用实用解析法计算混凝土基于裂缝粘聚力的新KR阻力曲线_图文

1、工 程 力 学 2011年 9 月 Sep. 2011 ENGINEERING MECHANICS 84收稿日期:2009-12-17;修改日期:2010-04-01基金项目:国家自然科学基金重点项目 (50438010;国家 973项目 (2002CB412709作者简介:*徐世烺 (1953 ,男,湖北通山人,教授,博士,博导,从事混凝土断裂力学研究 (E-mail: slxu;吴 瑶 (1987 ,女,江西南昌人,硕士生,从事混凝土断裂力学研究 (E-mail: wuyao19870508. 文章编号:1000-4750(201109-0084-06用实用解析法计算混凝土基于裂缝粘聚力的

2、新 K R 阻力曲线*徐世烺 1,吴 瑶 2(1. 浙江大学建筑工程学院,浙江,杭州 310058; 2. 大连理工大学海岸与近海工程国家重点实验室,辽宁,大连 116024摘 要:对三点弯曲梁混凝土试件,虚拟断裂过程区上粘聚力呈线性或双线性分布的,可以用实用解析法计算混凝土双 K 断裂参数及新 R K 阻力曲线。实用解析方法是用简单函数拟合 Green 函数,将粘聚力在裂缝尖端产生的应力强度因子积分算式转化为简单的算术表达式。该方法无需进行数值积分,简化了计算过程。采用不同尺寸的三点弯曲梁混凝土试件的试验结果,用实用解析法计算基于裂缝粘聚力的 R K 阻力曲线,与传统的数值积分计算方法对比,

3、表明两种方法得到的 R K 阻力曲线很好地吻合。用实用解析法计算新 R K 阻力曲线具有很高的精度。关键词 :三点弯曲梁;裂缝粘聚力;新 R K 阻力曲线;混凝土;实用解析法中图分类号:TU37; O346.1 文献标志码:ADETERMINATION OF K R EXTENSION RESISTANCE BASEDON CRACK COHESIVE FORCE IN CONCRETEUSING PRACTICAL ANALYTICAL APPROACH*XU Shi-lang1 , WU Yao2(1. College of Civil Engineering and Architectu

4、re, Zhejiang University, Hangzhou, Zhejiang 310058, China;2. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian, Liaoning 116024, ChinaAbstract: To compute double-K fracture parameters and new R K extension resistance for three-point bendingbeams, the p

5、ractical analytical approach assumes linear or bilinear cohesive stress distribution in fictitious fracturezone. It transforms the integral expression of stress intensity factor at the crack tip into a simple algebraicexpression by using a simple function rather than Greens function. With this metho

6、d, numerical integration canbe avoided and the calculation is simplified. Test results of three-point bending beams with different sizes areemployed to compare the practical analytical approach with traditional numerical integration method incomputing R K extension resistance based on crack cohesive

7、 force. It is demonstrated that no visible differenceis observed in the R K resistance curves from the two methods. The practical analytical method has a highaccuracy in computing new R K extension resistance.Key words: three-point bending beam; crack cohesive force; new R K extension resistance; co

8、ncrete; practicalanalytical approach自 20世纪 60年代将断裂力学应用于混凝土以来,混凝土断裂性能便引起了普遍关注。为了描述裂缝在混凝土结构中的扩展,以 R K 形式描述的裂缝扩展阻力及相关特征被许多学者如 Hilsdorf 和 Brameshuber 1, Mai 2, Karihaloo 3先后进行计算和 研究,近年来徐世烺和 Reinhardt 4提出了一种新方工 程 力 学 85法计算 R K 阻力曲线, 称为新 R K 阻力曲线模型 4 5。 该方法不同于 Irwin 等人早期提出的传统方法, 而是 用虚拟裂缝区上分布的粘聚力来计算裂缝扩展阻力,

9、 该方法引入了两个断裂参数:起裂韧度 ini IC K 和失稳 韧度 un IC K 6 7。在混凝土断裂力学的发展过程中, 以往大部分模型都是对临界失稳状态进行判定,而对一些有特殊功能要求的混凝土结构如大型储蓄罐、高坝、输水结构等起裂参数的控制也很重要,徐世烺和 Reinhardt 的混凝土双 K 断裂模型及新 RK 阻力曲线模型一经提出便受到很大关注。 然而在计算双 K 断裂参数 ini IC K 、 un IC K 和 R K 阻力曲线过程中需要 大量的迭代和数值积分运算,针对这点徐世烺,吴智敏等人提出了混凝土双 K 断裂参数的实用解析算法 8,该方法只需在实验中测得最大荷载 max P

