第六讲离散时间跨时套利定价理论

1、第六讲 离散时间跨期套利定价理论6.1介绍本讲主要讨论离散时间多期衍生证券定价问题，衍生证券的价格通常 并不釆用均衡定价方法，而是釆用套利定价方法。Harr is&Kreps (1979)等发现，如果一个价格系统不存在套利机会，那 么该系统存在一个等价鞅测慶，利用轶测度，我们可以非常方便地定价各种 衍生产品的价格。下面我们通过两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价。例1:考虑一个两期模型，假定第一期标的资产价格为S=35,期权的执行价 格为X=35,连续复利无风险利率为9.531%,因此R = er(Tn =1.1,成熟期 为一期。假定资产价格或者上升25%,或者下跌25%,即上升

2、后价格为 Su=43. 75,下降后价格为Sd=26. 25,其養产价格变化如下图61所示。由 此一个看涨期权的回报如图6. 2所示。（图6.1）: 一期资产价格树q =max 0,-Z = 8.75cd = max O,Sd - X = 0（图6.2）： 一期看涨期权树下面我们来构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套 期保值，从而使得该组合成为一个无风险资产。假定我们出傳H份标的在该 资产上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为S-Hc,完 全套期保值后的回报都是26. 251其回报过程可以用图6. 3来刻画。1、出售的期权份额H：因为完全套期保值后成熟时的回报相同

3、，因此我们有：Su - Hclt = Sd - Hcd =26.25 ,因此我们可以求解出H: Su - SdH =:5 - 5将相关数值代入,得H=2。= 26.25=26.25（图6.3）： 一期的无风险投资组合树2、无套利机会时的期权价格：因为无套利机会存在，无风险组合的回报率应该等于无风险资产上的回 报率，因此我们有：RS-Hc） = Su-Hcu整理得：HR此即欧式看涨期权价格，欧式看趺期权的价格可以根据看涨-看跌平价关系 得到。3、等价鞅测度：事实上我们可以将上式改写为：C = 7TCltR +（1-兀）C&R-',R_d其中兀=相当于一个槪率，称为一个等价鞅测度。

4、在该测度下.期权u 一 d价格等于未来受益的期望贴现，与个体偏好等因素无关。注：该测度仅是一个假想的测度，并不真正反映上升和下降出现的概 率。4354.3752.2117.2142.757.7538.686.48028.66022.650（图6.4）：资产价格和期权收益树31.67031.671.5242.759.3847.2513.0738.624.5123.460例考虑一个四期的期权定价例子。假定标的资产的价格S=35,期权 的执行价格X二35,成熟期为一年。连续复利无风险利率为9.525%,因此 R = "“）= 09993: 如果将一年分为四季，则R = erT, = 0&#

5、176;曲2關25 = 024098。假定进产价格变化如下图6. 4所示。«' u=1.10517, d二0.904837, R=1.024098,龙= 0.59512。由此我们可以求 解各种欧式期权和美式期权的价格。件彼此不相交，且它们的并等于0。称一个给定分割要比另一个分割更稱 细，如果后一个分割的任一事件都是前一分割中爭件的并。(图6. 5):信息结构。我们可以用F = 斥；/ = 0,1,T来记个体被賦予的公共信息结构，其 中每一个耳都是。的一个分割，满足：如果r >5,则耳比F、更精细； Fq = Q), Ft = ty I e Q) o定义：一个随机过程是一

6、个由时间t标识的随机变量序列。定义:称一个随机过程S = S(t) 11 = 0,1,.关于匸适应(adapted to F),如果对于任意的t, S(f)关于斥可测。定义：称一个随机过程S关于F可料的(predictable to F),如果对 于任意的t, S(r)关于可测。资产结构：定义：一个时间爭件或有权益(time-event cont ingent claim)是一种 证券，在交易日/XI、事件a, e Ft发生时支付一单位消费品，在其它时间 和情形下没有支付。定义：一个复杂证券是由时间0消费品和一族时间事件或有权益构成的证券，它可以被表示为x =I at e Ft,t = 1,2

