.3集合间的基本运算

1、2能使用Venn、学习目标1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用3能够利用交集、并集的性质解决有关问题.4. 了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集,并能解答简单的应用题.、知识梳理1 .并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者 属于集合B的兀素组成 的集合，称为集合 A与 B的并集，记作A U B（读 作“ A并B”）A U B = xX A，或x B交集由属于集合

2、A且属于集 合B的所有元素组成的 集合，称为A与B的交 集，记作An B（读作“ A 交B”）A n B = xx A，且X B2. 并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质AU B= BU AAn B = Bn AAU A= AA n A= AAU ? = AA n ?= 9A? B? AU B = BA? B? An B = A3 .全集 定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合 为全集.（2）记法：全集通常记作 U.4 .补集文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?U A符号语言?

3、U A= x|x U, 且 x?A图形语言5.补集的性质?uU = ?, ?u? = U , ?u(?uA) = A.三、典型例题知识点一集合并集的简单运算例 1(1)设集合 M = 4,5,6,8，集合 N = 3,5,7,8，那么 M U N 等于()A . 3,4,5,6,7,8 B. 5,8C . 3,5,7,8 D . 4,5,6,8已知集合 P = x|xV 3 , Q = x| 1w xw4，那么 P U Q 等于()A . x| 1 wXV 3 B . x| 1 w xw4C. x|x w 4 D. xx 1 答案(1)A(2)C解析 (1)由定义知 M U N = 3,4,5

4、,6,7,8.(2)在数轴上表示两个集合，如图.-1规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.跟踪演练1(1)已知集合A = x|(x 1)(x + 2) = 0; B = x|(x + 2)(x 3)= 0，则集合 AU B 是A . 1,2,3 B . 1 ,2,3C. 1 , 2,3 D . 1 ,2, 3(2)若集合 M = x| 3v xw 5 , N = x|xv 5，或 x 5，贝

5、U M U N = 答案 (1)C(2) x|xV 5，或 x 3解析 A = 1 , 2, B = 2,3, AU B = 1 , 2,3.将3V xw 5, xv 5或x 5在数轴上表示出来.则 M U N= x|xv 5,或 x 3.知识点二集合交集的简单运算例 2(1)已知集合 A= 024,6 , B= 2,4,8,16，贝U A n B 等于(A . 2 B. 4C. 0,2,4,6,8,16 D. 2,4 设集合 A= x| 1 w xw 2, B = x|0W xw 4，贝U An B 等于(A . x|0W xw 2 B . x|1w xw 2C. x|0w xw 4 D .

6、 x|1 w xw 4 答案(1)D(2)A解析(1)观察集合A,B,可得集合A, B的全部公共元素是2,4,所以 An B= 2,4.(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图.-2-1012 54则由交集的定义可得An B = x|0w xw 2.规律方法 求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似.5跟踪演练 2已知集合 A= x| 1-，求 An B, AU B.解/ A = x| 15，把集合A与B表示在数轴上，如图.-2-10 15 An B = x| 1 ?=x| 1 xw 0,或 |w xw 3;A U B = x| 1 | = R.知识点三已知集合交集、并

7、集求参数例 3 已知 A= x|2aw xw a+ 3，B = x|xv 1,或x 5，若An B = ?，求实数a的取值范围.解由An B=?， (1)若 A = ?，有 2aa + 3，a a3.若A丰?，如下图:pa 1, ia+ 3w 5,Law a+ 3,解得一1 w aw 2.综上所述，a的取值范围是a| 1 w aw 2，或a 3.规律方法1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端 点值代入题目验证.跟踪演练 3 设集合 A= x| 1

