《高等数学教学资料》第四节. laplace变换的性质

1、编辑ppt第四节第四节 Laplace 变换的性质变换的性质 Laplace变换的若干基本性质变换的若干基本性质 线性性质线性性质 位移性质位移性质 延迟性质延迟性质 相似性质相似性质 Laplace变换的微分性质与积分性质变换的微分性质与积分性质 微分性质微分性质 积分性质积分性质 Laplace变换的卷积定理变换的卷积定理编辑ppt1122220 1!(1) ( ), ( )(1)(2) ( )1(3)(4)cos,sin(5) ( )1(6)( )1( )( )1mmktTstsTLaplacemu tu t tssu t tseskskktktsksktf tTf tf t edte

2、常常见见的的基基本本变变换换对对若若是是以以 为为周周期期的的周周期期函函数数，则则 LLLLLLLL编辑ppt1、线性性质线性性质一、一、Laplace变换的若干基本性质变换的若干基本性质1212 ( )( )( )( )f tftf tftLLL1111212 ( )( )( )( )-F sF sF sF s LLL2、位移性质位移性质 (0( )()Re()atef tF sasa L编辑ppt3、延迟性质延迟性质 (0 ( )( ) () ()( )sf tF su tf teF s 设设，则则有有实实数数LL证明：证明：0 () ()() ()stu tf tu tf tedt L

3、()stf tedt ()0( )x ts xf x edx 0( )ssxef x edx )(sFes编辑ppt4、相似性质相似性质01 ( )( ) ()( )f tF sasf atFaa 设设，则则有有LL编辑ppt例例1 求下列函数的求下列函数的Laplace变换变换(1) ( )cos atf tekt 解：解：22cossktsk L22cos()atsaektsak L23/2(2) ( )tf te t 3 25 23 112 22/( )ts L解解5/234s 23/25/234(2)te ts L编辑ppt23(3) ( )(1) tf tte 解：解：22121()

4、 ttt LLLL23232!211(22)ssssss23231132323()()()()ttesss L231(45)(3)sss 编辑ppt2(4) ( )(1)(1)f ttu t 解：解：232ts L23211()()setu ts L45321( ) ( )sin()()tf tt etu t 4321 ( )sin() ()tf tt etu t LLLL解解52421314!()sesss 编辑ppt(6) ( )35 (35)tf tetut 解：解：3/23/23( )2( )2t u tss L33/22113 3(3 )3 223t utssL533/2553 3(

5、)(3()332stutes L5(1)33/2553 ( )3()(3()332(1)stf tetutes LL编辑ppt例例2 求如图所示求如图所示 阶梯函数的阶梯函数的Laplace变换变换解：解：0( ) ( )()() ()kf tA u tu tu tnAu tk 0 ( ) ()kf tAu tk LL 0kskeAs 11sAse 编辑ppt例例3 ( ) ( )( ) ( )tf tetu tf t 设设 为为常常数数，求求L解：解：1 ( ),t L ( ) ( )u tu ts LL 1 ( )( )tu ts 故故L 1( ( )( )tsetu tss 从从而而L编

6、辑ppt1、线性性质线性性质一、一、Laplace变换的若干基本性质变换的若干基本性质1212 ( )( )( )( )f tftf tftLLL1111212 ( )( )( )( )-F sF sF sF s LLL2、位移性质位移性质 (0( )()Re()atef tF sasa L3、延迟性质延迟性质 (0 ( )( ) () ()( )sf tF su tf teF s 设设，则则有有实实数数LL4、相似性质相似性质01 ( )( ) ()( )f tF sasf atFaa 设设，则则有有LL编辑ppt二、Laplace变换的微分性质与变换的微分性质与积分性质积分性质1、微分性质

