北师大版七年级数学下册《5.3第3课时角平分线的性质》教案(优质)

1、第 3 课时角平分线的性质1经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点 )2能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题(难点 )一、情境导入问题：在 S 区有一个集贸市场 P，它建在公路与铁路所成角的平分线上， 要从 P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路问题 1：怎样修建道路最短？问题 2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等如图，在 ABC 中， C 90°， AD 是 BAC 的平分线， DE AB 于 E，F 在 AC 上， FDC BDE .试说明： (1) CF EB； (2)AB AF 2

2、EB.解析： (1)根据角平分线的性质，可得点D 到 AB 的距离等于点D 到 AC 的距离，即DE DC .再根据 CDF EDB ，得 CF EB；(2) 利用角平分线的性质可得 ADC 和 ADE 全等，从而得到AC AE，然后通过线段之间的相互转化进行求解解：(1) AD 是 BAC 的平分线， DE AB，DC AC， DEDC .在 CDF 和 EDBC DEB 90°，中，DC DE ， CDF EDB (ASA) CF EB； FDC BDE，(2) AD 是 BAC 的平分线， DE AB，DC AC， CAD EAD ， ACD AED CAD EAD， 90&#

3、176; .在 ADC 和 ADE 中， ACD AED， ADC AD AD ，第1页共4页 ADE(AAS) ， AC AE， ABAE BE ACEBAF CF EB AF 2EB.方法总结： 角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE AB，垂足为 E，S ABC 7，DE 2，AB 4，则 AC的长是 ()A 6B5C4D 3解析： 过点 D 作 DF AC 于 F. AD 是 ABC 的角平分线， DE AB， DF DE2， SABC 1× 4&

4、#215;2 1AC× 2 7，解得 AC3.故选 D.22方法总结： 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合如图所示， D 是 ABC 外角 ACG 的平分线上的一点 DE AC， DF CG，垂足分别为 E， F.试说明： CECF .解析： 由 DEC DFC 得出 CD 平分 EDF ，根据角平分线的性质，得出CE CF .解：CD是ACG的平分线，ECDFCD.在DEC和DFC中， DEC DFC 90°， ECD FCD ，DC DC， DEC DFC (AAS) ， ED

5、C FDC .又 DEAC， DF CG， CE CF. 方法总结：全等三角形的判定离不开边， 而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件【类型四】角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用如图，在四边形ADBC 中， AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE， OF 分别是点O 到 CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系解析： (1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2) 由条件可得 AOC AOD，可第2页共4页得 AO 平分 DAC ，根据角平分线的性质可得OE OF .解： (1) AB、CD 互相垂直平分

6、， OC OD， AO OB， AC BC AD BD；AC AD ，(2)OE OF，理由如下：在 AOC 和 AOD 中， OC OD ， AOC AOD(SSS)，AOAO， CAO DAO .又 OEAC，OF AD ， OE OF .方法总结： 本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题如图，已知 ABC 是等腰直角三角形， BAC 90°， BE 是 ABC 的平分线， DE BC，垂足为 D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与 BE 垂直

7、吗？并说明理由(3)如果 BC 10，求 AB AE 的长解析： (1) 由 ABC 是等腰直角三角形， BE 为角平分线，可得 ABE DBE，即 AB BD ， AE DE，所以 ABD 和 ADE 均为等腰三角形由 C 45°， ED DC ，可知EDC 也是等腰三角形； (2)BE 是 ABC 的平分线， AEAB，DE BC，根据角平分线定理可知 ABE 关于 BE 与 DBE 对称，可得出 BE AD ；(3) 根据 (2)，可知 ABE 关于 BE 与 DBE对称，且 DEC 为等腰直角三角形，可推出AB AE BDDC BC 10.解： (1) ABC， ABD， A

8、DE ， EDC；(2)AD 与 BE 垂直理由如下： 由 BE 为 ABC 的平分线， 知 ABE DBE .又 BAE BDE 90°， BE BE， ABE 沿 BE 折叠，一定与 DBE 重合， A、 D 是对称点， AD BE；(3) BE 是 ABC 的平分线， ABE DBE ， DE BC，EAAB ， BAE BDE .ABE DBE ，在 ABE 和 DBE 中，BAE BDE ， ABE DBE (AAS) ， AB BD， AE DE.BEBE ，又 ABC 是等腰直角三角形， BAC90°， C 45° .又 ED BC， DCE 为等腰

9、直角三角形， DE DC AE，即 AB AEBD DC BC 10.探究点二：角平分线的画法如图， AB CD ，以点 A 为圆心， 小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E，1F 两点，再分别以E、F 为圆心，大于 2EF 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 AP，交CD 于点 M.若 ACD 120°，求 MAB 的度数第3页共4页解析： 根据 ABCD ， ACD 120°，得出 CAB 60° .再根据尺规作图得出AM 是 CAB 的平分线，即可得出 MAB 的度数解： ABCD ， ACD CAB 180° .又 ACD 120°， CAB 60° .由尺规作图知AM 是 CAB 的平分线，MAB 1 CAB 30° .2方法总结： 通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是 BAC 的角平分线是解题的关键三、板书设计1角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等2角平分线的作法本节课由于采用了