磁场最小面积的确定方法

1、磁场最小面积的确定方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点， 而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。一、几何法1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从0点沿y轴正方向射入磁感应强度为 B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴,速度方向与x轴正方向的夹角为 30 °，同时进入场强为 E、方向沿与x轴负方向成60°角 斜向下的匀强电场中，通过了 b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。1 解析：（1）

2、先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd,交y轴于d，由于粒子在 磁场中偏转的半径一定， 且圆心位于Ob连线上，距0点距离为圆的半径， 据牛顿第二定律 有：2VoBqv0 m -R解得R mV-qB过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：cos30由得r3mv02qB所以圆形匀强磁场的最小面积为:- 2 2Smin3 m v04q2B2(2)带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有:s sin30 °vt1 2s cos30 ° at2a qEa而m

3、4 3mv02s联立解得Eq、参数方法2. 在xOy平面内有许多电子(质量为 m、电荷量为e),从坐标原点 0不断地以相同的 速率v0沿不同方向射入第一象限，如图 3所示。现加一个垂直于 xOy平面向里，磁感应强 度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。2 .解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点0沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在Rx轴上的A1点、半径为mvgqB的圆。该S(x, y)，由图4可知:x Rsin , yR Rcos ，消去参数得:图42 2 2x (y R) R可以看出随着

4、下边界。的变化，S的轨迹是圆心为(0, R),半径为R的圆，即是磁场区域的上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形电子沿圆弧 OCP运动至最高点 P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度时，作出轨迹图4,当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为面积减去等腰直角三角形面积的2倍。Smin1 r2 !r24422 mvo2 eB三、带电粒子在磁场中的运动 例题3. 在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，0点为该圆形

5、区域边界上的一点。现有一质量为m带电量为+q的带电粒子（重力不计）从0点为以初速度vo沿+x方向进入磁场，已 知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为30o, OP=L 求：磁感应强度的大小和方向该圆形磁场区域的最小面积。-解；（1）由左手走则得嘩场方向垂直葢ay平酝向里，粒子周卸旬速:园周运动，如圉所示，粒子往Q点飞出產堀，设其园心湘O 0 由几何关系得；（£ &汕3严=夙" Z -心由几问关系得OQ 羽7? = L p3四-穿越有界场的轨迹分析;4. 如图所示，在yv0区域内存在匀强磁场，方向垂直于XY平面并指向纸外，磁感应强度为B，一带正电的粒子从 Y轴

6、上的A点，以速度V。与丫轴负半轴成夹角0射出，进入磁场 后，经磁场的偏转最终又恰能通过 A点，A点的坐标为（0, a）.试问该粒子的比荷为多少？解析：Bqv02mv0R几何关系Ra-tancos在磁场中偏转时间t12 Tm(2 )1 2qB小 a2匀速运动的时间t2cos2a从A点射出到再次经过 A点共要多少时间v0v0 cos联立及分别可得粒子的比荷qv0 cosv0 cosmBa tanBasin总时间t2am( 2 )v0 cosqB2【益智演练】1 .如图，在xoy平面内有一边界半径为 R的圆形匀强磁场区域，磁场的磁感 强度为B,方向垂直xoy平面指向纸内。从阴极 K逸出的质量为 m电

7、量为e 的电子（初速度可看作零），经过加速电压为 U的电场加速后，从原点 0沿丫 轴正方向射入匀强磁场中。已知电子运动的轨道半径大于R。求：（1）电子从0点进入磁场时的速度大小。（2）若圆形磁场区域的圆心 O处于不同的位置（原点0始终在磁场区域的边 界上），电子从磁场区域射出时的偏转角也将不同。求电子从磁场区域射出时偏转角可达到的最大值。解答（2）由图可知：m = Z 00 ' A圆轨道对应的弦越长，圆心角越大，即偏转角越大。当弦长为圆 形磁场的直径时，电子射出磁场区域时的偏转角最大为mR RBesin2rmv02arcsin RB一e 2mU2、个负离子，质量为 m电量大小为q，以速

8、率v垂直于屏S经过小孔0射入存在着匀强磁场的真空室中，如图 351所示，磁感强度 B的方向与离子的运动 方向垂直，并垂直于纸面向里.(1) 求离子进入磁场后到达屏 S上时的位置与 0点的距离.(2) 如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,试证明：直线0P与离子入射方向之间的夹角0跟t关系是AZm解(i)t&据半冷公式求解八仍先确定圆周运 动的圆葩再抿据弧长“侑度关系求儷.rXOxXX&衣y xXSXXX pX图 3-51篇(1)报据半径公式厂=寂、可得薦子冋到屏上位 置旳与o点的距离为：<2)当离子到达位置尸时+圆心、圆心角如图3-52所 示.由此可得*3 . (04甘