7、微分性质 ( )( )f tF s 若若，则则L2 ( )( )() ( )( )( )nnFst f tFs-tf t （ ）LL12110 000( )()( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnftsF sffts F ssfsff （）LL-11( )( )f tFst L编辑ppt证明：证明：0( )( )stftft edt L0)(tdfest00( )( )|ststf t esf t edt Re( )(Re( )( ),stcttssc tf t eMeeMe 由由Re( ) ( )0limsttscf t e 故故当当时时，0 ( )(0)( )lims

8、tsttf t efsf t edt （1） 0( )( )( )ftsF sf 故故L类似易证得其他各式。类似易证得其他各式。 编辑ppt例例4( )cosLaplacef tkt 利利用用微微分分性性质质，求求的的变变换换解：解：2( )sin( )cosftkktftkkt ，200( )( )( )( )fts F ssff L2( )s F ss222( )coscos( )ftkktkktk F s 又又LLLcos( )ktF s 设设L22 ( )( )s F ssk F s 即即，22 ( )cossF sktsk 故故L编辑ppt例例5：2 121( )ln( )( )sF

9、 sf tF ss ，求求L解：解：222112( )111sF ssssss 1( )( )F sf tt L 1 1 11112 11tsss LLL1( )( )2 ( )ttu t eu t eu tt 2 ( )(1)u tchtt 编辑ppt2、积分性质、积分性质0ss11(2) ( )( )( )( )( )tfdF ssf tF s dsF s dst （）若若收收敛敛，则则LL ( )( )f tF s 设设，L证明：证明：01( )( )ttfd （）令令，( )( )tf t 则则， 0( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )stF sf ttssss 令令，

10、按按照照微微分分性性质质，LLL0 ( )( )( )tF sfdss 则则L编辑ppt 12( )( )( ) ( )ssF s dsts （ ）令令，L( )( )( )sdsF s dsF sds ，1 () ( )( )( )( )( )( )ttsF sF sf tttt LL ( )( )( )sf tsF s dst 即即L证毕证毕编辑ppt例例6：01sh12( )()sin ( )( )f ttttf tf t dt 设设，（）求求，（ ）计计算算积积分分L解解:(1)sinsin(sh )sinsin22tttteeetetttt sh2sinsin()sin ttetet

11、tt 故故LL211sin ,ts 已已知知L 1 2sin sin ttetet LL221112 (1)1(1)1ss编辑ppt 1arctan(1)arctan(1)2|sss 22sh11121111()sin ( )()()sttf tdstss LL 1arctan(1)arctan(1)2ss(2)0( )f t dt 00( )tf t edt 0 ( )|sf t L 01arctan(1)arctan(1)2|sss 4 1arctan1arctan( 1)2编辑ppt例例7012sin( ) ( )sintf tf tttdtt 设设 ，（）求求， （ ）计计算算积积分分

12、L编辑ppt例例8：203costed 求求L解解:23 9cossts L3 costtL29dsds s 22299()ss 23 costett L2222929()()ss （积分性质）（积分性质）（位移性质）（位移性质）203costed L23 costetts L2224529()sss s 编辑ppt练习练习3303122122cos sinsinttttettedett （）求求，（ ）求求（ ）求求LLL编辑ppt1、线性性质线性性质一、一、Laplace变换的若干基本性质变换的若干基本性质1212 ( )( )( )( )f tftf tftLLL1111212 ( )(

13、 )( )( )-F sF sF sF s LLL2、位移性质位移性质 (0( )()Re()atef tF sasa L3、延迟性质延迟性质 (0 ( )( ) () ()( )sf tF su tf teF s 设设，则则有有实实数数LL4、相似性质相似性质01 ( )( ) ()( )f tF sasf atFaa 设设，则则有有LL编辑ppt二、Laplace变换的微分性质与变换的微分性质与积分性质积分性质1、微分性质微分性质 ( )( )f tF s 若若，则则L2 ( )( )() ( )( )( )nnFst f tFs-tf t （ ）LL12110 000( )()( )(