7、,., T,其中心和心分别为以消费品衡量的时间0和时间t、时间下的红利。定义：一个长生命证券(long-lived secur i ty)是一种在任意交易日都 可以交易的复杂证券。假定经济中存在N+1种长生命证券，j二0,1,N。假定第0种资产是 面值为1的T期贴现债券，其红利流可以表示为：X。= 0,0,., (T) = 1,(6. 2. 1)记第0种资产的除息价格过程为B(r)l/=0,1,2,.,則有B(T) = 0o 假定其它N种资产是风险资产，第j种资产的随机红利流可以表示为：Xj = (Xj (/) 11 = 0,12,T)o(6. 2. 2)记第j种许产的除息价格过程为Sj(f)

8、lf = 0,1,2,.,门，则有Sj(T) = 0o 记S(/) = (S(f)，SN(t)r , X(/) = (xJ/)，呂, a)'。显然，Xj(f)、B 和Sj(/)关于片可测，因此红利过程、价格过程都关于F适应。个体行为：假定每一位个体i的偏好都具有von Neuman-Morgenster期望效用表 示，假定个体效用函数“(c'(f)单调增、严格凹、充分光滑，假定 lim 叮= +s。假定个体i在各自然状态上被赋予的主观槪率为：创=或 I q e G °在该主观概率下，记在给定爭件67, eF,下，事件as e F, (s>t)发生的条件概率为7r

9、la (at),根据Bayes公式，7t'a (af)可以表示为：如果匕匸at 如果匕冬勺假定个体都是理性预期的.所有个体都相信当前许产价格是自然状态6?和 时间t的函数，即可以表示为和,()o记个体被赋予的长生命证券的数量为：刃(0),少(0) = ©(0)爲°个体的交易疑略是一个N+1维的随机过程，可以简记为：a。)=做),&(/)=©(/)沁)，其中a(f)和乞代表个体在tT期交易发生后，到t期交易发生前所持有 的第0种资产和第j种资产的数量。由于a(t)和乞是在t-1期被决定的， 它们关于耳可测，因此交易疑略关于F适应。个体的消费计划是一个

10、随机 过程，可以简记为：c = c(Z) 11 = 027 o其中c(/)是t期消娈董。定义：称一个交易霓略(a,8)是可接受的(admissible),如果存在一个 消费计划6满足：a(t + l)B(r) + 0l (t + l)S(r) =+ 01 (S(r) + X(r) -c(t),(6. 2. 3)对Vf = 0,l,7 l成立，且有:a(T) + 0T (T)X (T) = c(T)。(6. 2.4)相应地，我们也称该消费计划c是由交易我略(a弱资的，也称为上市的(marketed)。二、无套利条件和等价轶测度定义：一个套利机会是一个由可行交易策略融资的消费计划c,满足： (1

11、) c非负，且至少存在某个时期t和事件at e F,有 c(q ,f) > 0 :(2)其成本非负，即a(0)B(0) + 01 (0)(S(0) + X(0) < 0。定义：一个随机过程Y =(y(r)11 = 0丄2,7被称为是一个在概率兀下对F适应的鞅，如果它满足：EY(s)F, = Y(t)t V$»,其中E. I F,是关于槪率;r、给定斥下的条件槪率。定理：一个价格系统(B,S)不允许存在任何套利机会，当且仅当经济 中存在一个等价鞅。证明：(必要性)：假定价格系统(B,S)不允许存在任何套利机会。在价格系 统下，个体j的最大化问题可以表示为：max a8)Su

12、bject to:消费计划c由交易策略(a,&)融资,(a(0),&(0) =(刃(0),0(0)。求解该最大化问题，Euler方程为：Sj (0 =(/ +1) + Xj (+1) I f； ,(6. 2. 5)% (c )叫 J(c0 + 1)如果r<T-2B(0 = <中“爲(c匕+ 1) r 时(")(6. 2. 6)此处式可以改写为:叫 «)Sj(/)=耳叽“(+ 0)(5.(/ +1) + r (/ +1) I 斥(6. 2. 7)对(6. 2. 6)式进行前向迭代，可以改写为:乞占“)吃叫D)如果s = T(6. 2. 8)(1)如

13、果经济中存在一个风险中性的个体7,且该个体并不存在任何时间僞爱，则我们有："'(c'(s) =u/,'(c,(O)=常数，Vs,/ O代入(6. 2. 7)和(628)式，整理得：Sj(/) = ESj(r +1) + Xj(f +1)I 斥,B(t) = 1 o记£>/) =Vf = O丄丁,则我们有:j-0Sj + Dj =ESj a +1) + D a +1) I F= £r.5y(5)+ £>/(5)IF/, Vs>4因此由直产的价格加上红利构成的随机过程是一个轶，鞅测度是该风险中性 个体的主观槪率测度。

