等积法求体积点到面地距离

1、等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。 但在求 体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方 法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四 棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点 到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计 算三棱锥的体积。例1（本小题满分14分）如图：边长为2的正方体ABCD-AC.D. 场C与占G相交于点（】）求证：BCJ!平面

2、AAXDXD s（2）求证；丄平面BDC.18.（本小题满分山分）（1）证明*连结D,-IE方体"£3-心场中（3）求四面体-BDC的体积+ABCD是平行四边形代 BCJl ADr 2分在平面外.彳D在平面内化 BCJ!平面 AAyDxD. 4分(2)证明*正方体ABCD-AC 中，甘G丄场C 5分DC 1BC DC 丄 GC代 DC 1 平面 BCCBi A DC 丄 BCX .7 分t B.C与DC?相交于点(？ /. BC,丄平面B.DC . 9分解：正方体ABCD-心C»中九g 冷BBi "G =2订0分'点D到平面BB.C.的距离尊于点

3、D到平面的距离*为N 12分I4VBl-9DCi = V= Jx2x2 = y74分例2 . (2011佛山一中三校联考)如图，已知三棱锥 A BPC中，API PC AC丄BCM为AB中点，D为PB中点，且 PMB为正三角形。(I)求证：DM/平面APC(H)求证：平面 ABCL平面 APC(川)若 BC= 4, AB= 20,求三棱锥 D-BCM勺体积.例2 解：（I）由已知得，MD是厶ABP的中位线MD / AP 2 分MD 二面APC, AP 二面APC.MD / 面APC 4 分（H）寫APMB为正三角形，D为PB的中点，MD _ PB, 5 分AP _ PB 6 分又 AP _ P

4、C, PB 一 PC = P AP _ 面PBCBC 二面 PBCAP _ BC又 BC _ AC, AC 一 AP = A BC _ 面APC7分BC 面ABC.平面ABCL平面APC 10分（川） MD _面PBC , - MD是三棱锥 M- DBC的高，且MD= 5 311分于是S BCD4s bcp=2 21，VD -BCMVM -DBCSh = 10、7313分14分又在直角三角形 PCB中，由PB= 10, BC= 4,可得PC= 2 21 12分例3.(茂名2010二模)如图，在底 面是菱形的四棱锥 S ABCD中, SA=AB=2 SB = SD = 2逅.(1)证明：BD _

5、平面SAC(2)问：侧棱SD上是否存在点E,使得SB/平面ACE请证明你的结论;(3)若.BAD =120°，求几何体 A SBD的体积。例3.解：(1) T四棱锥sABCD底面是菱形,.BD _ AC 且 AD=AB又 SA=AB=2 SB = SD = 2罷.2 2 2 2 2 2SA AB =SB ,SA AD =SDSA _ AB,SA _ AD ,又 AB c AD = A ,2 分二SA丄平面ABCD BD U平面ABCD从而SA丄BD 3 分又 SA - AC = A，二BD丄平面SAC 4分（2）在侧棱SD上存在点E,使得SB/平面ACE其中E为SD的中点 6 分 证

6、明如下：设 BDAC =0，则0为BD的中点，又E为SD的中点，连接0E则0E为 SBD的中位线。7分二 0E/SB，又 0E u 平面 AEC SBb 平面 AEC 8 分.SB/平面 ACE 10 分(3)当.BAD =120° 时,S ABD1AB AD sin120°2.几何体A SBD的体积为1 1VZD 宀5 SSABD SAS14分点到面的距离、知识点（求点到面的距离主要方法：）（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作；（2 ）转移法：若直线 AB/平面：，则直线AB上任意一点到平面的距离相等;（3）等体积法：用同一个三棱锥选不同

7、底计算体积，再求高，即点到面的距离。、基础热身1、在棱长为a的正方体 AC1中找出表示下列距离的垂线段直接法：（1） 点A到面BCC1B1的距离；（2）B1 D1到面ABCD的距离；(3)点A到面BDDjB的距离(4)求C到平面BDC1的距离。 A,C转移法：棱长为1的正方体 ABCD - A'B'C'D'中，E,F分别是棱 AA',BB'中点，求点B'到平面D'EF的距离提示：因为A'B'/EF= A'B'/平面D'EF，所以点B'到平面D'EF的距离即为点 A'到

8、平面D'EF的距离。作 A' H _ ED'，证明A' H _平面D'EF 。 A'H【活学活用】3、在棱长为1的正方体ABCD - A'B'C'D'中,E,F分别为棱BB'和CD的中点，求点F到平面A'D'E的距离。提示：法直接法：将三角形扩大到平行四边形，高FH 平面A'D'GE。取CC '的中点G,连接D'G、EG过F作垂线FHL D 'G可以证得EG/ A'D '，所以平面 A'D'GE，即平面 A'D&

