平行四边形梯形讲义

1、中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间授课题目平行四边形复习课使用教具讲义、纸笔教学目标会应用学会和认识梯形的基本性质和定理基本定理和性质解决一般问题教学重点和难点梯形相关问题的综合应用以及辅助线的做法龙文教育教育是一项良心工程1、2、3、4、5、参考教材（人教版）八年级数学下册教学流程及授课详案知识点小结有关概念梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形的底、梯形的高、梯形的腰 ； 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。、等腰梯形的性质；1、等腰

2、梯形性质定理1:等腰梯形在同一底上的两个角相等。2、等腰梯形性质定理2:等腰梯形的两条对角线相等。3、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 、等腰梯形的判定；1、等腰梯形的判定定理I。：在同一个底上的两个底角相等的梯形是等腰 梯形。2、等腰梯形的判定定理2:对角线相等的梯形是等腰梯形。研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或 两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一 点；或延长两腰交于一点。例1（ 1 ）下列语句中错误的是（）A. 只有一组对边平行的四边形是梯形B. 有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形C有一组对

3、边平行的四边形是梯形D. 组对边平行且不相等的四边形是梯形（2 ）下面结论：等腰梯形中不可能有直角；直角梯形中不可能有等腰; 等腰梯形是对称图形，其中结论正确的是 （只填序号）。、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角 形和一个平行四边形。中小学1对1课外辅导专家例1如图1，梯形ABCD的上底AB=3下底CD=8腰AD=4求另一腰 BC的取值范围。图1析解：过点B作BM/AD交CD于点M则梯形ABCD专化为 BCM和平行四 边形 ABMD 在 BCM中, BM=AD=,4CM=CDDM=CDAB=8- 3=5,所以 BC 的取 值范围是：5-4<BC<

4、;+ 4,即 1<BC<92、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰 转化到同一个三角形中。例 2女口图 2,在梯形 ABC冲，AD/BC,/ B+/C=90 , AD=1, BC=3 E、F分别是AD BC的中点，连接EF,求EF的长。析解：过点E分别作AB CD的平行线，交BC于点G H,可得/ EGHh/ EHGh B+/ C=90°则 EGH是直角三角形因为E、F分别是AD BC的中点，容易证得F是GH的中点所以EF1=GH2=-(BC -BG -CH )21=-(BC21 =-(BC2-AE-AD1 丄-DE ) =-BC -(AE +D

5、E )21)=一(3 1) =123、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到 一个三角形中。例 3女口图 3,在等腰梯形 ABC冲，AD/BC, AD=3 BC=7 BD=572 , 求11I 证：Ad BD。析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形，贝U DE=BC CE=BD=V2，所以 AE=AD- DE=AD- BC=3 7=10。在等腰梯形 ABCD中AC=BD= J2所以在 ACE 中AC 2 +CE 2 =(5防)2 +(572)2 =100 =AE 2，从而 AC丄 CE 于是 Ad BB【变式1】（平移对角线）已知

6、梯形ABCD勺面积是32,两底与高的和为16, 如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为 例 4如图 4,在梯形 ABCD中, AD/BC, AC=15cm BD=20cm 高 DH=12cm 求梯形ABC啲面积。析解：过点D作DE/AC,交BC的延长线于点E,则四边形ACED是平行四边形，即 S ABD=SCD =SCE。所以 S梯形ABCD=S凶BE由勾股定理得 EH =VDE 2 -DH 2 =JaC 2 -DH 2=<152 一122 =9 (cm)BH = JbD 2 -DH2 =丿20 2 -12 2 =16 (cm|)所以S胪150cm。= LbE QH =2x(9

