幂函数老师版.

1、幂函数分数指数幂mn am （ a正分数指数幂的意义是：a n0 ， m 、 nN ，且 n1）m1 （ a负分数指数幂的意义是：a n0 ， m 、 nN ，且 n1 ）n am一、幂函数的定义一般地，形如yx （ xR）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，是常数.如11y x2 , y x3, yx 4 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像幂函数 yxn 随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握 yxn ，当 n 2 , 1,1, 1, 3 的图像和性质，列表如下23从中可以归纳出以下结论： 它们都

2、过点1,1 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限a1, 1,1, 2 , 3 时，幂函数图像过原点且在0 ,上是增函数32a1 ,1, 2 时，幂函数图像不过原点且在0 ,上是减函数2 任何两个幂函数最多有三个公共点yxn奇函数yOxn1yOx0n1yn0Ox偶函数非奇非偶函数yyOxOxyyOxOxyyOxOx三、幂函数基本性质（ 1）所有的幂函数在（ 0，+）都有定义，并且图象都过点（ 1，1）；（ 2） 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 0 ，+ 上，是增函数（ 3） 0 时，幂函数的图象在区间（ 0，+）上是减函数 . 规律总结1在研究幂函数的

3、性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；对于幂函数yx，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象2的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，0 1 和 1 三种情况下曲线的基本形状，还要注意 0，± 1 三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆： “正抛负双，大竖小横” ，即0（ 1）时图象是抛物线型；0 时图象是双曲线型；1 时图象是竖直抛物线型；0 1 时图象是横卧抛物线型经典例题透析类型一、求函数解析式例 1. 已知幂函数 y(m2m1) xm22 m 3，当 x (0， ) 时为减函数，则幂函数

4、 y _解析： 由于 y( m2 m1)xm22m 3 为幂函数，所以 m2m 11，解得 m2，或 m1当 m 2时， m22m33 ， yx3 在 (0， ) 上为减函数；当 m1时， m22m30 ， yx01(x 0)在 (0， ) 上为常数函数，不合题意，舍去故所求幂函数为yx 3 总结升华： 求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键类型二、比较幂函数值大小例 2. 比较下列各组数的大小.4433(1)3.14 3与3； (2) (2)5 与 (3)5 .444解 : (1) 由于幂函数 yx 3(x>0)单调递减且3.14， 3.1433 .3(2)由于

5、yx 5这个幂函数是奇函数 .f(-x)=-f(x)33333因此， (2) 5(2)5 ， (3)5( 3)5 ，而 y x5(x>0)单调递减，且 23 ，333333(2)5(3)5(2)5( 3) 5.即(2) 5(3) 5.总结升华：(1) 各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断 .(2) 题(2) 中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题. 当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三【变式一】比较 0.80.5， 0.90.5， 0.9 0.5 的大小 .

6、思路点拨：先利用幂函数 y x0.5 的增减性比较 0.80.5 与 0.90.5 的大小，再根据幂函数的图象比较0.90.5 与0.9 0.5 的大小 .解：yx0.5 在 (0， ) 上单调递增，且0.80.9 ，0.80.50.90.5 .作出函数 y x0.5 与 yx 0.5在第一象限内的图象，易知 0.90.50.9 0.5.故 0.80.50.90.50.9 0.5 .例 3. 已知幂函数yxn1 ，yxn2， yxn3 ， yxn4 在第一象限内的图象分别是 C ， C ， C ， C ，( 如图 ) ，则 n ， n ， n ，n ， 0， 1 的大小关系 ?12341234

7、解 : 应为 n1<n2<0<n3<1<n4.总结升华： 对于幂函数yx (R) 的图象，其函数性质的正确把握主要来源于对图象的正确处理，而幂函数的图象， 最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布；反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围.举一反三1【变式一】（ 2011 陕西文 4） 函数 yx 3 的图像是（）思路点拨： 已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断解： 取 x1 ,1，则 y1 ,1，选项 B， D 符合；取 x1，则 y1，选项 B 符合题意8822类型三、求参数的范围例 4. 已知幂函数 y xm 2 ( mN) 的图象与 x，

8、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求 m 的值，并画出它的图象解： 图象与 x， y 轴都无交点，m 2 0 ，即 m 2 又 mN ，m0，1，2 幂函数图象关于y 轴对称，m0，或 m 2当 m0 时，函数为yx 2，图象如图 1；当 m2时，函数为yx01(x 0) ，图象如图 2举一反三a232a2【变式一】若1，求实数 a 的取值范围 .解法 1：a122， 考察 yx 2 的图象，得以下四种可能情况:3 2a32a032a032a032a0(1)a10(2)a10(3)a1 0(4) 1a03 2a a 13 2a a 13 2a(a 1)(3 2a) a 1分别解得 :(1)1a

9、2. (2) 无解 . (3)a1. (4)a 4 .32 a 的取值范围是，.，1143解法 2：画出 yx 2 的图象， 认真观察图象， 可得 : 越接近 y 轴，y 值越大， 即|x|越小， y 值越大，22a1 0a 1即 32a 0要 使3 2a，解| a1| |32a |得 :，12，.，143总结升华：以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好. 而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识 . 可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.类型四、讨论函数性质1例 5. 求函数 y=( x2) 2的定义域 .2(3x) 3解 : 原函数可化为y=x2x203

10、x x -2 ， 3) (3 ， + ).3(3x)20总结升华： 正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.( x23例 6. 讨论函数 y2x3) 4 的单调性 .33解 : y( x22x3)4 可看作是由 y2u 4 与 u=x -2x-3复合而成，3 yu 4 中， u2-2x-3>0 ， 得到 x>3 或 x<-1.(0 ，+ ). x当 x>3 时， u=(x-1)2-4 ， 随着 x 的增大 u 增大，3又 yu 4 在定义域内为减函数，y 随着 u 的增大而减小，3即 x3，时， y(x22x3)4 是减函数，而 x，

11、1时，原函数为增函数 .总结升华：1. 复合函数的讨论一定要理清x，u， y 三个变量的关系 .2. 对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量x 的限制 .举一反三1【变式一】讨论函数f (x)xm2 m 1 (mN ) 的定义域、奇偶性和单调性解：（ 1）m2mm(m1)(mN ) 是正偶数，m2m1是正奇数函数 f ( x) 的定义域为 R （ 2）m2m1是正奇数，11f (x)( x) m2 m 1xm2 m 1f ( x) ，且定义域关于原点对称f ( x) 是 R 上的奇函数（ 3）10 ，且 m2m 1 是正奇数，m2m1函数 f ( x) 在 ( ， )

12、 上单调递增指对幂函数试题1. 已知幂函数 f ( x )图像过点（ 2，22），则 f ( 4 ) =122. 函数 yf ( x) 与 g(x)log 2 x 的函数图象关于直线 yx 对称，则 f ( 2)143. 求函数 y4x2x 13 的值域 .解：令 t2x ，则 t 0 ，故 yt 22t 3(t 1)22 ， t0 所以 y 2, )4、设 a20.3 ,b0.32 , clog2 0.3，则 a, b, c 的大小关系是a>b>c5. Ay y ( 1 ) x, x 1， By y ln x, x 1 ，则 A B_ 0,1 _226、若函数 f ( x)a x (a0,a1) 的反函数是 g( x) ，且 g (x) 在1 ， 2 上的最大值与最小值之和为 1，则 a1.27、若2，则实数a的取值范围是_(0,2) _log a 515) (1,8、已知幂函数 f( x) 的反函数的图像过 (2,2) ，求函数