8、XV a, B = x|1vxv 3且 AU B= x| 1xv 3，求 a 的取 值范围.解如下图所示,-I3X由 AU B= x| 1 xv 3知，1 1，则?u A =答案 (1)B(2) x|x 1解析(1) / U = 123,4,5 , A= 1,2,二?uA = 3,4,5.由补集的定义，结合数轴可得?u A= xx 3,?uU = ?, ?u? = U , AU (?uA)= U. 集合 A = x| 34解析借助数轴得？uA= x|x= 3,或x 4.知识点五交集、并集、补集的综合运算 例5 (1)已知集合 A、B均为全集U = 1,2,3,4的子集，且?u(A U B)=

9、4 , B= 1,2，则A n ?uB等于()A . 3 B . 4C . 3,4 D . ?设集合 S=x|x 2, T= x| 4w xw 1，则(？RS) UT 等于()A . x| 2xw 1 B . x|x 1答案(1)A(2)C解析 / U = 123,4 , ?u(A U B) = 4, AU B = 1,2,3.又 B= 1,2, 3 ? A? 1,2,3.又?uB = 3,4, - An ?UB= 3.因为 S= x|x 2，所以？RS= x|x 2. 而 T = x| 4 xW 1,所以(?RS) U T = X|XW 2 U x| 4 XW 1 =x|x W 1.规律方法

10、1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算.当集2 .当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合; 合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.跟踪演练 2 设全集为 R , A= x|3W xV 7 , B = x|2v xv 10，求?r(A U B)及(?rA)n B.解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：1耳2 3710由图知，AU B = x|2v XV 10, - ?r(AU B) = x|x 10.T ?rA = x|xv 3，或 x 7,- (?rA)

11、n B = x|2v xv 3,或 7W xv 10.要点六补集的综合应用 例 6 已知全集 U = R，集合 A= x|xV 1 , B= x|2aV xva+ 3，且 B? r a,求 a 的取值 范围.解 由题意得？rA = x|x 1.(1)若 B = ?，贝U a+ 3W 2a,即 a 3,满足 B? rA.若B丰?，则由B? RA，得2a 1且2av a + 3,综上可得a 1.规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况;2 .不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.跟踪演练3 已知集合A=

12、 x|xv a, B= xv 1,或x0,若An （?rB）= ?,求实数a的取值范围.解/ B = x|xv 1，或 x0,二?rB = x| 1w xW 0,因而要使An（?rB）= ?，结合数轴分析（如图）,可得aw 1.1 hfl a -I0四、课堂练习1.若集合 A = 0,1,2,3 , B= 1,2,4，则集合 A U B 等于（）A . 0,1,2,3,4 B . 1,2,3,4C. 1,2 D. 0答案 A解析 集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素 1和2,因此，AU B共含有 5个元素.故选A.2 .设A = x N |1W xW 10, B = x R%2

13、+ x 6 = 0,则如图中阴影部分表示的集合为（）A . 2 B . 3 C . 3,2 D . 2,3答案 A解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,而直接解集合B中的方程可知B = 3,2，因此阴影部分显然表示的是A n B= 2.3. 集合 P = x Z |0W xv 3, M = x R |x2W 9，贝U Pn M 等于（）A. 1,2 B. 0,1,2C. x|0 XV 3D . x|02，或 xv0 , B= x| U5vxv/5，则（）A . A n B = ? B . AU B = RC. B? A D. A? B答案 B

14、解析 / A= x|x2，或 xv 0, B = x| V5vxv/5 An B = x|护 XV 0,或 2v x 护, A U B= R.故选 B.5 .设集合M = X 3w x 7 ,N = x|2x + k 3? kw 6.6.若全集 M = 1,2,3,4,5 , N= 2,4，则?mN 等于（）A. ? B. 1,3,5C . 2,4 D . 1,2,3,4,5答案 B解析 ？mN= 1,3,5，所以选B.7.已知全集 U = 1,2,3,4,5，集合 A = 1,2 , B = 2,3,4，贝U Bn ?uA 等于（）A . 2 B . 3,4C . 1,4,5 D . 2,3