14、(2)如果经济中并不存在这样一个风险中性的个体，則我们可以构造 出一个鞅测度。首先对价格过程和红利过程进行归一化：S；(gSjWB0如果心T如剰M 如果/ = T】/)/%)W/o(cr(O) B(0)»；(/) = £ x；(s)。J-0构造鞅测度兀满足：吐空炷，如“。(dm你)(0) 8(0)考虑到个体是不饱和的，边际效用大于零，所以有< >0：对;T；关于所有的自然状态求和，有:因此/确实是c上的一个槪率测度。在该鞅测度分下，记在给定爭件勺W斥下，事件a严F,(5>/)发生的条件槪率为云(4),根据Bayes公式.兀：(q)可以表示为:如果匕匸at(

15、6. 2.10)当"，匸5时，将（629）代入（6. 2. 10）,有:一工如成吋（*（以）为龙加/（eSC） 或知'（）其中J）为个体j在t期、事件发生时的最优消费量。注意到对任意 t<T-,有8（勺,/）=工 兀川"«（°门）成立 因此我们有：如果r vT如果f=T(6.2. 11)3(厲<)此(q)"J(*a，s)8(4 J)i 龙:a)“j(cf (匕)Ba、n接下来我们来证明S； + D；在h下是一个軼:当 t<T 时,由(6. 2. 5)和有:= £S；(/ + l) + x；(/ + l)l 好

16、。类似于风险中性个体下的讨论，我们有：S；(/) + £>；(/) = £S；(5)+ Q；($)I 刁VT>5>r= ED(TFt.因此S；+D；在；f下是一个鞅，必要性得证。(充分性)：假定对于所有的t<T, B(t)>0,并且存在一个等价轶测度 在该测度下S；+£>；是一个鞅，要证明该经济中不存在套利机会。采用反证法，假定经济中存在一个消费计划c,为一个可接受的交易災 略(a,0)所融资，满足：c>0, cHO,且a(O)B(O) + 07(O)(S(O) + X(0)5 0。由交易灵略(a,8)所触资的消费计划C是

17、一个套利机会，个体不需要付出任 何成本就有正的机会获得正的消费，即一种免费午餐(free lunch)。如果消费计划C由交易疑略(a,<9)所融资，则有：c(T) = a(T) +少(O)(S(O) + X(O)T=a(0)B(0) + 少(0)( 5(0) + X(0» + 工</(巧(3(巧 一 B(s -1) + x0(5)$1TT-1+ 工少(5)(s(5)一 S(s - 1) + x(5) 一 工cG) o(6. 2.13)5-15-0即T期消娈等于T期的财富量，后者等于初始财富加上各期买卖资产所导致 的财富增加，再减去冬期消费。类似地，我们有：/(T) = a

18、(0) + 0l (0)(5*(0) + X(0)=a(0) + 0T (0)( S (0) + X * (0)+&"(£)(S G)_S(5-1)+ X ($)-工C(5)$】其中/(/) = <t<T记£f(/)=(D；(r),，0；(r)，则有：Xt) =因此我们有：f c=a(0) + /(0)(S(0) + X*(0)7-0+ £ 毋(S(r) + ZT(/) SZ 1) "(r l)。f-1因为在轶测度;r下S；+£>；是一个鞅，所以我们有：(S (/)+，s a1)”(/ 一 1)i 殆=0T(

19、/)(E4S*(0 + Dt I F,.x1)相应地，我们有：E* 01 (S +1)=IM (f)(Sp) +，(/) s(/ l) ”(r 1) I FJ所以我们有：=a(0) + 少(0)(S“ (0) + X XO)f-0+ E如 W + /T _szT(r-l)/-I=a(0) + el (0)(S"(0) + X (0) o因为B(t)>0对于所有的tT成立，有c>0 , CHO,所以TEl工c'(f)>0,这蕴涵：z-0a(0) + 0T (0)(50) + X YO) > 0考虑到 B(0)>0,所以有a(0)B(0) + 6r(

