导数常用的一些技巧和结论

1、全国名校高中数学二轮复习学案优质课时训练专题汇编(经典优质试题汇编)t 取+ 1X X Id /= 一1Inx<x-l(x>0).vW诩工彳1ln(jc4-l)<r(x >1)室乘消项X +T取三即二七1理一 xIn工hi3-In叮>x xIfl ' +1 即】n fJ xX加强版导数常用的一些技巧和结论1 1 1-|L" I! V 'll >1-2 3<1 口(打+1)< 1 + 414*】 人2 打加强版X -1 > In x > -ex > £-1证明调和级数不收敛+ 2>ln(n

2、 + l)一、基础练习题：L讨论函数/二2柒。巴(工>0)的零点的个数； x2 .讨论函数f(x) ="(1 -" - 2x) - a, (x > 0)的零点的个数；3 .讨论函数/() =，-二，的零点的个数；x4 .讨论函数/(工)=+ L-出的零点的个数； x5 .讨论函数的零点的个数；64！时，讨论函数/(h)=出工-仆的零点的个数； eL关系式为“加”型 / （x）+/（x）o 构造，/（£） =，!/（/|<2> 寸+/(r)2 0 构造（3）炉（x）+叭工）之0构造卜/（工）| 二上了|x）+，4/（上上”“47|士叨/J 注

3、意对工的符号进行讨论2.关系式为“海川型(2) / (x)-/U)>0_ /(/ - /aw -，包一/(”xf (x)-f(x>0 构造如）一/（。X2（3 xf （x）-nf（x）0构造冬卜x了"彳（?二,（、） 注意对工的符号进行讨论）1、lll(x + 1) W x(sc > li2、e* > 化 + l(z G R):2Q 1) , .;Ina:(x 1)E + 14、:2(工一1) ,、Ina; W - (0 V rr W 1)x + 1'5、11In® W )(x21)2x6、11Inrr ) 一(比一一)(0 <

4、63; W 1) 2a?7、ln(l +£)2£ 3(-o) J(优质试题年全国新课标1 理 21)已知f(x)=ae2x+(a.2)ex . x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解析：(1 ) f'(x ) = 2ae2x +(a -2 Jex 1 = (2ex +1 * aex -1 )若aW0,则f'(x)<0恒成立，所以f(x)在R上递减；若 a >0 ,令 f'(x)=0,得 ex=1,x = ln1. a a当 x <ln 1 时，f'(x)<0 , 所以f(x )在

5、U,ln1 i上递减； a. a当 xln 工时，f'(x)>0, 所以f (x )在ZnLy上递增. aI a J综上，当aE0时，f(x任R上递减；当a>0时，f(x )在 Q,ln)上递减，在Jn -, I a)I aJ上递增.(2 ) f(x)有两个零点，必须满足f(x)min<0 ,即a>0 ,且，.1，1. 1-f xlfn=-1l l n.0m i n . aa a构造函数 g(x )=1-x-lnx, x>0.易得 g'(x )=-1<0 ,所以 g(x)=1-x-lnx单调递减. x又因为 g(1) = 0,所以 11ln

6、工 <0u g 11 <g(1)u 1 >1 0<a<1. a ala Ja下面只要证明当0<ac1时，f(x)有两个零点即可，为此我们先证明当x>0时，x ln x .事实上，构造函数 h(x) = x-lnx ,易得 h'(x) = 1-1 /. h(x nm =h(1) = 1 所以 h(x)0 x当 0 <a <1 时，f(-1 尸且 +aS2 +1 = e e2a ea e -2>0,/3-a)/3)/3)/3)3/3)fn=a-1 I +(a-2l -1 l-ln -1 = -1-ln -1 >0 ,I a

7、JlaJlaJlaJ ala/其中_1<ln1 in3/1所以f（X）在匚1,ln 1 i和ln 1,ln三a i上各有一个零点a a aaa a故a的取值范围是（0,1）.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。ae2x +(a 2 )eX-x>0u ae2x +(a-2 )ex - ex 2 0u aex + a 3 2 0u ex >-au x > ln '3-1 ； alaJ另一方面:x<0 时,ae2x+(a-2)ex-x0u (a-2)ex-x 2 0Mx = -1 (目测的)常用的放缩公式 （考试时需给由证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）

8、lnxEx1, lnx<x, ln(1+x)Ex（放缩成双撇函数）ln x <11 x -1 l(x>1 ), lnx>1'x-1"l(0<x<1), 2 . x2 xln x < Vx -=(x >1 ),ln x a dx -(0 < x <1 h. x(放缩成二次函数) lnxEx2x, ln (1 十 x 户 x-1*2 (T <x < 0 ), ln (1 十 x 庐 xx2 (x > 0 )(放缩成类反比例函数)T，(x>1), lnx<*(0<x<1),x .