9、#39;E。可以证得EGL平面DCC'D'，所以EGL FH由 FH! D 'G、EGL FH, EG A D'G = G 可知 FH 丄平面 A' D'GE所以FH即F到平面A'D ' E距离。根据勾股定理可以求得:D'G2 =1 G)2 二;5， D'G 冷又知： FD'G的面积 =s四边形DCC'D'sa DD ' F - sa D 'C 'G - safgc法二：转移法:FHt_8症D'G 一 10C'D'ACP BFP/平面 A

10、9;D'E，作 PQ _ A'E。等积法求点到面的距离：4.已知在棱长为1的正方体ABCD-A BC D中，E、F分别是AB、CD的中点，求点B到平面AECF 的距离。A'B'DCFE等积法 Vb AEF =VF»EB三、知识运用例 1:如图四棱锥 S-ABCD，AB _ AD, AB/CD,CD =3AB,面SAD -面ABCD , M 是线段AD上一点，AB =AM =1,DM =DC,SM_AD.（1）证明：BM _ 面SMC求点C到面SMB的距离。EX1如图，在边长为 a的菱形ABCD中，.ABC = 60 , PC _面ABCD , E,F是

11、PA和AB的中点。（1）求证：EF/平面PBC（2）求E到平面PBC的距离。提示：由（1 ）知EF/平面PBC所以E到平面PBC的距离等于点 F到平面PBC的距离aFH _ BC， FH即为所求。2例2:（2010江苏卷）如图,在四棱锥 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD PD=DC=BC=,AB=2 AB/ DC / BCD=90。求点A到平面PBC的距离。解析（方法一）分别取AB PC的中点E、F,连DE DF,则： 易证DE/ CB DE/平面PBC点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC丄平面PCD所以平面 PBCL平面

12、PCD于 PC,因为PD=DC PF=FC 所以 DF丄PC,所以DF丄平面 PBC于 F。易知DF=Z,故点A到平面PBC的距离等于.2。2（方法二）等体积法：连结AG设点A到平面PBC的距离为h。因为 AB/ DC / BCD=90,所以/ ABC=90。从而 AB=2 BC=1,得 ABC 的面积 S.ABC =1。PD 。3又PD=DC=1所以PC 二,PD2 DC2 = .2 。由 PCX BC BC=1,得PBC的面积S PBC由 VA _PBC = VP _ABC，1 1 _3SpBc得 h"2,1由PD丄平面ABCD及 PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V S ABC

13、3因为PD丄平面 ABCD D2平面ABCD所以PD丄DC、212a ,故点A到平面PBC的距离等于、一 2。EX2:（2010广东文数）如图4,弧AEC是半径为a的半圆，AC为直 径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点 F 满足 FC_ 平面 BED,FB=、. 5a（1）证明：EB_FD（2）求点B到平面FED的距离.【解析】（1）证明：点 B和点C为线段AD的三等分点,点B为圆的圆心 又 E是弧AC的中点，AC为直径， BC _ EB即BD _ EB FC _ 平面 BDE，EB 平面 BDE， FC _ EB又BD 平面FBD， FC 平面FBD且BD

14、 FC =C EB _平面FBD 又 FD 平面 FBD， EB _ FD（2）解：设点B到平面FED的距离（即三棱锥 B -FED的高）为h . FC丄平面BDE , FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形 FBC为直角三角形由已知可得 BC 二 a，又 FB =£5a FC 二,(5a)2 - a2 = 2a1 2在 Rt BDE 中，BD=2a,BE=a，故 S BDE2a a 二a,2- Vf_bdebde FC 二1 a2 2a=2a3,333又 EB _平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形， EF = ' 6a, DE = 5a，在 Rt FCD 中

15、，FD = . 5a, S fed'V F -BDE1 V212= VB"ED 即 3 Vah =2a3，34 - 21 a ,4/21即点B到平面FED的距离为h二二丄玄.ABC=90。，求点D到平面PAB的距离.EA山备用题:1、四棱锥P-ABCD中，底面ABC助直角梯形，PD丄底面ABCQ PD=DC=BC= AB=2, ABll CD,中，底面ABC助正方形，PA_底面ABCD AB= 6，分别求点C与点D到平面PAB的距离.3、 如图几何体是由正方体 ABCD-ABiCD与四棱锥E-AiBCiD组成，E为CC的延长线上一点， 且EC=CC, AB=2, M为EB的中点，求点M到平面ACD的距离.B第5题4、如图也BCD与 MCDS是边长为2的正三角形，平面 MCD平面BCD AB丄平面BCD求5、圆锥PO如图5所示，图6是它的正(主)视图.已知圆0的直径为AB , C是AB的中点，D为AC的中占第6题I 八、(1)求该圆锥的侧面积；(2)证明：AC _平面POD ;(3)求点0到平面PA