9、肃理综)一匀磁场，磁场方向垂直于 xy平面，在xy平面上，磁场 分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为 v,方向沿x正方向。后来，粒子经过 y 轴上的P点，此时速度方向与 y轴的夹角为30 ° , P到O的距离为L,如图 所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为2 C必在y轴上,据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心v qvB m r且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与 X轴相交 于Q点。作圆弧过0点与x轴相切，并且与PQ

10、相切，切点A即 粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C,如图所示。由图中几何关系得L=3r由、求得3mvqL图中0A的长度即圆形磁场区的半径 R,由图中几何关系可得4.设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场.已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小 E=4.0伏/米,磁感应强度的大小 B=0.15特.今有一个带负电的质点 以v=20米/秒的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）.解：根据带电质点做匀速直线运动的条件 ，得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零.由

11、此推知此三个力在同一竖直平面内,如右图所示，质点的速度垂直纸面向外亠1B E吨解法一：由合力为零的条件,可得求得带电质点的电量与质量之比q _ g血 7(vB)a+E3代入数据得q _9.SO(20X0.15)2+4=1一光库/千克.因质点带负电，电场方向与电场力方向相反 ，因而磁场方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向之间夹角为0,则有qEsin 0 =qvBcos0,解得 屮=史=20110=述域一75E 4.0即磁场是沿着与重力方向夹角 0 =arctg0.75,且斜向下方的一切方向解法二：因质点带负电，电场方向与电场力方向相反，因而磁砀方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向

12、间夹角为0,由合力为零的条件，可得qEsin 0 =qvBcos0,qEcosB +qvBsin 0 =mg,解得q -g代入数据得_!=m1.96库f干克=©tg20X0.15To8 = arctg0.75. 即磁场是沿着与重力方向成夹角0 =arctg0.75,且斜向下方的一切方向L J011:X101r 1E1 11X X X XX X X XX X 职X X X5. 如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B;在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为巳一质量为 m电量为-q的粒子从坐标原点 O沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点 O

13、的距离为L。求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s (重力不计)。解：粒子运动路线如图示有L= 4R粒子初速度为v，则有2qvB=mv/R 由、式可算得v=qBL/4m 设粒子进入电场作减速运动的最大路程为I，加速度为a, v =2al qE=ma 粒子运动的总路程s=2n R+2l 2 2由、式，得s=n L/2+qB L/(16mE)6. 图中虚线 MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度 为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外是MN上的一点，从 0点可以向磁场区域发射电量为 + q、质量为m、速率为的粒于，粒于射入磁场时的速度可在纸面内各个方向已知先后射人的两个粒子

14、恰好在磁场中给定的P点相遇，P到0的距离为L不计重力及粒子间的相互作用W(1) 求所考察的粒子在磁场中的轨道径?(2) 求这两个粒子从O点射人磁场的时间间隔解：(1)设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有qvB=mv 2/R得 R=mv/qB (2)如图所示，以0P为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道。圆心和直径分别为 Oi、O2和OO1Q1QO2Q2,在0处两个圆的切线分别表示两个粒 子的射入方向，用B表示它们之间的夹角。由几何关系可知/ POiQi= / PO2Q2 0 从0点射入到相遇，粒子 1的路程为半个圆周 加弧长Q1PQ1P = P 0

15、粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=2aPQ2=R 0 粒子1运动的时间t1=(1/2T)+(R 0/v)其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间为t2=(1/2T)-(R 0 /v)两粒子射入的时间间隔 t=t1-t2=2R 0 /V 因 Rcos( 0 /2) =1/2L得 0 =2arccos (L/2R)由、三式得 t=4marccos(lqB/2mv)/qB7如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在yv 0的空间中，向外。一电量为 q、质量为m的带正电的运vo,方向沿x轴正方向；然后，经过 x轴上x 2h处的P3点。不计重力。求存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面(纸面)动粒子，经过 y轴上y= h处的点Pi时速率为 =2h处的P2点进入磁场，并经过 y轴上y = 电场强度的大小。粒子到达P2时速度的大小和方向。 磁感应强度的大小。(1)(2)(3)解：(1)粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从Pi到P2的时间为t,电场强度的大小为 E,粒子在电场中的加 速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有qE = mavot = 2hiat2 h2由、式解得2mvo2qh(2)粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为 以vi表示速度沿y方向分量的大小，v表