15、,4,5答案 B解析/ U= 123,4,5 , A = 1,2,- ?uA = 3,4,5, Bn ?uA= 2,3,4 n 3,4,5 = 3,4.8 .已知 M = 0,1,2,3,4 , N= 1,3,5 , P= M n N,贝U P 的子集共有（）答案 B解析 / P =1,3，子集有22= 4个.9.已知全集U = Z,集合A= 0,1 , B= 1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为（）A . 1,2 B . 1,0C . 0,1 D . 1,2答案 A解析图中阴影部分表示的集合为（？UA） n B,因为A= 0,1 , B = 1,0,1,2，所以（？uA）n B= 1

16、,2.10 .若全集 U = R，集合 A= x|x 1 U x|xw 0，则？uA = 答案x|0 x 1 U x|xw 0,二？uA = x|Ov XV 1.五、巩固训练1 .已知集合 A= xx0 , B= x| 1 w xW 2，贝U AU B 等于（）A . x|x- 1 B. x|xw 2C. x|0v xw 2D . x|1w xw 2答案 A解析结合数轴得 AU B = x|x- 1.-It） 2 Jf2 .已知集合 M = x|（x 1）2v 4, x R , N = 1,0,1,2,3，贝U M n N 等于（）A . 0,1,2 B . 1,0,1,2C . 1,0,2,

17、3 D . 0,1,2,3答案 AM UN等于（）解析 集合 M = x| 1Vxv3, x R , N = 1,0,1,2,3，贝U M n N = 0,1,2，故选 A. 3.设集合 M = x|x2 + 2x= 0, x R, N = x|x2 2x= 0, x R，贝UA . 0 B. 0,2C . 2.0 D . 2,0,2答案 D解析 集合 M = 0， 2, N= 0,2，故 M U N = 2,0,2，选 D.4 .设集合 M = x| 3V xv 2 , N= x|1w xw 3，贝U M n N 等于（A . x|1w xv 2 B . x|1w xW 2C . x|2v

18、xW 3 D . x|2W xW 3答案 A解析/ M = x| 3V xv 2且 N= x|1wxW 3, M n N= x|1w xv 2.-3t的取值范围是（）2 r 设 A = x| 3 w xW 3, B= y|y = x +1.若 An B = ?，则实数tV 3 B . tw 3t 3 D . t 3答案 A解析 B = y|yw t，结合数轴可知t V 3._3 XI6 .若集合 A = x|xw 2, B= x|x a，满足 A n B= 2，则实数 a =答案 2解析 / An B = x|aw xw 2 = 2,a = 2.7.已知集合 A= x| iw XV 3, B=

19、 x|2x 4 x- 2.(1)求 An B；若集合C= x|2x + a0，满足BU C= C,求实数a的取值范围. 解 (1) / B= xx 2 , A n B= x|2w xv 3.a(2) / C = x|x p , BU C= C? B? C, | 4.28.集合 A = 0,2 , a, B= 1 , a ，若 AU B= 0,1,2,4,16，贝U a 的值为()A. 0 B. 1 C. 2 D. 4答案 D解析 AU B = 0,1,2 , a, a2, 又 AU B = 0,1,2,4,16, a, a = 4,16 , a= 4.9 已知集合 A= x| 2w xw 7

20、, B= x|m + 1v xv 2m 1，且 Bm ?，若 A U B= A，则()A . 3w mW 4 B. 3v mv 4C. 2 V mv 4 D. 2 v m w 4答案 D解析/ AU B = A,. B? A.又 BM ?,即 2v mW 4.jm+ 1 2, i 2m 1 w 7,lm+ 1 v 2m 1, 10.设集合 A = x 1 wxw 2 , B= x| 1v xw 4, C = x| 3v xv 2且集合 An (B U C)= x|a w x w b，贝U a=答案 12解析/ BU C = x| 3V xw 4 , A (B U C). An (B U C)

