级数部分和的变化

1、实验一 级数部分和的变化实验的目的1、理解掌握无穷级数的基本概念和性质；2、掌握利用Matlab求无穷级数的部分和的基本方法；实验的基本理论与方法1、常数项级数：一般地，如果给定一个数列，则由这个数列构成的表达式 4-1)叫做(常数项)级数，记为即=其中第n项叫做级数的一般项。作级数(4.1)的前n项的和 4-2)当n依次取1，2，3，时，它们构造成一个新的数列：，。如果级数4-1)的部分和而成的数列有极限，即，则称级数4-1)收敛，这时极限叫做级数4-1)的和，并写作；如果没有极限，则称级数4-1)发散。2、级数的基本性质性质1 如果级数收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛，其

2、和为。性质2 设有两个级数：则级数 也收敛，且其和为。性质3 在级数的前面部分去掉或加上有限项，不会影响级数的收敛性或发散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变的。性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和。3、级数收敛的必要条件对于级数，它的一般项与部分和有如下关系。假设这级数收敛于和，则因此级数收敛的必要条件：当n无限增大时，它的一般项趋于零，即实验使用的函数与命令1、符号求和函数symsum1)、symsum(S)：其中S为待求和的级数的通项表达式。其功能是求出通项为S的级数关于系统默认变量的有限和。2)、symsum(S，v)：其中S为待求和的级数的通项表达式，v为求和变

3、量。其功能是求出通项为S的级数关于变量v的有限和(例如v从0到k-1的有限和)。3)、symsum(S，a，b)或symsum(S，v，a，b)：求从a到b的级数的和。其中b可以取有限数，也可以取无穷。此命令既可以用于求级数的部分和，也可以用于判别级数的收敛性。2、数值求和函数sum3、vpa实验指导例1 求级数的下列部分和1) ；2) ；3) ；4) ；解： 1）先用数值计算方法求值。由于操作比较简单，现在命令窗口中输入以下代码，并按回车运行，得到结果。format long;sum(2.0:64)ans = 3.689348814741910e+019由于数值计算中使用了double数据类

4、型，至多只能保留16位有效数字，因此结果并不很精确。若利用符号求和指令可以求出精确的结果。syms k; symsum(2k,0,64) ans = 2) 先用数值计算方法求值，然后再利用符号求和。%数值计算 n=0:50;S1=sum(1./(2.(2*n-1).*(2*n-1);format long;S1S1 = -1.45069385566594%符号求和syms n; S2=symsum(1/(2(2*n-1)*(2*n-1),0,50);S2 S2 = 3）利用分别用symsum进行两种符号求和。syms k n;S3=symsum(3(k+1)/2k,k);S4=symsum(3

5、(k+1)/2k,k,0,n-1);S3S4输出结果S3 = 6*(3/2)kS4 = 6*(3/2)n-64）输入程序syms n x;S50=symsum(-1)(n+1)*x/(n*(2*n-1),n,1,50)S50 =该题主要利用了级数的基本性质进行运算。例2 求极限解：本题是求解级数与极限的综合问题，在命令窗口中直接输入下一语句求解。syms k n;lim=limit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf)lim = eulergamma得出的结果为Euler常数。其前100位数字为vpa(lim,100) ans = 例3 求下列无穷级数的和1）； 2）

6、。解：1）输入程序语句 syms n;symsum(1/(2*n-1)*(2*n+1),1,inf)ans =1/22）对于，在命令窗口中直接输入下一语句求解。syms n;symsum(1/n2,1,inf) ans = 1/6*pi2类似地可以验证，等。例4、利用无穷级数收敛的必要条件，判断下列级数的敛散性：1）； 2）。解：对于级数，当n无限增大时，它的一般项不趋于零，即，则级数发散。1）因为syms n;limit(n/(2*n-1)2,n,inf) ans = 1/4即，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。2）因为syms n;limit(n(n+1/n)/(n+1/n)n,n,inf) ans = 1即，由级数