14、)( )( )( )( )( )( )nnnnnftsF sffts F ssfsff （）LL-11( )( )f tFst L编辑ppt2、积分性质、积分性质0ss11(2) ( )( )( )( )( )tfdF ssf tF s dsF s dst （）若若收收敛敛，则则LL ( )( )f tF s 设设，L3、拉氏卷积定理拉氏卷积定理1122( )( )( )( )f tF sftFs 设设，则则LL1212( )*( )( )( )f tftF sF s L拉氏卷积定理的推广拉氏卷积定理的推广：1212( )*( )*( )( )( )( )nnf tftftF sF sFs L

15、编辑ppt三、三、Laplace变换的卷积定理变换的卷积定理1、拉氏卷积的定义拉氏卷积的定义定义定义 121201212 ( )( )( )()( )( )()( )( )tf tftfftdf tftf tft 称称为为函函数数和和的的拉拉氏氏卷卷积积，有有时时也也记记为为。L2、拉氏卷积和傅氏卷积的关系拉氏卷积和傅氏卷积的关系1212 ()( )( )()( ) ( ) ( ) ( )f tftf t u tft u t LF编辑ppt 由于拉氏卷积和傅氏卷积本质上的一致性，与傅氏由于拉氏卷积和傅氏卷积本质上的一致性，与傅氏卷积一样，拉氏卷积也具有交换律、结合律、分配律，卷积一样，拉氏卷积

16、也具有交换律、结合律、分配律，即：即：1221( )*( ) ( )*( )f tf tf tf t 123123( )*( )* ( )( )*( )* ( )f tf tf tf tf tf t 1231213( )*( )( )( )*( ) ( )*( )f tf tf tf tf tf tf t 编辑ppt3、拉氏卷积定理拉氏卷积定理1122( )( )( )( )f tF sftFs 设设，则则LL12121 ( )( )*( )( )( )f tftF sF s L1212122( )( )( )( )()jjf tftFF sdj L, c Resc 其其中中编辑ppt3、拉氏

17、卷积定理拉氏卷积定理1122( )( )( )( )f tF sftFs 设设，则则LL1212( )*( )( )( )f tftF sF s L证明：证明：12120( )( )( )( )stf tftf tft edt L 1200( )()tstfftd edt 120( )()stfftedt d （交换积分次序）（交换积分次序）120()( )( )s uffu edu d 120( )( )sefF s d 210( )( )sF sefd 12( )( )F sF sut （令令）编辑ppt拉氏卷积定理的推广拉氏卷积定理的推广：1212( )*( )*( )( )( )( )

18、nnf tftftF sF sFs L编辑ppt例例9： (1) 1 (2) sinttt 求求下下列列拉拉氏氏卷卷积积解解: 02( )sin() sinttttd sintt 22 01 11 ()=22( )tttttdt t 2()( )()()sinsintttt 方方法法LLL2211=+1ss2211=+1ss 2211 sin =()()+1ttssLL所所以以= ( 0)sintt t 编辑ppt22 12 Laplace45( )()( )( )sF sssf tF s ，求求其其逆逆变变换换L例例10：解解:222( )(2)1sF ss ，211 ( )( )( )tf

19、 tef tf t ，因因此此只只要要求求出出 1111221( )( )( )()sF sf tF ss 现现记记，L编辑ppt122111( )sF sss 1122111( )sf tss L 1 122111sss LLcossintt tdt 0)sin(cos 0122sinsin()ttt d ttsin21221 2( )( )sintttf tef tet 故故11 ( )( )F sf t由由计计算算的的过过程程，还还可可以以利利用用留留数数定定理理，作作为为练练习习。注注:编辑ppt解法二解法二:222( )(2)1sF ss ， 1111221( )( )( )()sF sf tF ss 现现记记 ，L211 ( )( )( )tf tef tf t ，因因此此只只要要求求出出122211121( )()sdF ssdss 1