9、2x2x _1n P+X）之工，ln（1+x）>1（x>0h 1n（1+X）父=（XM0）第二组：指数放缩（放缩成一次函数）ex _x +1 , ex > x , ex > ex ,（放缩成类反比例函数）ex < （x<0）, ex <-（x<0）,1 -xx（放缩成二次函数）ex >1+x + -x2（x>0） ex >1 + x +-x2 +- x32 '26'第三组：指对放缩ex Tn x _ x 1 x -1 =2第四组：三角函数放缩121. 21 - x _cosx_1 sin x .2212sinx

10、<x <tanx（x>0 ）, sin x >x -x ,第五组：以直线y=x.1为切线的函数x 121y =1n x , y =e -1 , y = x x , y =1 - , y=x1nx. x几个经典函数模型经典模型一：y = l或y=上 . xIn x【例1】讨论函数f(x)=1nx-ax的零点个数.（1） a/时, e无零点.11f'（x）Ta，f - d，1， C=1n 一 一1 < 0.a1个零点.11.一f(x)=f(xLx = f(e尸lne1 = 0. x e(3)当0<a,时，2个零点.(目测)，f信卜n七一七(匕一1一号=0

11、,其中1* "(放缩)f e j=1 - ea 0 .，)ff,111=ln -a=a<0,其中 Ke”.(用到了 1nx<« 一a(x")(4)当aw。时，1个零点.f'(x)aA0,单调递增.f(1)=_a>0,xfJa+C-0.1ale e e J a【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例1： f(x)=1nx - ax)：1 .讨论f (x )=1n x-m4的零点个数(令Vx=t, ；=a)；2 .讨论f (x )=x-mln x的零点个数(令工= a)；m3 .讨论f (x )=Vx1n x-mx的零点个数(考虑g (

12、x )=)； x4 .讨论f(x尸mx的零点个数(考虑g(x)=jxf(x),令t = x2, ?m = a); x25 .讨论 f (x )=1n x-mx2 的零点个数(令 t=x2, 2m=a);6 .讨论f(x尸ax-ex的零点个数 (令ex=t).xx经典模型二：y=或y=& xx【例2讨论函数f (x) = ex-ax的零点个数(1) a<0时，1个零点.f' x =ex -a 0 f x = ex- ax 单调递增.且f(0)=1-a>0, f】=eJl<0,所以在,1,0 i上有一个零点；la J1al(2) a=0时，无零点.f (x) =

13、ex a0恒成立；(3) 0<a<e时，无零点.f (fin =f 0na)=a(1-lna)>0；(4) a>e时，2个零点.1-f 一 f=ea-1>0, "1)=e-aH0, f (2ln a )=a(a - 2ln a )> a(e-2)> 0. a【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2： f(x)=ex.ax)：1 .讨论f (x )=e2x -mx的零点个数(令2x=t, £=a); x2 .讨论f(x尸J-工的零点个数(去分母后与1等价)； x e3 .讨论f (x尸ex -ma的零点个数(移项平方后与1等

14、价)；4 .讨论f(x尸ex+mx2的零点个数(移项开方后换元与1等价)；5 .讨论f (x )=ex,-mx的零点个数(乘以系数e,令em = a);6 .讨论f(x尸叱-mx的零点个数(令x=et,转化成2) x7 .讨论f (x )=ex由-mx + m的零点个数(令x-1=t, ? = a);e经典模型二：y=xlnxK y = xex【例】讨论函数f x =lnx.刍的零点个数. x(1) a >0时，1个零点.f'(x) = 上底 >0, f (x)=ln x-a 单调递增.xx. a1 a _f(1)=-a<0, f(1+a) = ln(1+a )>

15、;1= 0 .'1 a 1a 1a(2) a=0时，1个零点(/=1).(3) a<时，无零点.e一 x，af'(x)=T，f(xfC-a)+1>0 x(4) a=时，1个零点.e111x。二.f x mi。= f 1n 1=0eee(5)<a<0时，2个零点.ef (a2 ) = ln a2/-a-工-a a 0 , f 1 =-1-ea < 0 , f(1)=-a>0,a .-a ae【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3： f(x)=1nx-旦):x1 .讨论f(x尸1-alnx的零点个数;x2 .讨论f (x产m + VXln x的零点个数(考虑g(x )=?x-),令F = t )； ,x3 .讨论f(x)=x以的零点个数(令ex=t)； e4 .讨论f(x产ex-a的零点个数；x找