向量的数量积教学设计

1、学习好资料欢迎下载231向量数量积的物理背景与定义教材说明平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不 等式等代数问题；夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提 的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积 来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实 用性。课型新授课 课时 1课时（练习 共2课时）学情分析在学习平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的 基本定理与坐标表示等有关内容，这

2、为过渡到本节的学习起了铺垫作用；在后继知识的学习 中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚 向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面 向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内 容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、 线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向 量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、

3、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明 确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。教学内容分析教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知 识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积 符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。教材的编写的特点：本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修 4(B 版)第二章、第3节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间 最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积 恰好是解决问

4、题的一个重要工具。教学目标知识与技能:(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2) 掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算;(3) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系 过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想情感态度与价值观：通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生 学习的主动性和合作交流的学习习惯教学重点和难点重点：平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平 面向量数量积的运算律的探究及应用 难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的

5、探究、理解；平面向量数量积的灵活应 用。教学策略选择与设计高中数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手 实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生 的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的 基本要求。高中数学课程标准还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过 程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学 中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重 视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。教学资源

6、与手段资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。教学过程设计教学环节教学过程师生活动设计意图1、给出有关材料并提出问题 问题1:9表示一个么角? S（1）如图所示，一物体在力 位移S，那么力F所做的功：（2 ）这个公式有什么特点？请完成下列填 空：W（功）是 量，F （力）是 量, S （位移）是 量，Q是（3）你能用文字语言表述“功的计算公式” 吗？答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的 乘积F的作用下产生FfS论。提问学生易答：表示力F的方向与位移s的方向的夹角创设学生熟悉的问题情景，将学生自然的带入到课堂的教学内容中来。学生容易

7、得到，学生可（1）探究两个向量的夹角的定义。 问题2:你能指出下列图中两向量的夹角 吗？探究问题能会出现两种答案，教师给予指对于易错点加以强调。形 成 定 义OOJ 4问题3：对于两个非零向量a,b，你能给 出它们夹角的定义吗？学生思考回 答，教师予以补 充，关键是点出 两向量起点相 同，并给出夹角 符号（a,b）问题4:思考向量夹角的范围探究问题有了问题2的铺 垫，学生容易得 出0兰詢 兀， 教师强调同向 时为0，反向时 为n .教师补充：(1)当(詢I二二时，向量a与 2 .向量b互相ffi 直，记作a丄b.通过提问，由学 生自己生成定 义，印象更为深 刻。形 成 定 义问题5：F cos

8、日表示什么?(2)在讨论垂直 问题时规定：零 向量与任一向量 垂直.生答：力F在位 移方向上的分量 师补充：我们把F cos日称为力F 在位移S方向上 的投影由师生合作共同 完成，拉近师生 距离，增进师生感情。II(2)探究向量b在a方向上的投影问题6：对于两个非零向量a, b，向量b在 向量a方向上的投影为什么？你能从图中 作出b在a方向上的投影吗？I师生共作向量b 在a方向上的投 影图象。bAII（3）探究a与b的数量积.冋题7: F（力）是量，S （位移）是量,W（功）是量定义： 柑 & &bcos（ab）叫做a与b的数量积（或内积），探究问题形 成 定 义4 4i ：

9、a 'b#即：a b = a记作:（板书三）问题8向量数量积的运算与线性运算的结果 有什么不同？夹角e的 范围,丄0<0<-2e =-27 <6 MXa b的符 号若a,b是非零向量，设夹角为e，完成下表:4 4问题9:根据投影的概念，数量积a 4 = cosa,：）的几何意义如何？（板书四）对上述物理意义 下的“功”概念 进行抽象，将公 式中的力与位移 推广到一般向量a与b。怎么来规定a b cosab）的含义？教师强调记法， a ；中的“ ”不 可少，不可写成 ax b .学生回答。学生自己动手完 成表格。以上两个环节都 是从物理模型中 抽象出我们要研 究的概念，

10、通过 具体问题引领学 生得到精确定 义，且由形到数 的研究方法符合 认知规律。由于 课标中明确要求“体会平面向量 的数量积与向量 投影的关系”， 因此我舍弃B版 教材中向量在轴 上的正射影和向 量在轴上的数量 两个概念，而选 用其他版本的投 影的概念。通过此问题不仅 使学生认识到数 量积的结果与线 性运算的结果有 着本质的不同， 而且认识到向量 的夹角是决定数 量积结果的重要 因素，为下面更 好地理解数量积 的性质作好铺 垫。通过此问题让学 生从“形”的角 度重新认识数量 积的概念，从中 体会数量积与向 量投影的关系学生回答。数量积的概念是 由物理中功的概 念引出的，学习 了数量积的概念 后，

11、学生就会明 白功的数学本质 就是力与位移的 数量积。问题10：请同学们用一句话来概括功的数学 本质：功是力与位移的数量积（板书五）练习1：a=8,44a=3,b勺a=3,b已知已知已知/ /铜兀+片扌= 4<ab=,求a 七.4 ”b.3= 2,(ab) =0,求a=2, fab)=兀，求 a ”b .已知已知已知I4b =5,亠 求 al.44,ab学生作答。.4 a4b】i；求6a”b.4b.冋题11 :（1）尝试将练习中的的结论推广 到一般向量，你能得到哪些结论？a b（2）比较ia b与la结论?性质：当a与b同向时,a 向时，a '"特别地a长度。的大小，你能

12、得到什么b = -jabj.a|胡冷a2即帶/0芝学生讨论。是为了巩固数 量积定义，分别设置了同 向、反向、垂直 的两个向量，为 学生总结性质做I好铺垫，b为单位向量时，4 444a七即为a在b方向上的投影，是让学生学会 使用数量积表示 角，体会数量积 的初步应用a丄b=a.b=0且ab=0二a丄b-证垂直。如果e是单位向量，则asacosG，!III即向量a与单位向量e的数量积就是向量a在I向量e方向上的投影.a 'b= cos fab在学生讨论交流 的基础上，教师 进一步明晰数量 积的性质，证明 留待课后学生尝 试加以证明。本环节通过学生 动手实践，一是 巩固数量积定 义，二是渗透

13、由 特殊到一般的思 维方法，培养学 生归纳概括的能 力辨 析 质 疑练习2：判断正误，并简要说明理由.4a40 = 0;4a = 0;咖；a.初步应用44 若a工0，4 4 a b =0，II4444 4则对任一非零b有a七工0 ；III则a与b中至少有一个为0 ; a与b是两个单位向量，则1444 44* 若 aHO， a，b=ac，贝U b=c.已知 ABC中, aB 豐S=b，a b CO或a= 0时，试判断 ABC的形状。通过（1）使学 生在与向量的 线性运算、实数 乘法运算比较 的基础上全面 认识数量积这 一重要运算.通过（2）使学生 感受数量积在三 角形中的应用价值。1、本节课我们学习的主要内容是什么?2、平面向量数量积的基本应用是什么?3、你收获了哪些研究问题的方法?1、2、通过小结使学生 进一步理解和贯 通本节课所学内 容。向量数量积的物理背景与定义a与b的夹角!共起点a,b 沁0,兀IIb在a方向上的投影IIa与b的数量积、定义4、几何意义、物理意义练习、性质课本P115练习A 1、2II已知a =5