10、 及对应的裂缝张开位移 c CMOD 、混凝土弹性模量及抗拉强度即可确定双 K 断裂参数并且无需对由粘聚力在裂缝尖端产生的应力因子 c I K 进行数值积分。由于徐世烺,吴智敏等人提出的实用解析方法在计算 c I K 时无需进行数值积分,本文利用这个优点将实用解析方法用于计算混凝土基于裂缝粘聚力的新 R K 阻力曲线, 在计算 R K 阻力曲线的过程中也无需对裂缝亚临界扩展量为 a 时由粘聚力在裂缝尖端产生的应力因子 c I ( K a 进行复杂的数值积分, 只需代入简单的数学表达式进行计算, 简化了计算过程, 节省了计算机内存, 提高了计算的速度, 且具有很高的精度。 采用实用解析法计算基于

11、裂缝粘聚力的新 R K 阻力曲线,可以很方便地得到裂缝从起裂至失稳期间裂缝发展任意时刻的 R K 阻力值,以了解裂缝发展任意时刻所处的状态,便于工程应用。 1 新 K R 阻力曲线模型简介新 R K 阻力曲线模型中采用双线性软化曲线描述断裂过程区的粘聚力分布,双线性软化模型如图 1所示。 图 1 双线性软化曲线Fig.1 The bilinear softening curve 当 0a a =时, 裂缝不扩展, 没有粘聚力存在。 a为等效裂缝长度, 0a 为预制裂缝初始长度。当 0c a a a 时, c a 为临界弹性等效裂缝长度, 裂缝稳定扩展, 裂缝口张开位移为 CMOD , 初始裂缝

12、尖端张开口位移为 CTOD , 虚拟裂缝带上的粘聚力表达式为: t ( ( ( x CTOD f CTOD =+ 00( /( x a a a (1 图 2为此时的粘聚力分布。 图 2 裂缝扩展阶段 0c a a a 时的粘聚力的分布 Fig.2 Distribution of the cohesive force for 0c a a a 当 0c w a a a 时, 0w a 是一个特征长度,初始 裂缝尖端张开口位移为 0w 时的等效裂缝长度, 00w a a 是最大的虚拟裂缝长度,即一个完整的粘 聚力分布恰好作用在这段虚拟断裂区长度 00w a a 上,裂缝失稳扩展。 c a a =为

13、裂缝临界失稳状态, 失稳时裂缝口张开位移为 c CMOD ,初始裂缝尖端 张开口位移为 c CTOD 。 0c w a a a 阶段粘聚力分 布如图 3所示。表达式如下: 1c ( ( ( (x CTOD CTOD CTOD =+ 0( /( c x a a a , 00( c a x a a a + (2 2c t c ( ( (x CTOD f CTOD =+ 00( /( c c x a a a a a +, 0( c a a a x a + (3 图 3 裂缝扩展阶段 0c w a a a 时的粘聚力的分布Fig.3 Distribution of the cohesive force

14、 for 0c w a a a 当 0w a a >时,一个完整的断裂过程区已经形f tsw s w a xa 0w x f t (x (CTOD CMOD CTOD a xa 0a x a 0f t (x (CTOD c CMODCTOD (CTOD 86 工 程 力 学成。粘聚力如图 4所示。表达式为:1( 0x =, 000( w a x a a a + (4 2c 000( ( ( /( w w c x CTOD x a a a a a =+000( ( w c a a a x a a a + (53c t c ( ( (x CTOD f CTOD =+ 00( /( c c x

15、 a a a a a +0( c a a a x a + (6CTOD 用 Shah 的公式 9 11计算,其中 h 为试件高度: (7图 4 裂缝扩展阶段 0w a a >时的粘聚力的分布 Fig.4 Distribution of the cohesive force for 0w a a >31t 0( 1CTOD CTOD c f w =+ 321200exp (1exp( CTOD CTOD c c c w w + (8 其中:t f 为混凝土的抗拉强度,对普通混凝土,取 13c =, 27c =, 0160m w =。裂缝等效扩展长度为 0a a a =时粘聚力在 裂缝

16、尖端产生的应力强度因子 c I ( K a 由式 (9通过 数值积分算得, /a h v =, 00/a h v =, /x a u =: c I ( ( (, d a a K a x F u v x = (9 3/21/23.52(1 4.355.28(, (1 (1 u u F u v v v =+ 3/21.300.300.831.761(1 1u u u v u +(10 2 实用解析法计算新 K R 阻力曲线的计算步骤实用解析方法即将式 (10中的 Tada Green函数 (, F u v 简化为表达式 (11, 使式 (9变为可积函数从 而积分求解。(, F u v A u B

