(2,3),C( 2, 1).

6、(1)求以线段AB, AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;设实数t满足(AB tOC) OC= 0,求t的值.解(1)由题设知 AB= (3,5), AC= ( 1,1)，则AB + AC= (2,6), AB AC= (4,4).所以 |AB + AC|= /ic, |ABAC|= 4磁. 故所求的两条对角线长分别为4/2, 210.由题设知 OC= ( 2, 1), AB tOC= (3+ 2t,5 +1).由(AB tOC) 0C= 0,得(3 + 2t,5 +1) ( 2, 1) = 0,11从而5t = 11,所以t =三.5B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择

7、题(每小题5分，共10分)1. (优质试题 鄂州模拟)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知向量OA= (2,2), OB= (4,1)，在x轴上取一点P,使APbP有最小 值，则P点的坐标是().A. ( 3,0)B. (2,0)C. (3,0)D. (4,0)全国名校高考数学复习优质专题，学案汇编（附详解）解析设P点坐标为（x,0）.则AP=(X 2, 2), BP=(X 4, 1).AP BP=(X 2)(x 4)+ ( 2) X ( 1)=X2 6x+ 10 =(X 3)2 + 1.当x = 3时，APBP有最小值1.此时点P坐标为（3,0），故选C.答案 C2. （优质试题 广东）对

8、任意两个非零的平面向量 a和B,定义a =兰/X,1冗若平面向量a, b满足|a|> |b|>0, a与b的夹角e p, 4丿，且ab和ba都在集合訓 Z 中，则ab=A.2C.!D"5解析由定义a =*%得 a_b |a| I bIcos e |b|cos e , ba =孑=|a|2 = |a| ，由|a|> |b|>0,及0少評1,从而普e= 2,即|a|= 2|b|cosa b |a| |b|cos e_ |a|cos e Qab= b2 =bi2= iq=2cos2 e,因为M。，n，所以警1VCOS 9<1,所以2<cos2 e<

9、1，所以1v2cose<2.结合选项知答案为C.答案 C二、填空题（每小题5分，共10分）3. 已知向量 a, b, c满足 a+b+ c= 0, (a b)丄c, a丄b,若|a|= 1, 则 |a|2 + |b|2+ |c|2 的值是.解析由已知 a c- b c= 0, a b = 0, |a|= 1,又 a+b+ c= 0,/a (a+b+ c)= 0, 即卩 a2+ a c= 0,贝J a c= b c=- 1,由 a+b+ c= 0,/(a + b+ c)2 = 0,即 a2+ b2 + C2 + 2a b+ 2b c+ 2c a= 0,a2+ b2+ c2 = 4c a=

10、4,即 |a|2 + |b|2 +1©2= 4.答案44. （优质试题 安徽）若平面向量a, b满足|2a3,则a b的最小值是.解析 由 |2a b|< 3 可知，4a2 + b2 4a b< 9,所以 4a2 + b2< 9 +4a b,而 4a2 + b2= |2a|2 + |b|2>2|2a| |b|> 4a b,所以 a b> 8,当且仅当2a= b时取等号.三、解答题（共25分）5. （12分）设两向量ei, e满足|ei| = 2,匸1, ei,殳的夹角为60°若向量2tei + 7e2与向量e +1e2的夹角为钝角，求实数

11、t的取值范围.解 由已知得 e1 = 4, e2 = 1, e1 e2= 2x 1 x cos 60 = 1.二(2te1 + 7e2) 21 +1e2)= 2te2 + (2t2 + 7)e1 e2 + 7te2= 2t2 + 15t + 7.1欲使夹角为钝角，需2t2 + 15t+ 7v0,得7vtv 2.设 2tei + 7e2= Xei + te2)(0),i7=t2t2=7八学此时=0.即t= 2时，向量2tei + 7e2与ei +1e?的夹角为n.当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是7,呼U回V2 / vAA2 丿，npcos 2, sin -丿,6. （13分）（优质试题 渭南模拟）在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知 m= (cos 3a, sin 3A'且满足|m + n| =书.（1）求角A的大小;若|AC+ |AB|=/3|BC|,试判断 ABC的形状. 解 (1)由|m+ n| = V3，得 m2+ n2 + 2m n = 3, 加r3AA . 3Aa即 1 + 1 + 2 (cos -ycos 2 +sin -ysi n = 3, cos A= .TOvAvn, A=扌 |AC+ |