《高等数学》10-3（2） 曲线积分与路径无关的条

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院整理课件第三节 Green公式及其应用（2） 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件Gyxo 1LQdyPdx一、曲线积分与路径无关的定义 2LQdyPdx1L2LBA设设G是开区域是开区域, ,L L 是是G内任一曲线内任一曲线, ,若若 ),(QPF 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域, , 函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, ,则则曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关的的充充要要条条件件是是沿沿G内内任任意

2、意闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积分分为为零零. . 性质性质 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件二、曲线积分与路径无关的条件定理定理1 1注意注意:两条件缺一不可两条件缺一不可. 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件(1) 开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域.(2) 函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.即即:必须必须022LyxydxxdyxQyP ,22Lyxydxxdy 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件4添加的添加的辅助线辅助线或或积分路径积分路径常取由平行于坐常取由平行于坐标轴的直线组成的折线标轴的直线组成的折线 高等数学高等

3、数学 （下）（下）整理课件例例1 1 计计算算 Ldyyxdxxyx)()2(422. 其其中中L为为由由点点)0, 0(O到到点点) 1, 1 (B的的曲曲线线弧弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件例例 2 2 设设曲曲线线积积分分 Ldyxydxxy)(2与与路路径径无无关关, 其其中中 具具有有连连续续的的导导数数, 且且0)0( ,计计算算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP

4、 ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 ,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件三、二元函数的全微分的条件三、二元函数的全微分的条件 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域, , 函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则dyyxQdxyxP),(),( 在在G内内 为为 某某 一一 函函 数数),(yxu的的全全微

5、微分分的的充充要要条条件件是是等等式式 xQyP 在在G内内恒恒成成立立. . 定理定理2 2问题问题：当：当P、Q满足什么条件时，满足什么条件时，Pdx+Qdy为为 某一某一 函数的全微分？函数的全微分？),(QPF F 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件 ),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu yyxxdyyxQdxyxP00),(),(0 yyxxdyyxQdxyxP00),(),(0先先横横后后竖竖先先竖竖后后横横 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件:),(),(),(则则为为为为设设点点若若存存在在原原函函数数BBAAyxByxAyxu)()(AuBuQdyPdxB

6、A 积分线线 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件22yxydxxdy22222)(yxxyxQyPBCAByxyxu),()0, 1(),(xyarctan 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在) 1 ( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)4(QdyPdxduyxuD 使使内内存存在在在在),()2(xQyPD ,内内在在等等价价命命题题证证)2()1()4()3()2()3() 4( 高等数学高等数学 （下）（下）整理课件证明：4(1) (2)4(2)