17、=+ (11 其中 21.52.231.160.17(1 v v A v +=, 5u 时, 在 v 的定义范围内两者的最大误差为 3.5%, 当0.2u <且 0.7v 时误差不超过 3%, 但当 0.2u <且0.7v <时,误差较大,最大可达 10%,这种情况在初始缝高比 0/a h 非常小时才可能发生。引用文献 8中的图 3, 即本文的图 5, 图 5中也表明式 (10与式 (11小的情况下可以将式 (10简化为表达式 (11。 用实用解析法简化计算 c I ( K a 的过程如下:3212(, 32AD AH BD g u u u u +=+ 21arcsin( u

18、 u BH u D H u +(12 其中, 2121( /( D u u =,122121( /( H u u u u =。 当 0c a a a 时 ,将 10/u a a =, 21u =, 1= ( CTOD , 2t f =代入式 (12, 并令 121(, g u u N =。 则:c I 1( K a N = (13 当 0c w a a a 时, 将 10(/c u a a a a =+, 21u =, 1c ( CTOD =, 2t f =代入式 (12,并令此时的 121(, g u u N =; 再将 10/u a a =, 20(/c u a a a a =+, 1(

19、CTOD =, 2c ( CTOD =同理代入 (12, 此时令 122(, g u u N =。则: c I 12( K a N N =+ (14a xa 0a w 0a 0f t (CTOD c CMODCTODa c a 0工 程 力 学 87当 0w a a >时, 10(/c u a a a a =+, 21u =, 1= c ( CTOD , 2t f =时按式 (12计算,令 12(, g u u = 1N ; 100(/w u a a a a =+, 20(/c u a a a a =+, 1= 0, 2c ( CTOD =时同理并令 122(, g u u N =。 则

20、: c I 12( K a N N =+ (15 3 试验数据本文采用了四种不同高度砼标准三点弯曲梁的试验数据。三点弯曲梁几何形状如图 6所示,图中 a 0为预制初始裂缝长度 , t 为试件厚度, h 为试件高度, S 为试件跨度, L 为试件长度。所有试件混凝土均采用同一配比即水泥砂子石子水 = 11.95 2.75 0.53, 在同一条件下统一浇注, 采用普通 42.5级水泥, 粗骨料用最大粒径为 10mm 的青碎石。试件初始裂缝采用 2mm 厚端部呈 V 型的钢板预留,所有试件裂缝的初始缝高比均为 0.4。养护28d 后拆模,龄期为 60d ,试验测得的立方体抗压强度为 30.5MPa

21、。本文所说的弹性模量均为计算弹性模量,根据文献 12中计算弹性模量采用下式计算:200013.7032.60tan 2i a h E tc h h +=+ (16 其中:t 为试件厚度, 0h 为装置夹式引伸计刀口薄 钢板的厚度, i c 为试件的初始柔度值,由试件 -P CMOD 曲 线 的 上 升 段 之 直 线 段 上 任 一 点 的 CMOD 、荷载 P 计算, /i c CMOD P =。 图 6 三点弯曲梁试件几何形状及尺寸 Fig.6 Geometry of three-point bending beam 裂 缝 扩 展 任 意 时 刻 的 a 可 由 式 (17简 化 算 得

22、 13, 当 0.2/0.75a h 时, 式 (17的最大误差为2%,当 /a h 达到 0.8时,最大误差不超过 3.5%。 0a h = (17外荷载 P 在裂缝尖端产生的应力强度因子I K ,即驱动力为 4:I K = (18 其中,a f h =21.99/(1/2.153.93/2.7(/ (12/(1/ a h a h a h a h a h a h + (19式 (18中, 当 0a a =, ini P P =时求得的 I K 为起裂韧度 ini K 。 ini P 为试验测得的起裂荷载。新 R K 阻力曲线由下式求得。 c ini I ( ( R K a K K a =+

23、(20 4 新 K R 阻力曲线数值积分与实用 解析法计算结果对比及分析 由于篇幅限制,这里仅列出了 4种不同尺寸试 件用新 R K 阻力曲线模型即本文所谓的数值积分法 与实用解析法计算 ( c I K a 的简略计算表格:表 1表 4。图 7图 10为相应于表 1表 4计算的 R K 阻 力曲线图,各图中的两条曲线均能很好的吻合。从 表 1表 4的误差项可以看用实用解析法计算新 R K 阻力曲线具有很高的精度,最大误差小于 2%,满 足工程精度。由于 1c 、 2c 及 0w 的取值直接反映了 混凝土应变软化曲线的形状,因此取试件 300-1为 例, 1c 、 2c 及 0w 分别取不同值时

24、两种方法计算结果的比较, 列于表 5中。 由表 5的误差项可以看出,最大误差小于 2%,表明 1c 、 2c 及 0w 的不同取值并不影响实用解析方法的精度。表 1 试件 200-1计算结果 (27.28GPa, E =2.25MPa, t f =800mm 200mm 120mm S h t ××=×× Table 1 Computed results of specimen 200-1P /kNCMOD /m a /mmCTOD /m c I ( K a 数值积分法 / (MPa·m1/2 c I ( K a 实用解析法 /(MPa

