2018年普通高等学校招生全国统一考试天津卷

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学参考答案号位座封号场考不号证考准装名姓卷 此、选择题（1）B(2) C(3) B(4) A（5）D(6) A（7） C5分，满分30分.(8) A、填空题：本题考查基本知识和基本运算.母小题（9）4-5 (10)-1 (11)212（12）121(13)-4(14) (4 ,8)答案解析一.选择题（1）解析 由题意可得:结合交集的定义可得:AI (eR B) =0 VX c1.故选 B（2）解析 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,IX + y = 5联立直线方程：y*y=1据此可知目

2、标函数的最大值为:，可得点A的坐标为：A（2,3 ）,Zax =3x + 5y =3咒2+5咒3 = 21.故选 C（3）解析结合流程图运行程序如下:首先初始化数据：N =20,i =2,T =0,20= -=10，结果为整数，执行T=T+1=1, i=i+1=3，此时不满足i5；20盲，结果不为整数，执行i =i +1=4，此时不满足i 5；=20=5，结果为整数，执行4T=T+1=2 , i=i+1=5，此时满足 i X 5 ；跳出循环，输出T =2.故选B.(4)解析 绝对值不等式|X-1|x1J0x12 2 21 1 据此可知| X 2是x1 , b =1n 2 =壬(0,1 ), l

3、og = log 2 3 log2e ,2 3据此可得：cab.故选D.(6)解析由函数图像平移变换的性质可知:将 y =sin 2x+n的图像向右平移个单位长度之后的解析式为:10y =sin 2 lx= sin2x.L I 10丿5nn则函数的单调递增区间满足：2k n才2x2kn+才(“ Z ),nn即 kn-上 xkn+卫(k 亡 Z ),44令k=1可得一个单调递增区间为：乎普函数的单调递减区间满足：2kn+ n2心心，k壬Z),即 kn+n xkn + 曲化 Z ）,44令k =1可得一个单调递减区间为:5 n 7 n_ 厅刁.故选A.解析设双曲线的右焦点坐标为F（c,0 心0），

4、贝y Xa =Xb =c.2 2,c y由p -p =1可得:a b不妨设：A|c, ,B|c,I a J Ib2双曲线的一条渐近线方程为:bx ay = 0，据此可得:三,d2lbc+b2bc + b22bcc= 2b=6，贝U b = 3,b2 =9，双曲线的离心率:据此可得：a2 =3，则双曲线的方程为2 2丄=1 .故选c.9(8)解析建立如图所示的平面直角坐标系，则,0，C0- I，Di点 E 在 CD 上，贝y DE =aDC(0a1 )，设 E =(x, y ),y=A I223. y =人2据此可得：E(品、AI273 3 J,_扎2 2丿，且:1 忑徑-73,3/V22丿由数

5、量积的坐标运算法则可得，AE ”BE =A -I22丿整理可得：AE BE =?(4几24-2a+2)(0a1 ),结合二次函数的性质可知，当2时，忑晁取得最小值21.416故选A.二.填空题(9)解析由复数的运算法则得:6+7i (6+7i )t1-2i) 20 5i / .1 +2i (1+2i!(1-2i)5(10)解析 结合二项式定理的通项公式有:stx-冷x2c5r5_t32令5-r =2可得：r =2，贝U x的系数为:2(Ug.(11)解析由题意可得，底面四边形EFGH为边长为的正方形，其面积2ZSefgh =顶点到底面四边形EFGH的距离为由四棱锥的体积公式可得:VM _EFG

6、Hd J21= X32 12(12)解析 由题意可得圆的标准方程为:(X1)和=1，直线的直角坐标方程为:y-3 = (x+1 )，即卩 y + x-2 =0,则圆心到直线的距离：d =1+0-272由弦长公式可得:AB1 V2则 Sabc =XV2X2 2(13)解析 由 a 3b +6 =0 可知 a 3b =-6，1且: 2a + =2a +2；b，因为对于任意x,2X A0恒成立,结合均值不等式的结论可得：2a + 2 3二2= 2丘 =-当且仅当产bb4，即? -3时等号成立.a3b=-6b=11 1综上可得2匕的最小值为-.(14)解析 分类讨论：当x0时，方程2f(x)=ax 即

7、 x +2ax + a=ax，整理可得：X2 =-a(x+1),很明显X=1不是方程的实数解，则x+1当X aO时，方程f(X)=ax即-x2+ 2ax-2a =ax,整理可得：x2=a(x-2),很明显x=2不是方程的实数解,令 g(x)=,x 0观察可得，实数的取值范围是(4,8卜三、解答题(15)命题意图 本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力.解析(1)在 ABC 中，由正弦定理L，可得 bsinA=asinB，又由 bsin A=acos(B-)sin A sinB6得 a sin B

8、=acos(B -n)，即 sin B =cos(B n)，可得 tan B =.又因为 B 忘(0 , n，可得6 6()在 ABC 中，由余弦定理及 a =2, c=3, B =，有 b2 =a2 +c2-2accosB =7，故3b=77 .,nTa2由 bsin A =a cos(B ，可得 sin A =.因为 a c c，故 cosA .6J7774J31因此 sin 22sin AC。如,cos2A =2cos2 A -r .所以，si n(2 A _B) =si n 2 AcosB cos2 As in B一丄二33727214(16)命题意图本小题主要考查分层抽样、离散型随机