21、= A,由题意x|aw x w b = x| 1 w xw 2. a = 1, b= 2.11.已知 A = x| 2w xw 4, B= x|x a.(1)若A n BM A,求实数a的取值范围;(2)若A n BM ?，且An BM A，求实数a的取值范围.解(1)如图可得，在数轴上实数 a在2的右边，可得a 2;由于An B丰?,且An BM A,所以在数轴上，实数 a在一2的右边且在4的左边，可得一212 .已知集合 A = x| 2w xw 5, B= x|2aw xw a + 3，若AU B = A,求实数a的取值范围. 解/ A U B= A，二 B? A.若 B= ?时，2a

22、a + 3，即 a 3;pa 2,若 BM ?时，ia+ 3w 5,La w a + 3,综上所述，a的取值范围是a 1 3.13.已知集合 A = x|2a + iw xw3a 5 , B= x|x 16，分别根据下列条件求实数a的取值范围.(1)A n B= ?; (2)A? (An B). 解(1)若A= ?，则A n B= ?成立.此时 2a + 1 3a 5,即 a 1, ba 5w 16,ZU匚-1 2a+l 3d-5 16解得6w aw 7.综上，满足条件 A n B= ?的实数a的取值范围是a|aw 7.因为 A? (A n B)，且(An B)? A,所以 An B= A，即

23、 A? B.显然A= ?满足条件，此时a 6.若AM ?，如图所示，则fa + 1w 3a - 5,.3 a 5 16.|2a + 1 W 3a 5, 由彳3a 5 V 12a + 1 W 3a 5, 由52a + 1 16-综上，满足条件A?-116 2fl+l解得a ?；(An B)的实数a的取值范围是a|av 6，或a字.13 .已知全集 U = 123,4，集合 A = 1,2 , B= 2,3，则?u(AU B)等于()A. 1,3,4 B. 3,4 C. 3 D. 4答案 D解析/ A=1,2 , B = 2,3 , AU B = 1,2,3,二?u(AU B) = 4.14.已知

24、 A = x|x + 1 0 , B= 2, 1,0,1，则(?rA) n B 等于()A . 2, 1 B . 2C . 1,0,1 D . 0,1答案 A解析因为集合A =x|x 1,所以？rA = x|xW 1,则(?RA) n B = x|xW 1 n 2, 1,0,1= 2, 1.15.设 U = R, A= xx0 , B= x|x 1，则 A n (?uB)等于()A . x|OW XV 1 B . x|Ov x 1答案 B解析？uB=x|xW 1, A n (?uB)= x|0v XW 1.16 .设全集U是实数集R, M = x|xv 2，或 x2, N=x|1wxW 3.如

25、图所示，则阴影部分所表示的集合为(A . x| 2Wxv 1 B .x| 2 W xw 3C. x|xw 2,或 x 3D. x| 2 w xW 2答案 A解析阴影部分所表示的集合为?u(M U N) = (?u M) n (?uN) = x| 2 x 3=x 2W xv 1.故选 A.5 .已知集合 A= x|0 0 , B= y|y 1，则?uA与?uB的包含关系是答案 ?uA?uB解析 ?uA= xXv 0 , ?uB = y|yv 1 = x|xv 1. 二?uA ?uB.5118.已知全集 U = R, A= x 4w xw 2, B = x| 1 v xw 3 , P= U|xw

26、0,或 xJ， （1）求 An B；求(?uB)U P;求(A n B) n (?uP).解 (1)An B = x| 1v xw2./ ?uB= xx 3,5-(?uB) U P =旬xw 0,或 x - .I*(3) / ?uP= *|0v xv 5 :5(An B)n (?u P) = x| 1v xw 2 mx|0v xv - j= x|0v x w 2. I*19.已知集合A = x|xv a, B = x|1v xv 2,且 A U (?rB)= R,则实数 a 的取值范围是()av 1 a 2答案 C解析如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边（含端点2）,所以a 2.2 fl jf20 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. (Mn p)n S B. (M n p)u sC. (M n p)n(?iS)D. (