20、0)(S(0) + X(0) >0 ,与假设矛盾。充分性得证。下面我们用一个证券市场实例，来说明无套利机会与等价鞅测度的关 系，以及等价轶测度的求解。例62仁 假定经济中有三种长生命证券，j=0,1,2,它们只在t=2吋 支付红利，t=0、1时的价格和t=2时的红利支付如图6. 6所示。在该经济 中，第0种资产是一种无风险资产。下面我们通过构造一个等价鞅测度来说明该价1/2113/41/221/22133J25（图66）:证券市场原始价格系统t=2(图6. 7):证券市场贴现价格系统格系统没有套利机会。此处无风险资产的价格在t二0和th吋不为1,因此我们可以首先对该价格系统进行贴现，如图

21、6. 7所示。如果经济中不存在套利机会，则存在一个軼测度，S；+D；在该测度下 是个轶o记从th上面一个节点出发，即事件Qi，。?，。,)发生后自然状 态出现的条件概率为P1、“2和几，则“ “2和“3必须满足：Pl + Pz + P'T 5Pi +7几 +63 =6,3/7, +2/?2 +43 = 3该方程组存在唯一的解：(Pl，“2，卩3) =(1 /3,1 /3,1 /3)。类似地，从七二1、事件发生后自然状态出现的 条件槪率为“4、几和“6必须满足：Pl + Pl +“3=1* 2人 +3p2 + ”3=2,21” +5p2 +3/? = 3该方程组存在唯一解：(几，“5,几

22、)=(1/2,1/4,1/4)。记爭件在七二。发生后，事件©，®)和 卩口“)在t=1发生的条件槪率为(4,)，贝§2)满足：4 +?2 T$6? + 2§2 = 4,3如+3今2 =3(6.2. 19)上式存在唯一解：(,<7,) = (1/2,1/2)。(6. 2. 20)根摇上述条件概率，我们可以直接计算出鞅测H，1/6、龙S)1/6龙"(血3)1/6龙S)1/4龙"(®)1/8"(5)丿因为该经济中存在等价鞅，所以该价格系统不存在套利机会。如果t=0时的资产价格发生变化,从(1/4,1,3/4)变为(

23、1/4,1,1/2),则方程(6. 2.19)应变为：% +% T< 6。+ 2$ = 4 .3如 +3% =2 显然该方程组无解，从而系统不存在等价鞅测度，这蕴涵该价格系统存在套 利机会。该套利机会可以轻易地构造，在第0期卖空两份资产0,购买一份 资产2,则该投资组合的成本为零，是一个套利组合；到第一期將许产变现, 个体可以无风险地获得1/2单位消费品。因此经济中存在套利机会。三、消费计划的鞅性质一个消费计划刻画了不同时间-事件下个体的消费董，而一个长生命证 券由它在各时间-事件下的回报(消费品)刻画，因此一个长生命证券等价 于一个消娈计划。在无套利条件下，一个市场化了的消费计划或长生

24、命证券 的价格是唯一确定的，因为衍生产品是一种长生命证券，所以其价格也是唯 一确定的，可以利用等价鞅测度来计算，衍生产品的这种定价方式称为套利 定价。定理：一个消费计划有定狡好了的价格，如果该消费计划是上市的， 且经济中不存在套利机会。证明：(1)如果消费计划c是由交易我略(Z0)融资的，則该消费计划的初 始成本为：a(O)B(O) + O' (O)(S(O) + X(O»,(6. 2. 22)此即t=0时该消费计划的连带红利的价格。其唯一性是显然的，如果存在一 个交易罠略6)触进该消费计划，满足：q(o)b(o)+er(o)(s(o)+ x(o)> d(o)B(o)+

25、eT(o)(s(o)+ x(o), a-a,d-O)是一个可接受的消费计划，其初始成本小于零，未来消费 恒为零，存在套利机会。如果上述不等式取小于符号，类似地可以证明存在 套利机会。进一步可以得到，该消费计划的除息价格等于：a(O)B(O) + O' (0)(5(0) + X(0) - c(0)也是定义好的，唯一决定的。(2) 一个消費计划的t期除息价格，是指t期需要多少消费品的成本 来启动一个动态交易策略，以获得该消费计划t期之后的所有消费。消费计 划c是由交易策略(q,<9)融资的，则c(s)ls=f + l,.,T的价格可以刻画 为：+ er(r)(S(r) + X)-c(