9、变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.解析(I)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3 : 2 : 2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(n)( i )随机变量X的所有可能取值为 0, 1, 2, 3.P( X =k)=Ck c34 3 3 (k=0/IZ3).C7所以，随机变量X的分布列为X0123P丄1228J-3535353511218412随机变量x的数学期望以)=0丄+1咒上+2咒一+3天上=X353535357(ii)设事件取的3人中,由(i)知,B为

10、抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有 2人”事件C为 抽 睡眠充足的员工有 2人，睡眠不足的员工有 1人”则a = BUc，且B与C互斥,(n)依题意，可得 BC =(1,0,0 ), BE =(1, 2 ,2),CF =(0,1,2 )P(B) =P(X=2), P (C) = P(X =1),故 P( A) = P(bUc)= P(X =2) +P( X =1) =- 所以，事件A发生的概率为6(17) 命题意图本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.解析 依题意

11、，可以建立以 D为原点，分别以DA，DC , Dg的方向为X轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D(0,0,0), (2,0,0),B, 2,0), C0,2,0),E 2,0,2), (01,2),G( 0,0,2),(。，釘)，(10,2)y2).(I)证明：依题意 DC= ( 0, 2, 0), DE = (2, 0, 设no =(x, y, z)为平面CDE的法向量,C. .n0 DC =0,J2y =0,川n。“D?=0,即 2x+2z =0,不妨令 z =-,可得 no =(1,0,1 )了 3 )又 MN =2，丿，可得 MN，no =O,又因为直线 MN 2平面

12、CDE，所以MN /平面CDE 则性=n ”BE =0,z）为平面BCF的法向量,设n （x, y, z）为平面BCE的法向量,IX = 0,即 2y+2z=0,不妨令 z=1 ,可得 n =(0,1,1).设 m =( x, y,则r BC=0即m BF =0,-x =0,y +2z =0,不妨令Z9，可得m = (0,2,1卜因此有sin m, n=匹10所以，二面角E -BC -F的正弦值为迥10（川）设线段DP的长为h（h耳0,2）,则点P的坐标为（0,0, h卜可得h)易知，DC （0,2,0）为平面ADGE的一个法向量，故BPDCcos 0，可得 q =2, 故 an =2n4设等

13、差数列bn的公差为d，由a4 = b3中b5，可得b中3d = 4.由氏=b4 + 2 ,可得 3b, +13d =16,从而 b, =1,d =1,故 bn =n.所以数列an的通项公式为an =2心，数列bn的通项公式为bn.(11)(：)由(I),有 SnTn =2 (2k1)=1： 2knk412n1_2，故1-2（ii）证明：因为(Tk+bk+2)bk =(2-k-2+k+2)k22(k+ 1)(k +2)(k + 1)(k +2)2(k+ 1)(k + 2) k+22“所以，三昭=（泊）+（沁）（一-2心)=22-2.n+2 n+1 n+2=9，又由宀宀2，可得论3b.由已知可得，

14、FB| =a ,AB| =倉，由 |FBHAB| =6j2，（19）命题意图本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.2解析（I）设椭圆的焦距为 2c,由已知有 冷a可得ab =6，从而a =3,2所以，椭圆的方程为 .+红=1.94（n）设点P的坐标为（Xi, yi）,点Q的坐标为（X2, y2）.由已知有 丫2 0，故|PQ|sinNAOQ=y1 -y2 .又因为y2lAQ % in NOAB，而 NOAB = n，故 I AQ|由4i=sinZAOQ，可得 5% =9y2.|PQ|4由方程组

15、|y =kx, 22194=1,消去x，可得y16kJ9k2 +4 .易知直线AB的方程为x+y -2 =0 ,由方程组H0,消去x，可得y22k k+1.由5y9y2，可得 5 ( k+1)=3丿911，可知当X变化时，h(x), h(x)的变化情况如下表:所以函数h(x)的单调递减区间为(二,0)，单调递增区间为(0,畑).(II)证明：由f(x)=axl na，可得曲线y = f(x)在点(xi,f(xi)处的切线斜率为a I na.11由g (X)=，可得曲线y = g(x)在点(X2, g(x2)处的切线斜率为XI n ax2 In a1因为这两条切线平行，故有axi In a =，

16、即x2a1 (In a)2 = 1.x2 In aIna两边取以a为底的对数，得Ioga X2 +xi +2log 21n a = 0 ,所以xi + g(X2)=In a(III)证明：曲线 y = f (x)在点(,axi)处的切线 h : y-a =&为 Ina (x-xj .1曲线 y =g(x)在点(x2,Ioga x?)处的切线 I2: Ioga x一；(x-x?).x21 n a1要证明当a ee时，存在直线I，使I是曲线y= f (x)的切线，也是曲线 y = g(x)的切线，只需证明当a ee时，存在Xi亡(亠，畑)，X2亡(0,畑)，使得Ii和I2重合.axi In a = 1即只需证明当a 2时，方程组ee时，关于x1的方程有实数解.A Oln In O1设函数u(x)=aX _xaXln a+x +，即要证明当aee时,ln a ln a函数y=u(x)存在零点.u(x) =1-(lna)2xax，可知 x-,0)时，u(x)0 ； xO,址)时,u(x)单调递减，又，為1-(1 n a)2x0aXo =0 .12=1a(lna)0，使得 u(X0)= O，即由此可得u(x)在(-XO上单调递增，在(x0,址)上单调递减.u(x)在xX)处取得极大值U(X0).1因为 a ee，故 ln(ln a) -1，所