25、3;m1/2 相对误差 /(%378.5 171.9210.4 1.796 1.780 0.91.1524.2 180.5296.9 2.617 2.589 1.1表 2 试件 300-1计算结果 (27.50GPa E =, t 2.25MPa f =, 1200mm 300mm 120mm S h t ××=×× Table 2 Computed results of specimen 300-1 P /kNCMOD /m a /mmCTOD /m c I ( K a 数值积分法 / (MPa·m1/2 c I ( K a 51.7 132

26、.212.3 0.375 0.381 1.67.669.4 140.720.8 0.480 0.488 1.7L a 0 S /2 S /2 h t 工 程 力 学 89 表 5 不同的 c1 ， c2 ， w0 对 K Ic (a 计算结果的影响 Table 5 Influences of c1 , c2 , w0 values on results of K Ic (a c1 = 2 , c2 = 6 , w0 = 140m P/kN c1 = 3 , c2 = 7 , w0 = 160m K ( a c I c1 = 4 , c2 = 8 , w0 = 200m CMOD /m a/mm

27、 CTOD /m K ( a 数值积分法/ (MPa·m1/2 c I K ( a 实用解析法/ (MPa·m1/2 0.029 0.193 0.267 0.302 0.329 0.382 0.446 0.535 0.757 0.820 0.863 0.906 0.996 1.055 1.121 1.202 1.329 1.551 1.786 2.231 c I 相对 误差/ (% 0.0 1.0 1.5 1.7 1.5 1.6 1.6 1.5 1.1 0.9 0.8 0.7 0.3 0.1 0.0 0.2 0.5 0.8 1.0 1.2 K Ic (a K Ic (a 相

28、对 相对 误差/ 数值积分法/ 实用解析法/ 误差/ 数值积分法/ 实用解析法/ (% (MPa·m1/2 (MPa·m1/2 (MPa·m1/2 (MPa·m1/2 (% K (a 0.029 0.191 0.263 0.297 0.323 0.375 0.440 0.530 0.771 0.853 0.911 0.969 1.087 1.162 1.239 1.345 1.502 1.777 2.068 2.617 0.029 0.193 0.267 0.301 0.328 0.381 0.447 0.538 0.779 0.860 0.917 0.

29、974 1.089 1.162 1.237 1.340 1.493 1.762 2.047 2.588 0.0 1.0 1.5 1.3 1.5 1.6 1.6 1.5 1.0 0.8 0.7 0.5 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.1 0.029 0.191 0.265 0.299 0.327 0.380 0.447 0.542 0.805 0.915 0.995 1.077 1.244 1.350 1.456 1.606 1.834 2.197 2.589 3.331 0.029 0.194 0.268 0.304 0.332 0.386 0.454 0.550

30、0.814 0.922 1.000 1.081 1.245 1.348 1.452 1.599 1.822 2.177 2.563 3.296 0.0 1.6 1.1 1.7 1.5 1.6 1.6 1.5 1.1 0.8 0.5 0.4 0.1 0.1 0.3 0.4 0.7 0.9 1.0 1.1 c I 3.5 4.5 5.0 5.6 6.0 6.6 7.2 7.8 8.3 7.7 7.1 6.5 5.4 4.8 4.3 3.8 3.1 2.4 1.9 1.4 22.2 30.0 35.0 40.3 44.4 51.7 61.7 77.2 123.6 152.5 170.1 188.6

31、224.4 247.1 272.6 309.2 362.1 431.7 497.7 599.9 120.1 122.9 125.6 127.3 128.8 132.2 137.1 145.1 167.0 180.8 189.6 197.7 212.0 219.7 226.7 234.9 244.3 254.8 261.9 270.1 0.4 3.6 5.8 7.6 9.1 12.3 17.0 25.0 50.7 68.2 79.3 90.8 113.2 127.3 142.8 164.9 196.7 238.9 278.4 339.5 0.029 0.191 0.263 0.297 0.324

32、 0.376 0.439 0.527 0.749 0.813 0.856 0.900 0.993 1.054 1.121 1.205 1.336 1.563 1.804 2.257 参考文献： 1 Hilsdorf H K, Brameshuber W. Size effects in the experimental determination of fracture mechanics parameters C. Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on Application of Fracture Mechanics t

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34、lain and fiber-reinforced concretes have an R-curve behavior C. SEM-RILEM International Conference on Fracture of Concrete and Rock, Houston, Texas, USA, 1987: 96105. Xu Shilang, Reinhardt H W. Crack extension resistance and fracture properties of quasi-brittle softening materials like concrete base

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