26、r) = at +1)3(/) + 0l (t + l)S(r)。类似地，我们可以证明该价格是唯一的。证明完毕。(6. 2. 23)记该消便计划t期价格为：Sc (r) = at + l)B(r) + O1 (t + l)S(r)。下面我们来证明消费计划具有鞅性质。定理：如果价格系统(B,S)不存在套利机会，则上市的消费计划具有鞅 性质。证明：定艾消费计划的贴现价格为：s；(/) =t<T0 t = T(6. 2. 24)所以我们有:s；(f)= a(f+i)+&7 a+i)sa)=W)+少 a)(s"+x s - ")(6. 2. 25)当价格系统(B,S)

27、不存在套利机会时，存在一个等价鞅测度;r",使得 S； +D；是一个鞅。下面我们来证明S；(r) + f/(s)也是一个鞅。$-0T由/(/)= a(0) + 01 (0)(S“ (0) + X ° (0)+ £&©$($) S(s 1) + X),.v-1得：S； (/) = " +1) +少(/ + 忙=tz(0) + 0T (0)( S' (0) + X (0)+0，(£)(S (s)_S ($-l) + X (s)-工c (s)。J-i$()/ (5) = a(f + 1) + 0r (r + 1)S (0.V

28、-/+1T+ 工少(5)(S4(5)+ 2/ (S) - S" (S - 1) + 7/ (S - I) oj-r+1所以我们有：r £ c()吃=a(t +1) + 0r(t + l)5*(r)+ £f E0(s)(S(s) + "(s) S(l) + ZT(s J-/+1= aa + i)+/a+i)st)=Sc 。上式蕴涵，一个消费计划的t期贴现价格等于未来消费贴现和关于鞅测度 兀"的预期。由此我们可以进一步得到：S；+ f c(s) = F£/(s)IF，V/ 。S-0.v-4)(6. 2. 26)所以有：ES； (s) +

29、iy e) I 耳=EE£c(h) ifjifjrv-0= E*£c*(v)IFJv-0= s；a)+f c*(s)oJ-0因此= S；(/) + f c*(s)在；f下是一个鞅。定理证明完毕。5-0利用消费计划的等价轶性质，我们可以给消豹计划定价。下面我们给 出一个例子来加以说明。例6. 2.2:考虑一个如图6. 8的消费计划，假定价格系统由图6.6所示。 试计算该消费计划的价格。(图6.8): 一个上市的消费计划。因为价格系统中不存在套利机会，所以该消费计划具有鞅性质，该消 费计划的t期贴现价格等于未来消费贴现和关于鞅測度龙的预期。所以我 们有：S：(0) = (1)0

30、 + (1)1 + (1)2 + (-)2 + (1)2 + (1)2 =-,16664882Sc (©，®)J)=(亍)° + (亍)1 +(§)2 = 1 »S(.(。,“5，%)=+ (才)2 + (才)2 = 2 o考虑到B(0)=1/4, B(1)=1/2,所以该消费计划在时间t=0和th时的价格 为：5t.(0) = 3/8, $<(©，5，。3)，1) = 1/2 ,=1。6.3 Black-Scholes公式的推导(二叉树方法)一、模型的建立：考虑一个具有两个长生命证券的多周期证券市场经济，一个是普通股 票，一个

31、是无风险债券。假定该经济持续很长时间，我们仅考虑交易日t=0.1. 2、To假定该经济满足如下假定：1、不考虑标的资产的红利收益，假定资产的波动性相同且已知，资产价格满足一个二项随机游动，如 0 6.9 所示。S(0) > 0 :S(l) ="S(o) dS(O)（图6. 9）:二项随机游动和等价秋测度。2、假定在期权生命中短期无风险利率R已知，个体可以以一个相同的 无风险利率进行借贷，假定无风险资产不支付红利，t期价格为3、不考虑交易成本和税H攵，允许证券卖空，在期权成熟祈不考虑有价 证券的转让等爭件。4、假定个体拥有的信息结构由股票价格生成。九=。;仟有两个 事件；&有三个事件，；任意的詁有两个子集"w U6, 4+1已斤+1。假定个体可能有不同的主观概率，但