7、 +16) x12 =150 (cm 2),即梯形 ABCD的面积是 2 2、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例 5如图 5,在梯形 ABCD中, AD/BC,/ B=50°,/ C=80 , AD=2 BC=5求CD的长。析解：延长BA CD交于点巳在 BCE中,/ B=50，/ C=80° 。所以/ E=50°,从而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EGED=5- 2=3【变式2】如图所示，四边形 ABCD中, AD不平行于BC，AO BD AD= BC.判 断四边形ABCD勺形状，并证明你的结论.B【变式3】（延长两腰）如图，

8、在梯形屈CO中，虫，上C+上D二92,5、卩为血、CD的中点。三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例6J如图6,在直角梯形 ABC冲，AD/BC, AB丄AD BC=CD BEX CD于点E,求证：AD=DE析解：连结BD,由AD/BC，得/ ADB玄DBE由 BC=CD 得/ DBCM BDC 所以/ ADB2 BDE又/ BADM DEB=90 , BD=BD所以 Rt BA医Rt BED 得 AD=DE四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角 三角形或矩形。例 7如图 7,在直角梯形 ABCD中, AB/DC,/ ABC=90 , AB

9、=2DC 对 角线AC丄BD垂足为F,过点F作EF/AB，交AD于点E,求证：四边形 ABFE 是等腰梯形。析证：过点D作DGLAB于点G,则易知四边形DGB（是矩形，所以DC=BG因为AB=2DC所以AG=GB从而DA=DB于是/ DAB2 DBA又EF/AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为 两个直角三角形和一个矩形。例8如图8,在梯形ABC冲，AD为上底，AB>CD求证：BD>AC析证：作AE1 BC于 E,作DF丄BC于F,则易知AE=DF在Rt ABE和 Rt DCF中，因为 AB>CD AE=DF所以

10、由勾股定理得BE>CF即 BF>CE 在 Rt BDF和 Rt CAE中由勾股定理得BD>AC五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例9如图9,在梯形 ABC冲，AB/DC，0是BC的中点，/ AOD=90， 求证：AB+ CD=AD析证：取AD的中点E,连接0E则易知0E是梯形ABCD勺中位线, 从而OEJ ( AB+ CD2心AOD中,/ AOD=90 , AE=DE所以OE =-AD 2由、得AB+ CD=AD2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延 长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例10如图10,在梯形ABC冲，AD/BC

11、, E、F分别是BD AC的中点, 1求证：(1) EF/AD； (2) EF =(BC -AD)。2图10析证：连接DF,并延长交BC于点G,易证 AFDA CFG则 AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF> BDG勺中位线从而 EF/BG，且 EF Jbg2因为 AD/BG, BG =BC _CG =BC _AD4所以 EF/AD, EFJpc _ad)2三、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题 的目的。例4、在梯形ABCD中, AD/ BC, / BAD=90, E是DC上的中点，连接 AE 和 BE 求/ AEB=N CBE解、分析：分别延长 A

12、E与BC，并交于F点，从而等到 ADE与 FCE是 全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论” 。 解：分别延长AE与 BC，并交于F点V/ BAD=90且 AD/ BC/ FBA=180/ BAD=90 又 V AD/ BC/ DAE/ F（两直线平行内错角相等）/ AED/ FECDE=EC ADEA FCE AE=FEDa£F C B（对顶角相等）（E点是CD的中点）（AAS在 ABF中/ FBA=90 且 AE=FE BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 在 FEB中 / EBF=/ FEB / AEB/ EBF+ / FEB=2/

13、CBE【模拟试题】11cm, 35cm,则它的腰长为,它的两底分别为1. 若等腰梯形的锐角是60°mABCD中 AD/ BC,/ B= 60°, AD-2, BO 8,2. 如图所示，已知等腰梯形则此等腰梯形的周长为（）C. 21D. 22A. 19B. 20DACB3.女口图所示，AB/ CD AE±DC AE 12，BD= 20，AO 15，贝U梯形 ABCD勺 面积为（）A. 130 B. 140 C. 150 D. 160C本节总结:人说几何很困难，难点就在辅助线。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。 平行移动对角线，补成三角形常见。 等积式子比例换，寻找线段